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Base du noyau et du sous-espace vectoriel engendré par les colonnes

Transcription de la vidéo

l'idée de cette vidéo c'est de faire un peu le lien entre l'image de à le noyau de allik r2a et voir essayer de trouver des bases pour pour chacun de ces sous-ensemble de ses sous espaces donc si on commence l'image de à à définir c'est extrêmement simple l'image de à l'image de à je sais que c'est c'est égal au vectes par définition c'est égal avec des deux vecteurs ici 1 2 3 1 2 3 1 à un 4 1 4 1 4 1 1 4 1 et 1 3 2 1 3 2 on écrire comme ça ça m'avance pas grand chose parce que finalement je sais pas par exemple je ne sais pas si ces vecteurs représente une base de l'image je sais pas quelle qu'elle est vraiment l'ensemble qui est parcouru par ce mec tu mais au moins je peux l'écrire comme ça si je regarde le noyau de à je peux pas l'écrire comme ça de façon simple directement par contre je sais que le le caire 2 à je sais que c'est égal au caire noyau de la matrice échelonné réduite de à et ça je sais un peu mieux le déterminer le noyau de la matrice échelonné réduite donc j'ai commencé par calculer cette matrice et shawn est réduite alors ça on a l'habitude de le faire maintenant si je commence donc je vais garder ma première ligne ici en constante 1-1 1-1 et je vais changer la ligne en dessous par exemple je dire que la deuxième ligne c'est je la remplace par deux fois la première ligne - la deuxième ligne donc ça me faire 2 - 2 fois donc là ça fait 2 - 2 0 ici 2 - 1 1 ici 2 - 4 - 2 ici 2 - 3 - 1 et la dernière ligne je vais la remplacer par la dernière ligne moins trois fois la première ligne ça fait 3 - 3 0 6 6 4 - 3 1 il fit 3 - 1 - 3 - 2 est ici de 2 - 3 - 1 donc ça c'est ma matrix bon ça c'est la première étape maintenant comme d'habitude je vais garder la deuxième ligne constante ici et je vais transformer les deux autres lignes donc ici j'ai 0 1 - 2 - 1 et je vais changer les autres lignes donc la première ligne ce que je veux c'est faire apparaître un zéro ici donc je vais faire la première ligne - la deuxième ligne donc ça me fait un dc10 ici ici un mois -2 donc 3 il fit 1 - 1 2 et la dernière ligne devait la remplacer par la dernière ligne - la deuxième ligne est du coup en fait je veux obtenir 0000 donc figé 000 et 0 ça c'est ma matrice échelonné réduite et du coup on fait pour obtenir une finesse que je veux c'est obtenir le noyau de a donc il faut que pour l'avoir je vais multiplier sa part avec x conquis x1 x2 x3 x4 parce que ce que je veux c'est avoir le noyau de cette matrice et je veux dire que ça c'est égal à zéro donc aux vecteurs 000 et du coup si je fais le calcul ici sur la première ligne g x 1 + 3 x 3 + 2 x 4 qui est égal à zéro sur la deuxième ligne gx2 - 2 x 3 + x 4 qui est égal à zéro et sur la dernière minute j'ai zéro égal à zéro donc c'est pas très intéressant donc j'essayais deux équations je vois déjà que ici x3 x4 sont des variables le libre ça c'est des variables libre et maintenant je peux récré mon système je vais dire que x 1 c'est égal si je fais passer les x3 et x4 de l'autre côté donc c'est moins 3 x 3 - 2 x 4 et x2 c'est égal à 2 x 3 + 6 4 donc une fois que j'ai les solutions sous cette forme je peux les mettre comme d'habitude sous forme de d'une combinaison une aire de deux vecteurs donc je veux dire que mon vecteur x mon vecteur x donc x1 x2 x3 x4 donc qui ait ce facteur ix il appartient au noyau de deux matrices chaude échelonné réduite et je peux le mettre sous la forme