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Preuve : toute base d'un sous-espace possède le même nombre d'éléments

Transcription de la vidéo

alors dans cette vidéo on va s'intéresser aux bases d'un sous espaces et on va s'intéresser plus précisément aux nombre d'éléments dans une base dans ces espaces donc prenons par exemple la base ah ah c'est un ensemble donc c'est un ensemble de deux vecteurs ya les lecteurs à 1 à 2 etc jusqu'à à nkm éléments dans as et c'est une base devait on va supposer que mon ensemble à c'est une base devait donc j'ai dit dans dans aia un élément n éléments et on va essayer de montrer que tout élément qui va ce qu'on appelle qui va générer v c'est à dire que tout ensemble en fait qui a suffisamment d'éléments pour que tous v puisse être construit par combinaison linéaire de ces éléments dans toutes ensemble qui génère vais à au moins un élément donc ça veut dire que tout ensemble qui couvrent v a autant ou plus d'éléments que cette base de devait donc je vais écrire on va essayer de montrer que tout ensemble toutes ensemble qu'ils génèrent qui génére vais à au moins au moins un élément maintenant ce qui est important c'est le au moins se dire qu il peut y en avoir plus mais on sait que l'on veut montrer que le minimum d'éléments qu'un tel ensemble peut avoir c'est n est alors pour montrer ça on va raisonner par l'absurde c'est à dire qu'on va prendre un ensemble b et on va dire que cet ensemble b il est compris de b1 b2 extra jusqu'à b m et je vais supposé parce qu'on raisonne par l'absurde dont je vais supposer que m est inférieure à n c'est à dire que l'ensemble bea moins d'éléments que l'ensemble a et pourtant que b gène hervé génève et c'est à dire que l'ensemble des combinaisons linéaire des éléments de b permet de couvrir tous les éléments devaient donc ça c'est en complète contradiction avec ce que je vais montrer ici est ce que j'ai écrit en blanc mais du coup c'est un raisonnement par l'absurde et je vais voir que ça en fait c'est pas possible donc pour faire ça je vais prendre un ensemble modifié je vais dire je vais prendre l'ensemble baa1 prime je veux dire qu'en fait illégal à quoi il égale à l'ensemble b donc b1 b2 et c jusqu'à b m auquel je vais rajouter un élément de à je vais rajouter à un jeu racheté à un ici donc puisque le sait c'est que ça je sais qu'il appartient à et appartient avait à il appartient avait vu que la l'ensemble a est une est une base devait donc le à un ici il appartient vais et je sais que cet ensemble là c'est une c'est un ensemble générateur devait ça ça génère sage énervé donc ça veut dire que forcément vu que cet ensemble ici j'ai nerveux ça veut dire que ce à un peut s'écrire comme une combinaison r&d b1 b2 jusqu'à bm donc cet ensemble b imprime et linéairement dépendant dit il et linéairement dépendant forcément parce que on a rajouté ce1 ici est donc ce qu'on a dit c'est que à 1 doit pouvoir s'écrire comme une combinaison in her débit donc c'est on va écrire à 1 il peut s'écrire comme c'est un b 1 plus ces deux b2 plus etc jusqu'à cmb m ça je peux l'écrire comme ça je sais que je peux l'écrire comme ça parce que cet ensemble et linéairement dépendant donc maintenant ce qu'on va faire c'est qu'on va supposer donc il ya forcément un d un dci au moins qu'ils n'ont nulle donc je vais supposée supposons que on va prendre ce et j'y sois mon nul ces vies différentes 0 donc à 1 d un des ces jmj qui n'ont nulle et à soi à ce qu'on peut faire c'est qu'on a on peut résoudre pour bgi c'est à dire qu'on peut isoler belgy passé tout le reste de l'autre côté et du coup je sais que benji je peux l'écrire comme moins un sur cj facteur de moins à un plus c'est un b un plus et c'est jusqu'à cmb m nous voilà donc je peux écrire b j du coup comme une combinaison une fière d autres éléments de monde demain mon ensemble b1 prime donc ça veut dire que mon bep j ici et redondante ça veut dire que je peux l'enlever de mon rendement d'ensemble ici tout en continuant à générer v ça cette cet élément je peux l'enlever c'est un élément qu'on peut enlever demain 7 on peut enlever tout en continuant à générer touver est alors pour la simplicité je vais juste faire un petit passage avant de l'enlever je vais supposé et je perds pas de généralités en disant ça je vais supposer que mon bep j j'ai supposé que c'est mon bep en fait je vais remplacer mon bep j par mon bien et du coup mon b 1 je l'envoyais ab j c'est juste ça c'est juste une histoire de notation mais comme ça ça va pouvoir me permettre d'enlever b1 et cela est plus facile à écrire donc si je fais ça je vais écrire maintenant ensemble b1 j'ai enlevé le prime qui est ici ben je vais dit accès l'ensemble compris par à 1 j'ai toujours moins ici et maintenant il me reste les b2 vu que j'ai enlevé bien jusqu'à bm voilà donc maintenant j'ai un nouvel ensemble qui a un élément de