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Contenu principal
Heure actuelle :0:00Durée totale :8:33

Montrer la relation entre les colonnes de la base et les pivots des colonnes

Transcription de la vidéo

alors dans la vidéo précédente on était parti de cette matrice à que j'ai dessiné ici et on avait voulu savoir quel était le voulez connaître une base de l'image de à et pour ça en fait on était en avait calculé la matrice et je tenais réduite de a donc celle ci c'est la matrice air et on avait vu qu'en fait sur la matrice r on avait trois pivots donc les pivots sont ici ici et ici et on avait dit que du coup les trois vecteurs colonnes correspondant à ces trois pivots été légèrement indépendant former une famille libre donc on avait dit que la famille r1 r2 r4 c'était une famille libre c'est une famille on a dix familles libre quand je dis family brun c'est toujours la même chose c'est que les vecteurs sont linéairement indépendant c'est c'est la même chose de dire les deux et l heure à partir de ça on avait dit du coup que les vecteurs colonnes un à deux et à quatre étaient aussi linéairement indépendant et du cookie former une base de l'image de à mais j'avais pas prouver le lien qui existait entre le fait que cette famille de r1 r2 aircap tout une famille libre et le fait que la famille 1 à 2 à 4 soit une somme minime et le but de cette vidéo ça va être de montrer justement de prouver ce lien alors juste avant que je commence ici j'ai dit du coup que les vecteurs colonnes associé à mes pivot former une famille libre en fait ça c'est s'est pas uniquement vrai sur cette matrice des comprend une matrice échelonné réduite tous les vecteurs correspondant au pivot tous les vecteurs colonnes correspondant au pivot forment ensemble une famille libre s'agit de marquer la quelle que soit la matrice la famille que l'on construit avec les vecteurs colonnes pivot donc la famille des vecteurs colonnes correspondant au pivot pour toutes matrix échelonné réduite donc pour tout pour tout matrix échelonné réduite échelonné réduite est une famille libre est une famille libre donc ça veut dire que les vecteurs sont linéairement indépendant donc maintenant si on regarde notre famille ici notre famille fan2 fr 4 on a dit que les vecteurs était l'une herman indépendant ça on sait qu'on peut le traduire directement par le fait que si on prend ces 1ères un plus c2 r2 plus ces quatre r4 égal à zéro et gallo vecteur nul si on prend cette équation l'a vu que cette famille est une famille libre ça veut dire que on a forcément c'est un qui est égal à ces deux qui est égal à ses 4 qui est égal à zéro ça on l'a on a forcément la seule solution de cette équation de l'équation c1 est rempli ces deux aires de plus et 81,4 égal à zéro c'est que c'est un gars là deux et c'est un gars le c2 et galsi 4 égal 0 alors maintenant qu'est-ce que ça veut dire ça veut dire que si ici on multiplie ma matrice échelonné réduite pas un vecteur mais on va pas prendre un vecteur quelconque on va prendre un vecteur c1 c2 0 c 4 0 ça veut dire qu'on a pris un vecteur quelconque c1 c2 c3 c4 c5 et qu'on a imposé que ces trois soit égal à zéro et que ces cinq soit égal à zéro qu'on a posé des contraintes sur c'est sur ces deux éléments là est ce qu'on dit c'est que pour que la multiplication de cette matrice et shawn est réduite par ce vecteur soit égal aux vecteurs nul donc ici le vecteur est le vecteur 00 00 comment est ce qu'on peut leur écrire ça on peut leur écrire tout simplement là on a c'est un foyer rhin c1 r1 plus ses deux frères de plus ces quatre fois r4 et du coup on a dit qu'on voulait que ce soit égal à zéro donc ça c'est exactement ce que j'écris là donc ce que je dis ici c'est que si je prends un vecteur sous cette forme et je veux que ce vecteur soit compris dans le noyau de matrix faire c'est à dire que la multiplication de matrix par ce vecteur donne le vecteur nu alors ça me donne cette équation et du coup je sais que alors j'ai c'est un qui doit être égale à ces deux qui doit être égale à ses 4 qui doit être égale à zéro est ce que j'ai dit c'est que du coup pour que ce vecteur là appartiennent au noyau de r alors ça doit vérifier ces conditions mais ce qu'on a ce qu'on sait c'est que les solutions de l'équation f -x égal à zéro les solutions les solutions c'est le caire noyau de matrix air climat matrix et shawn est réduite de 1 et les solutions de l'équation ax égal à zéro donc ici c'est des vecteurs si c'est le vecteur nul les solutions de cette équation c'est le noyau de a et on a on a on a vu que le noyau de r est le noyau de à étaient égaux donc ce qui veut dire si je reviens à ce vecteur là j'ai dit si ce vecteur là appartient à mon noyau de r c'est à dire que phil le produit de r fois ce ce vecteur est égal à zéro alors on doit avoir c'est un régal 0 c20 c4 égal 0 mais ce que disait que maintenant si je veux que ce vecteur appartiennent au noyau de à c'est à dire que si je prends ce vecteur c1 c2 0 c 4 0 et je veux qu'ils appartiennent au noyau doit c'est-à-dire qu'ils soient de la forme que le résultat soit 0 0 0 0 donc je suppose qu'il existe un un vecteur de ce type là dans le noyau 2 1 et à ce moment là ce que je sais c'est que c'est que le seul vecteur de ce type là qui existe dans le noyau à c'est le vecteur où c'est un égal ces deux dlc 4 il ya les héros parce que je sais que le seul vecteur qui existent de ce type dans le noyau de r c'est celui où il ya c'est un régal c10 c20 c4 égal zéro donc ça me dit que la seule solution à l'équation c'est un à un plus c'est 2 à 2 plus c'est 4 à 4 égal avec temps nul c'est la seule solution de cette équation c'est c'est un égal ces deux égale c4 égal zéro sinon ça voudrait dire qu'il ya un vecteur qui appartient au noyau de à mais qui n'appartient pas au noyau de m et ça c'est pas possible donc la seule solution c'est que c'est un régal ces deux eagles et 4 égal à zéro et donc ça qu'est ce que ça me dit samedi que la famille que la famille d a1 a2 a4 la famille des à un des vecteurs a1 a2 a4 est une famille libre ça c'est bien une famille libre donc les vecteurs sont linéairement indépendant et du coup en fait j'ai montré grâce au fait que le noyau de r soit le même que le noyau de 1 que les vecteurs associé à mai mais pivot forme bien une famille qui est libre du coup maintenant pour finir de montrer que cette famille ici un à deux à quatre forment une base de l'image de loi il faut encore montrer que c'est une famille génératrice de l'image doit et ça je le laisse pour la pour la prochaine vidéo