ici je vais avoir x 3 x un premier vecteur plus x 4 fois un deuxième vecteur et du coup dans ce vecteur ya quoi ici de coûts x 1c moins trois risques - 3 x 3 - 2 x 4 donc - 3 - 2 x 2 on a dit que ces 2 x 3 + 6 4 donc 2 et un x3 d'acdc toujours égale à x3 donc c'est une fois x3 + 0 x 4 x 4 c'est toujours égale et x4 donc c'est 0 x3 et une fois x4 coup qu'est ce que ça me dit ça ça me dit moi ce qui m'intéresse c'est d'avoir le caire le noyau de à le noyau de à il est égal en fait aux a donc si x à partir d'un noyau doha ça veut dire que x peut s'écrire comme une combinaison linéaire de ces deux vecteurs donc ça veut dire que le noyer 2e à c'est toutes les combinaisons l'inr de ces deux vecteurs donc le noyau de assez levêque tu le noyau de assez levêque tu de ceux de vecteurs - 3 2 1 0 et - 2 1 0 1 donc là j'ai réussi à obtenir une expression de du noyau de a alors maintenant si on revient à mes vecteur ici qui forment mon image je peux me demander est ce que ces vecteurs sont in herman indépendant donc la question est ce que mes vecteur donc mes lecteurs c'est 1 2 3 1 1 4 1 4 1 et 1 3 2 1 3 2 la première question que je me pose est ce que ces vecteurs sont linéairement indépendant linéairement indépendant indépendant reste que je peux répondre à cette question oui parce que j'ai vu dans les vidéos précédentes que si des vecteurs été si ces vecteurs et elin herman indépendant si j'étais linéairement indépendant ça voudrait dire que il y aurait une seule solution une seule solution une seule solution à l'équation haïk cigale 0 une seule solution à l'équation ax égale le vecteur nu qui serait le vecteur nul si ces vecteurs était linéairement indépendant alors y aurait une seule solution à l'équation ax égal zéro qui serait le vecteur nu et du coup par définition ça voudrait dire que le noyau de à se ré égal à l'ensemble formé par le vecteur nul tout seul et en fait c'est la scc c'est réciproque si le noyau est formé par l'ensemble du secteur nul alors il ya une seule solution à cette équation est alors les vecteurs sont énormes en indépendant en fait cédé des équivalences mais ici on a vu que le noyau de à ce n'était pas le vecteur nul il ya acl vectes de deux vecteurs donc c'est pas le vecteur nul ce qui veut dire que ces vecteurs ici ne sont pas linéairement indépendant et du coup si on revient ici ça veut dire qu'une combinaison liliane ce vecteur parcours bien tout l'image doit mais par contre ces vecteurs ne forment pas une base de à ce vecteur ce n'est pas ils ne forment pas une base pas une base parce que ils sont linéairement dépendants ce qui veut dire qu'en fait on peut là forcément un de ces vecteurs qu'on peut écrire comme une combinaison lunaire des autres vecteurs et si on regarde ça d'un peu plus près si le vecteur x appartient au noyau de 2 à 1 ça veut dire qu'ils vérifient l'équation x 1 x 1 2 3 + x 2 x le vecteur un 1/4 plus x 3 x le vecteur 1 4 1 + x 4 fois le vecteur 1 3 2 ça c'est égal à zéro c'est égal aux vecteurs nuls 6 x appartient au noyau doit alors maintenant on sait que x3 et x4 ce sont des variables libre donc je peux très bien choisir de prendre x3 égal à zéro je veux dire x3 égal à zéro et je vais dire que x 4 je le prenais gala - et je vais passer de l'autre côté jeudi 4 égal à -11 1 vu que ce sont des variables bible je peux choisir la valeur comme je veux et du coup si je fais ça je vais avoir que x 1 x 1 2 3 + x 2 voilà un 1 4 est égal à coup ça fait moins quatre fois ce vecteur mais x4 au moins 1 du coup ça fait c'est égal à ce