moins que je suis là mais je sais que cet ensemble b1 génère vais toujours parce qu on a enlevé uniquement un élément qui était abondant donc cet ensemble la gnr il génère toujours vais je peux faire la même chose encore une fois je prends un bep deux primes je prends un ensemble b2 primes et je veux dire que cet ensemble c'est l'ensemble je vais prendre l'ensemble bien et je voulais rajouter à 2 donc ça à faire à un recul à 2 et him as les b2 b3 b3 jusqu'à bm ça c'est mon ensemble b2 prime alors qu'est ce que je peux dire sur cet ensemble p de primes et bien je peux dire qu'ils les linéairement dépendants parce que j'avais cet ensemble ici bien qu'ils génèrent v et je rajoute à 2 or à deux il appartient lui aussi avait donc qui peut s'écrire comme une combinaison d'une r&d à un bep 2 jusqu'à bm donc c'est ce que je vais faire je veux dire que à 2 à 2 il s'écrit comme je vais écrire c'est un à un plus ces deux b2 plus etc jusqu'à cmb m alors attention ici c'est pas les mêmes c'est pas les mêmes c'est y qui ici juste utilisé la même notation c'est parce que c'est plus pratique alors maintenant ce que je sais c'est qu'il ya un ces gie qui n'ont nulle donc on va supposer on va l'appeler sévit encore une fois on va dire que c'est j ai différentes 0 alors là il y en a une information en plus on sait qu'on ne peut pas avoir uniquement c'est un nul parce que si on a tout laissé deux jusqu'à cm qui sont nulles et c'est un nul ça veut dire que à deux est égal à ses 1 x 1 ça voudrait dire que l'ensemble 1 à 2 à 1 et linéairement dépendants or on a vu que a c'était on a supposé que c'était une base devait donc ça veut dire qu'elle est linéairement indépendante et ça veut dire que 1 et à 2 e sont aussi linéairement indépendants ils peuvent pas être écrit à deux ne peut pas écrire comme ces fois donc ce segi est forcément associée à un bep j -c peut pas être associé à un et du coup on peut exprimer ce b j en fonction du reste et du coup on peut dire que benji comme avant c'est égal à 1 / - 1 / cj fois moins à 2 plus c'est un à un plus et c'est jusqu'à cnbm donc voilà donc là j'ai exprimés encore une fois mon bep j en fonction des autres d autres éléments donc ce qui veut dire qu'encore une fois ce belge y est un élément qui est vraiment dans j'en ai pas besoin j'en ai pas besoin pour générer v ça veut dire que je peux l'enlever de mon ensemble sans problème tout en continuant à générer vais donc comme j'ai fait au dessus ici je vais faire un petit changement d'un 10 juste pour que ce soit plus pratique je veux dire que benji est égal à b2 et je veux dire que b2 est égal à baiji donc je vais remplacer b2 je remplace les bep j par b2 et b2 par bgi donc si je fais ça maintenant je peux réécrire je peux changer mon ensemble je vais l'appeler b2 et je vais dire que b2c quoi c'est l'ensemble à 1 à 2 et je vais enlever b2 document est b3 jusqu'à bm ça c'est mon nouvel ensemble qu'est ce qu'on peut dire de cet ensemble on peut dire encore une fois qu'ils génèrent v ça c'est un ensemble qui génère vais parce que j'ai uniquement enlever un élément qui était b/j et qui étaient redondantes vu qu'ils pouvaient écrire comme une combinaison lunaire d autres d autres vecteurs je pense que tu as compris l'idée maintenant je peux continuer je peux définir un ensemble b3 prime qui va être égal à l'ensemble b2b mais où je vais rajouter l'élément à 3 donc ça va être à a1 a2 a3 et je vais continuer avec b3 jusqu'à bmb 3 jusqu'à bm donc ça encore une fois je sais que c'est c'est un ensemble qui est linéaments dépendant linéairement dépendants pourquoi parce que j'ai rajouté à 3 qui est inclus dans v et tous les autres éléments suffisent à générer vais donc encore une fois je peux écrire à 3 à 3 je peux l'écrire comme une combinaison une ère d autres deux autres vecteurs donc cc1 à un plus c'est 2 à 2 plus ces trois baies 3 + etc jusqu'à + cmb m et donc encore une fois et si ya forcément un des cj associé à un bep j qui n'ont nulle parce que encore une fois il peut pas y avoir uniquement c1 et c2 qui sont nuls parce que si c'était le cas ça voudrait dire que à 3 et une combinaison est une combinaison linéaire de a1 et a2 et ça c'est pas possible parce que ma base parce que l'ensemble arrête une base donc ça veut dire qu'elle est linéairement indépendante et du coup je peux encore enlever un bep j et remplacer ce bgi par b3 et du coup si je fais ça je veux obtenir mon ensemble b3 que je vais écrire comme à 1 a2 a3 et du coup j'ai enlevé b3 du queen west bay 4 jusqu'à bm et ça je sais que c'est toujours un ensemble qui génère v ça c'est toujours un ensemble qui génére vais parce que j'ai uniquement enlever le b3 qui étaient abondants et du coup je pense que tu as compris maintenant je peux continuer le processus et je vais me retrouver jusqu'à bm si je regarde ce qui se passe à bm dont j'ai rajouté à 4 j'ai enlevé b4g