If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal
Heure actuelle :0:00Durée totale :21:11

Interpréter le sous-espace engendré par les colonnes comme un plan de R3

Transcription de la vidéo

dans la vidéo précédente on est parti de cette matrice a ici et on a essayé de déterminer l'image de à et le noyau doit alors pour l'image doit on est dit très rapidement que c'était le levêque tu de ces quatre vecteurs colonnes mais on n'avait aucune idée si c'est si ces vecteurs été était formé une base de l'image de how pas s'il était linéairement indépendants ou pas en fait en s'aidant du noyau doit on a déterminé que ces deux vecteurs ici était pouvait être exprimée comme une combinaison une ère des deux autres premiers vecteurs et du coup ces quatre vectone ne formaient pas une base de l'image de à mais cette base était formée uniquement par les deux premiers vecteurs en fait pour obtenir ça on a remarqué que en mettant cette matrice à sous la forme échelonné réduite ces deux vecteurs sont liées aux deux variables libre ici c'est à dire que on a deux on a deux pivots qui sont ici et ici et qui sont liées à mes deux vecteurs ici mes deux premiers vecteurs si je si je fais le calcul si je fais le produit de cette matrice par le vecteur ici je vais avoir un x1 ici je vais avoir x2 ici je vais avoir x3 ici je vais avoir x4 du coup mes deux variables mais deux pivots vont bien les plier à x1 x2 et mes deux variables hymne à x3 x4 si je fais la même chose avec la matrice a ici j'ai bien x1 ici x2 ici x3 ici x4 donc mes deux vecteurs ici mes deux premiers vecteurs vont être liés aux variables aux variables pivot alors que mes deux derniers vecteur vont être lié à mes deux variables libre en fait c'est exactement ce qu'on a utilisées parce que nous ce qu'on a dit c'est que on a à chaque fois exprimé une des variables libron laprise égal à zéro et l'autre on a apprise égal à -1 et c'est comme ça qu'on a exprimé les vecteurs en fonction des deux autres vecteurs pour chaque est ce que je dis là c'est juste une généralisation de ce qu'on a fait qui est de dire que les vecteurs colonnes associés aux variables libres sont des vecteurs qui vont être redondant alors que les vecteurs qui sont associées aux variables pivot vont former une base de l'image doit et du coup on était arrivés au point où on a maintenant une base pour l'image de à mais on n'est pas encore capable de de représenter l'image de a alors ça on peut le faire donc on a vu que l'image de ea s'était elle était formée par l'évêque tse levêque de v1 et v2 et 20 et v2 sont ces deux vecteurs ici ces deux vecteurs l'a donc chacun appartient à r 3 donc on peut les représenter sur un graphique assez facilement si on prend un repère x y z comme cette fille oui si j' y x et z je peux dire que mon premier vecteur donc un deux trois c'est 1 2 et 3 il va être quelque part comme ceux ci par exemple c'est un peu difficile à dessiner en trois dimensions mais va être quelque part comme ceci mon deuxième vecteur ici à 1,4 je vais le dessiner en rouge 1,4 ici on va dire du coup un 1 4 on va dire qu'il va être quelque part comme ceux ci ça c'est mon deuxième vecteur et du coup ces deux vecteurs forme un plan qui a édifié la dessiner mais un plan on va dire comme ceux ci dans r3 et a maintenant ce que j'aimerais c'est pouvoir avoir une équation de ce plan et pour ça on ça c'est quelque chose qu'on a déjà fait pour avoir une équation du plan je prends une normale à ce plan n et je sais que n va être normal à tous vecteurs du plan du coup par exemple si je prends un point sur le plan ici défini par x y et z x y et z je sais que le produit scalaires de haine par en fait il ya un point qui est important ici c'est que le vecteur ou l'origine du repère et bien compris dans le plan ici parce que vu que l'image de à celle vectes devient et v2 si je prends comme combinaison lunaire de v1 et v2 0 avait un plusieurs os x v 2 j'ai bien que le point 000 et fait partie de l'image de a donc l'origine fait bien partie de l'image doit donc en fait le vecteur x y z est directement un vecteur du plan donc si je prends le produit scolaire de mon veto rennes par mon vecteur x y z x y z se produit ce cas l'air je sais par définition qui va être égal à zéro alors maintenant un point qui est important c'est que j'ai défini du coup ça mais n le vecteur normal je ne sais pas à quoi il est égal n je peux le dessiner il va être ça va être quelque chose comme ça qui va sortir de mon plan ça c'est bon vecteur n mais il faut que je trouve une expression pour n alors une chose que je sais c'est que si je trouve deux vecteurs qui sont dans le dans le plan end va être peut s'exprimer comme le produit vectorielle de ces deux vecteurs et ici en fait j'ai déjà ses vecteurs parce que les deux vecteurs ici qui forment la base de l'image de 1 c'est bien deux vecteurs qui appartiennent au plan vu que le point l'origine est aussi dans le plan ces vecteurs font partie du plan et du coup je peut déterminer n comme le produit vectorielle de ces deux vecteurs donc je veux dire que n c'est égal au produit vectorielle du vecteur 1 2 3 par le vecteur à 1 4 1 1 4 du coup à quoi c'est égal ça alors le premier terme ici je vais avoir deux fois 4 - 3 x 1 ça fait 8 - 3 cd calcul qu'on avait