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Contenu principal
Heure actuelle :0:00Durée totale :13:40

Transcription de la vidéo

dans les dernières vidéos je me suis intéressé à cette matrice à est en fait je me suis intéressé à la base de l'image de cette matrice et pour obtenir la base de l'image de cette matrice je les passais en forme et échelonner réduite donc c'est cette forme ici et du coup j'ai remarqué qu'il y avait dans cette matrice échelonné réduite j'avais trois pivots un ici un ici et ici du coup et j'ai remarqué que en fait les vecteurs colonnes associés à ces trois pivots donc j'ai noté r1 r2 et r4 former une famille libre donc ça on sait déjà on le voit visuellement que c'est une famille libre parce que ici par exemple g11 ici et des rôles a donc je peux pas obtenir r1 par contre des zombies nerfs 2 à 2 à 2,4 c'est la même chose pour r2 ou g11 ici des rôles qui donc ne peut pas l'obtenir par combinaison in her 2 et 2,4 et la même chose frères 4 que je ne peux pas obtenir par combinaison lunaire de r1 r2 d2 r2 et j'ai consacré la dernière vidéo à la démonstration du fait que si cette famille ici est une femme libre alors la famille des vecteurs colonnes a1 a2 et a4 est aussi une famille libre sa gelée démontré dans la dernière vidéo donc et moi ce que je veux montrer c'est que cette famille a un a2 et a4 est une base est une base de l'image de à une base de hymne de à ça je les dis au début j'ai démontré dans la dernière vidéo que cette famille était bien une famille libre et ce qui me manque qu'il faudrait pour prouver que cette famille et d'une base de l'image doit il faut montrer que le vectes 2 à 1 à 2 a4 est égal à l'image de ah ça c'est ce qu'on voudrait montrer ça c'est la question qu'on se pose dans cette vidéo est ce qu'on sait par définition on sait que ici du coup suis-je note ici j'ai le vecteur à 3 et ici j'ai le vecteur à 5 je sais que le vectes 2 à 1 à 2 à troyes 1 4 à 5 par définition ce mec tu est égal à l'image de a donc si j'arrive à montrer qu en fait ici dans ce mec tu le vecteur à 3 est le vecteur à 5 n'ajoute rien c'est à dire qu'ils sont redondants à ce moment là j'aurais bien démontré que le 22 à un à deux et à quatre est égal à l'image de 1 donc pour ça ce que je vais faire c'est que je vais prendre l'équation qu'on connaît bien maintenant donc je multipliais la vecteur la matrice à part un vecteur x1 x2 x3 x4 x5 et je vais dire que ce vecteur x ici ça c'est le vecteur x je veux dire qu'il est compris dans le noyau doigts c'est à dire que le résultat de cette équation c'est le vecteur nul 0 0 0 0 et je sais que filet dans le noyau doit il est aussi dans le noyau de r c'est à dire que ère fois mon vecteur ix x1 x2 x3 x4 x5 je sais que ça c'est aussi égal aux vecteurs nul parce que si x dans le noyau doit il est dans le moyen de r donc maintenant on sait qu'on peut réécrire ses équations sous la forme par exemple pour la première question c'est que ça ça veut dire que x 1 fois à un plus x 2 x à 2 + x 3 x 3 + 6 4 fois à 4 + x 5 x à 5 est égal à zéro est égal aux vecteurs nul ça c'est la première chose et la deuxième chose on sait de même façon d'après cette équation on sait que x 1 r1 plus x 2 r2 plus x3 r3 plus x4 r4 plus x5 r5 est égale lui aussi au vecteur nul suis ici j'ai je les ai pas noté mary gr iii est ici gr5 et je sais aussi que x1 x2 et x4 sont des pivots il fige les jeux les montrer ça ce sont des pivots et je sais également que x3 et x5 sont des variables livre ça c'est une variable libre ça c'est une variable libre et du coup ici quand dans cette équation j'ai la même chose x3 x5 sont aussi des variables ivre dans cette équation et c'est là que ça devient intéressant pourquoi parce que si c'est des variables livre qu'est-ce que je peux faire des variables bible je peux les fixer arbitrairement donc x3 et x5 donc les deux appartiennent sont des réelles et ses réelles je peux les fixer arbitrairement ça on peut les fixer on peut les fixer arbitrairement arbitre ait eu roman et pourquoi pourquoi est-ce que je peux les fixer arbitrairement parce que de toute façon une fois que les aurait fixé je veux avoir par exemple on va dire que x 1 il va être égal à par exemple b x x 3 plus c'est x x 5 x 2 va être égal à dx3 plus ex5 et x4 va être égal à f x 3 plus j'ai x5 ou b c d e f g sont des ailes en fait qu'on pourrait calculer mais là je les calculs pas ici mais je sais que ces trois pivots x1 x2 if 4 peuvent s'écrire en fonction des deux variables livre x3 et x5 est donc maintenant vu qu'on peut fixer x3 x5 arbitrairement je peux prendre par exemple x3 égales - 1 et x5 égal à zéro ça j'ai le droit de le faire vu que je peux les fixer arbitrairement et si je fais ça dans cette équation là si je passe ici du coup je vais avoir moins à trois si je le passe de l'autre côté je vais pouvoir obtenir à 3 qui va être égal à quoi ça va être égal à x 1 à 1 + x 2 à 2 + x 4 à 4 et en fait j'ai pas de x5 parce que j'ai pas de à 5 parce que x50 et du coup ce que j'ai fait ici c'est que j'ai bien obtenu une expression 2 à 3 en fonction de un à deux et à quatre donc j'ai bien écrit à trois comme une combinaison linéaire de a1 à a2 et a4 est alors la seule chose qui manque c est ce qu elle existe vraiment cette combinaison lunaire est-ce que x 1 x 2 x 4 existent tels que j'ai à trois qu'ils soient égales à ça ben oui parce que ce que j'ai dit c'est que istres x3 x5 je peux les fixer arbitrairement et à ce moment là j'ai x1 qui va être égales par exemple si je prends x3 galles - 1 x 5 et 15 euros je vais avoir x1 qui va être moins b x 2 qui va être moins d et x4 qui va être moins f mais il existe x1 x2 x4 existe et du coup je peux bien dire que à 3 peut s'écrire comme une combinaison l'inr de un à deux et à quatre donc il est bien redondance et de la même façon si j'avais pris x x 3 égal zéro et x5 égal moins j'aurai obtenu une expression 2 à 5 ans en fonction des autres vecteurs dans ses fonctions de un à deux et à quatre donc ça veut dire que à 5 est aussi redondant il peut s'écrire comme une combinaison in her 2 à 1 à 2 à 4 donc ce que j'ai montré c'est que ici les deux vecteurs à trois et à cinq sont bien des vecteurs qui sont redondants j'en ai pas besoin ici vu que le vectes levêque tu de 1 à 2 à 3 à 4 à 5 ce avec le même que le vecteur de 1 à 2 à 4 donc j'ai bien que le vectes de 1 à 2 à 4 est bien égale à l'image de 1 donc j'ai montré que ma famille 1 à 2 à 4 est une famille livre sa gelée montré dans la dernière vidéo j'ai montré qu'elles qu'elles génèrent l'image doit ça veut dire ce que j'ai écrit en dessous du fils de dire que ma famille génère l'image doit elle génère image doit donc enfin j'ai montré que cette famille ici est une base de l'image doit voilà j'espère que c'était c'était suffisamment clair pour toi