vecteur vecteur 1 3 2 et maintenant vu qu'on a dit que x que le facteur x donc x1 x2 x3 x4 appartenait au noyau de à ça veut dire que l'on connaît les expressions de xdrive x1 x2 en fonction du x3 x4 on l'a vu plus tôt elles sont donnés ici ces équations là aussi je leur ai écrit ici ge x1 qui est égal à - 3 x 3 - 2 x 4 et x2 qui est égal à 2 x 3 + x 4 donc si je prends comme j'ai dit si je prends x3 égal à zéro et x4 égal à - 1 x un niveau du cou x30 il te savent au moins 20 x 4 vaut moins d'un coup ça fait moins deux pour -1 ça fait deux ans que se dire que x un égal à 2 et x2 ivo ivo is like donkey au moins un x2 égal à -1 donc si on remplace ici maintenant x1 par deux et x2 par mois'' 1 qu'est-ce que j'ai j'ai deux fois un moins une fois un de coup ça fait 1 qui est égal à 1 g ici deux fois 2 4 - 1 du coup ça fait 3 qui est égal à 3 ici j'ai 6 - 4 est bien égale à 2 donc ce que j'ai fait c'est que j'ai réécrit ce dernier vecteur comme une combinaison in her de mes deux autres vecteurs donc ça veut dire que ce vecteur là et redondant il peut s'écrire comme une combinaison de linéaire de deux autres vecteurs donc je peux l'enlever de mon set et si je l'enlève je vais perdre aucune dimension dans le texte je peux faire la même chose maintenant en prenant x4 égal à zéro et en prenant x3 égal à monza si je fais ça je vais marquer ici j'ai dit x4 égal à 0 x3 égal à -1 et du coup pareil si je prends x1 fois le vecteur 1 2 3 + x 2 x le vecteur à 1 4 1 1 4 c'est égal a du coup si cx3 que je fais passer de côté donc c'est légal le vecteur 1 4 1 1 4 1 et maintenant si je retourne à mes équation ici je vais remonter un tout petit peu ici donc si je prends x4 égal à zéro et x3 égal à -11 1 x 1c moins trois fonds - 1 donc ça fait 3 x 1 égal 3 x 2 c'est - c'est deux fois moins 1 dont il fait moins 2 x 2 égal à -2 et du coup ici si je remplace x1 par 3 x 2 par mois 2 ici j'ai 3 - 2 ça fait 1 6 - 2 ça fait 4 9 - 8 ça fait 1 donc j'ai bien écrit ce vecteur comme une combinaison minière des deux autres vecteurs je peux aussi l'enlever de mon ensemble hi fi sans perdre de dimension pour le vectes à faire ça ça veut dire quoi ça veut dire que l'image de à l'image de à j'ai dit que c'était et gallo vectes de v1 mais vecteur colonnes je les appelais v1 v2 v3 v4 v1 v2 v3 et v4 mais en fait ce qu'on vient de voir c'est que v4 peut s'écrire comme une combinaison linéaire des deux autres v3 la même chose est en fait il nous reste que l'image de 1 c'est égal au vectes de v1 et v2 est est ce que là on a une base on sait que ce mec tu parcours tout l'image doit maintenant il faut montrer que ces deux vecteurs sont linéairement indépendant et en fait on le voit assez facilement parce que ici pour avoir pour qu'il soit linéairement dépendant il faudrait qu'en multipliant le premier vecteur par un réel c j'arrive à obtenir le deuxième vecteur en fait on voit que si on veut obtenir les bons coefficient ici il faut que ces soirées galas et à ce moment et si j'ai deux quais pas égale donc ça marchera jamais donc ces deux vecteurs ici sont bien linéairement indépendants et ils forment bien une base de l'image de à ce que j'ai dit les deux veulent ensemble formé par mes deux vecteurs 1 2 3 et 1 4 1 1 4 forment une base c'est une base 2 l'image doit voilà donc j'espère que tu as bien compris comment est-ce qu'on pouvait a pas jouer avec l'image et le noyau l'un aidant à calculer l'autre etc et dans les vidéos suivantes on va continuer à travailler là dessus pour que ce soit de plus en plus clair