déjà fait le produit vectorielle on l'a on a déjà introduit du coup en fait pour calculer le premier terme je barre les deux premiers organes ce qui se passe en dessous je fais un gamma ici pour avoir le deuxième terme en fait je vais réécrire les premiers terme en dessous j'ai réécrit le 1-1 ici et du coup si je barre ces termes je regarde ce qui se passe en dessous ça fait trois fois 1 - une fois 4 3 - 4 et pour le dernier j'ai écrit les deux termes ici les deux thèmes les deux deuxièmes terme je parle le troisième terme et je regarde ce qui se passe en dessous ça me fait une fois un moins deux fois donc ça me fait un moins 2 et du coup mon vecteur n il est égal à un vecteur 5 - 1 - 1 donc maintenant j'ai une expression pour n et je peux calculer le produit fiscal r2n par le vecteur x y z si je fais ça ici je vais descendre un petit peu donc n il est égal aux vecteurs 5 - 1 - 1 et si je fais le produit scalaires par le vecteur x y z bir ayad qui est un vecteur de mon plan x y z le produit scalaires ça vaut du coup 5 x - y - z et ça je sais que c'est égal à zéro donc voilà donc j'ai trouvé une équation pour mon plan et du coup je sais que l'image de à c'est ce plan là ça c'est bien ce qu'on a dit c'est l'image de à et si on revient la définition de l'image toi une image de assez l'ensemble des vecteurs à x tel que x appartient à rnx appartient à arn et on peut le réécrire ça on l'avait déjà vu on peut l'écrire comme l'ensemble des vecteurs b c'est complètement équivalent tels que ax ax égal à b et x appartient à rnc deux définitions sont complètement équivalente mais du coup on va utiliser ça pour essayer de retrouver cette équation d'une autre façon si on prend je verrai écrire ma matrice donc matrice c'est la matrice 1 1 1 1 1 2 3 et 6 et un 1 4 1 4 1 et 1 3 2 ça c'est ma batterie ça je l'avais écrit ici pour plus de lisibilité et je vais prendre un vecteur b donc b qui appartient à l'image de a et b du coup je vais l'écrire sous la forme sous la forme x y et z maintenant je sais ce que je vais faire c'est que je vais écrire la forme donc ce que je peux avoir c'est ce qui m'intéresse c'est l'équation alix et galbées donc je vais écrire la forme augmenté de la matrice un donc je veux dire que ma matrice augmenté c'est la matrice 1 2 3 1 un 4 1 4 1 1 3 2 ici je vais rajouter les les coordonnées de béquilles son x y et z est ce que je vais faire c'est que je vais essayer d'obtenir la matrice échelonné réduite de cette matrice augmenté donc si je fais ça qu'est ce que j'obtiens donc je vais garder la première ligne donc c'est 1 1 1 1 x et je vais changer ligne en dessous donc je vais remplacer la deuxième ligne par deux fois la première ligne - la deuxième donc ici ça fait zéro ici ça me fait un ici ça me fait 2 - 4 - 2 et ici ça me fait 2 - 3 donc moins 1 voilà ici g2x - y 2x moins y sur la troisième où je vais faire la même chose donc je vais faire la 3ème ligne moins trois fois la première ligne donc ici j'obtiens 0i si j'obtiens un ici j'obtiens un -3 donc ça fait moins deux ici je viens deux mois trois ça fait moins un est ici j'obtiens z - 3 x z - 3 x donc ça c'était la première étape maintenant comme d'habitude je vais garder la deuxième ligne constante et je vais essayer d'annuler l'un au dessus et en dessous donc je garde la deuxième ligne constante donc c'est 0 1 - 2 - 1 et 2 x - y alors ce que je vais faire c'est que je vais commencer par la troisième lille si je fais je vais essayer d'annuler la troisième donc si je fais là si je fais la deuxième ligne - la troisième ligne j'ai bien ici je vais avoir des héros ici et qu'est ce que je vais avoir ici donc j'ai dit la deuxième ligne - la troisième ligne donc ça fait 2 x - y - z - 3 x est en fait sans aller plus loin je vois que pour qu' il ya une solution à l'équation ax et galbées il faut que ce qui a de ce côté là il faut que tout ça se soit égal à zéro parce que ici sinon j'ai zéro qui va être égal à quelque chose qui est non nul par exemple si je prends x y et z tels que ça se soit égal à cinq je vais voir 0 et gagne 5 donc je n'aurai pas de solution donc pour que b fasse partie de l'image de là c'est à dire que pour qu'il y ait une solution à l'équation ax et galbées il faut que ce terme à sous à égal à zéro donc il faut que 2 x - y - z + 3 x soit égal à zéro et maintenant si je regarde le chat qu'est ce que ça me donne ça me donne 2 x + 3 x a fait 5 x - y - z égal à zéro et en fait j'ai retrouvé exactement ce que j'avais trouvé ici ici je retrouve bien l'équation de mon plan qui définit l'image de à caen fait par une une méthode complètement différente j'ai réussi à obtenir exactement le même résultat qui me donne l'équation du plan correspondant à l'image de a donc on va on voit que ça devient ça devient assez intéressant parce que là on commence à mixer un peu les connaissances qu'on a qu'on a acquis on mixe et les connaissances sur l'image doigt sur le noyau doit maintenant là on a vu qu'on a utilisé le produit scalaires on a utilisé le produit vectorielle donkova qu'en fait tout ça c'est c'est un tout qui est assez cohérent et puis on peut commencer à s'amuser à s'amuser avec toutes ses connaissances qu'on a acquis pour faire des choses intéressantes voilà donc je dis à bientôt pour la prochaine vidéo