racheter à 5 j'enlevais b5 etc et je me retrouve avec bm qui est l'ensemble à 1 à 2 jusqu'à à m et en fait j'ai enlevé tous les bébés les belges kbm donc bm il est compris uniquement des éléments de a aucun à deux cas à m et selon la logique que j'ai appliqué avant ça c'est un ensemble qui génére v cet ensemble la gêne et revêt heinzelmann ce qu'on avait fait au début on avait pris l'ensemble a donc qui égala à 1 à 2 à m jusqu'à ensuite jusqu'à la haine parce qu'on a dit que m était inférieur à mm est inférieure à n donc ça veut dire au passage qui fit l'on peut bien remplacer chaque élément de b par un élément de a vu qu'on a plus éléments de rack d'éléments dans bay et on a dit que à c'était une base devait assez une base devait une base devait donc ça veut dire que celle générée énervé et ça veut dire qu'elle est linéairement indépendante et si on regarde ce qu'on a ici en fait cette famille a un à deux cas m on a dit qu'elle est suffisante pour générer v ça ça génère gêné revêt donc ça veut dire que si on rajoute au delà des éléments qui sont inclus dans v on va avoir une famille la famille à hinges knl va être linéairement dépendantes sas implique que à elin herman dépendantes parce que cette famille a un à deux carrés mais suffisante pour générer vais donc ça veut dire que la haine peut décrire comme une combinaison line r d à un à deux cas m et ça c'est en complète contradiction avec le fait que à soi une base donc par définition c'est linéairement indépendant donc elle peut pas être linéaire indépendante donc on a montré par l'absurde que si on prenait un ensemble avec moins d'éléments qu'une base en fait il ne pouvait pas gêner rêver c'est pas possible parce que sinon on arrive à une contradiction que ma base elin herman dépendantes donc si on conclut tout ce qu'on a dit là ça signifie qu' il n'existe pas il n'existe pas d'ensemble b qui génére v avec moins d'éléments que à avec moins d'éléments k ce qu'on peut avoir des des ensembles qui ont moins d'éléments que jamais à ce moment là ils vont pas gêner rêver on peut avoir des ensembles qui génére v mais un soir ils seront au moins autant d'éléments que ea et maintenant qu'est-ce que ça veut dire pour les bases si on prend x ont choisi xk un ensemble et on va dire kicks est une base de vx7 une base devait on va supposer et on va supposer que x à cinq éléments donc ça on suppose ça et maintenant on regarde l'ensemble y est on va supposer que y est aussi une base devait y c'est aussi une base de v y'a pas unicité de la base donc xy peuvent être différents mais on suppose que chacun sait une base de v et a maintenant la question c'est combien d'éléments il y à dents y si on regarde ce qu'on a dit ici si on prend x comme une base ça veut dire que y ne peut pas avoir moins d'éléments que x ça veut dire que le nombre d'éléments dans y on va l'écrire comme ça le nombre d'éléments dans y ait forcément supérieur ou égal au nombre d'éléments dans x 8 x est une base est que y y est une base donc elle doit générer vais donc ça veut dire que le nombre d'éléments dans y ait forcément ne peut pas être inférieur au nombre d'éléments dans x ça veut dire que le nombre d'éléments dans une grecque doit être supérieur ou égal au nombre d'éléments dans x on peut voir les choses dans l'autre sens il y est une base devait donc ça veut dire que vu que x gêné revêt x doit avoir au moins autant d'éléments que y ça veut dire que le nombre d'éléments dans x doit être supérieur ou égal au nombre d'éléments de y ce que j'ai dit le nombre d'éléments dans x doit être supérieur ou égal au nombre d'éléments dans y est du coup si on regarde ces deux conditions ça veut dire quoi le nombre d'éléments dans y tu dois être supérieur ou égal au nombre d'éléments de rixe mais doit être aussi inférieur ou égal au nombre d'éléments de rixe donc ça veut dire que le nombre d'éléments dans y doit être égal au nombre d'éléments dans x et ça c'est très important parce que ça veut dire que quelle que soit la base comprend pour v elle aura un nombre d'éléments fixée et tout les autres bases devait auront le même nombre d'éléments et du coup ce qu'on va pouvoir faire à partir de ça c'est qu'on va pouvoir donner une nouvelle définition qui est la dimension la dimension d'un espace v on va l'appeler dim on va le noter dim devait et la dimension de v ça va être égal au nombre d'éléments dans une base devait le nombre d'éléments d'une base devait en fait c'est le nombre d'éléments dans toutes les bases de v parce que toutes les bases de v vont avoir le même nombre d'éléments donc ça c'est bien c'est bien quelque chose qui existe et qui est fixé vu que toutes les bases auront le même nombre d'éléments ça c'est bien quelque chose de donner donc on peut maintenant parler de la dimension de v qui va être égales par exemple ici six à cinq éléments ça veut dire que v et de dimensions 5