Bases d'un sous-espace vectoriel

dans cette vidéo on va supposer qu'on a un ensemble v et on va dire que v c'est un sou espaces c'est un sou espace d'un ensemble sous espace d'un ensemble est reine et on va dire que v il est égal au vectes 2 v1 v2 etc jusqu'à vn donc wc tard c'est un mec tu de cn vecteurs et on va dire on a on va appeler eux l'ensemble composé par la famille des vecteurs donc eu c'est l'ensemble des vecteurs v1 v2 etc jusqu'à vn et du coup on va supposer aussi que ce eux c'est une on va supposer que eux c'est une famille libre on va supposer que eux c'est une famille livre donc qu'est ce que ça veut dire ça veut dire que les vecteurs sont linéairement indépendant et alors si on revient à notre note wrecked on a dit que le vectes qu'est ce que c'est le vecteur de vecteurs c'est l'ensemble de tous les vecteurs qui peuvent écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs donc ça veut dire que c'est l'ensemble des vecteurs ici c'est un fou avait un plus ces deux fois v2 plus et cetera jusqu'à cn fois vn donc ça c'est l'ensemble des vecteurs qui sont compris dans le vexin et le fait que la famille soit libre ça veut dire que la seule solution donc pour que l'égalité c'est un v1 plus ces deux v2 plus etc jusqu'à cnpn cnpn pour que ce vecteur soit égal aux vecteurs nul ça veut dire que tous les c1 c2 et serge k cnc 2 soit égal jusque 1 re et lcn et soit égal à zéro il faut que tous les coefficients c1 de jk cn soient tous nuls ça c'est la définition d'une famille libre et du coup de vecteurs qui sont linéairement indépendant lorsqu'on va dire c'est que cette famille e v1 v2 vn puisque c'est une famille libre et que son vote c'est égal avait on va dire que eux c'est une base eux c'est m on va dire que c'est une base de v est alors maintenant on va proposer une autre famille on va dire qu'on va appeler une famille on va l'appeler tait et on va dire que c'est la famille qui comprend du coup tous les vecteurs ici donc qui comprend v1 v2 et cetera jusqu'à vn et qui comprend un vecteur supplémentaire on va dire que c'est vs et ce vecteur supplémentaire on va dire par exemple on va dire que vs est égale ds est égal à v1 plus v2v s est égale avait un plus v2 et la question c'est est-ce que cette famille est une base devait alors la première chose qu'on peut dire c'est déjà que cette famille c'est pas une famille livre cette famille est une famille liée c'est une famille qu'on appelle lier une famille y est pourquoi parce que il n'ya pas pour que cette équation soit vrai la seule solution c'est pas juste que tout laissait à elle jusqu'à cn soit un nul par exemple on peut dire que vs - v1 - v2 est bien égale par définition aux vecteurs nul donc on a bien une combinaison l'inr des vecteurs de ma famille qui est égal avec temps nul alors que tous les coefficients ne sont pas égaux à zéro donc c'est bien tu es et bien une famille liée et à ce moment là ce qu'on peut dire c'est que tu es t n'est pas une base t n'est pas une base une base 2 v pourtant on a bien que le vectes de thé le vecteur de tennis est bien égale avait vu que levêque de v1 v2 jusqu'à vn est égal à v si on rajoute un un vecteur on va pas diminuer le vectes on va le garder et gall avait donc on voit qu'on a deux familles on à la famille e et la famille tes pour toutes les deux le vecteur de cette famille est égal à v mais il ya une famille qui est une famille libre c'est la famille eux il ya une famille qui a une famille liée est en fait la famille t on voit aussi que c'est une famille qui est plus grande il ya plus d'élément dans la famille tes que dans la famille e et du coup ça va nous amener à définir a donné une définition pour une base on va dire qu'une base une base ça va être la plus petite famille donc c'est la plus petite famille la plus petite famille la plus petite famille de vecteurs deux vecteurs tels que tel que son vectes en fait soit égale aussi espace soit égal aux sous espaces soient égales aux sous espaces donc je vais encadrer ça on va on va revenir dessus tout de suite alors qu'est ce que j'ai dit j'ai dit que une base c'est la plus petite famille de vecteurs donc oups donc une base c'est la plus petite famille de vecteurs donc c'est bien ce qu'on a vu ici eu une famille de vecteurs plus petit que t es e est une base devait alors que tu es ne peut pas être une base de 2 v vu qu'elle est plus grande que que donc c'est la plus petite famille de vecteurs tels que son mec tu soit égal aux soins espaces oui c'est ce qu'on dit si on veut être une base de 2 v par exemple il faut que l'on puisse il faut que tous vecteurs devait puisse écrire comme une combinaison une aire de nos vecteurs du coup il faut bien que son mec tu soit égal aux sous espaces encore une fois ça s'est un peu théorique on va on va regarder sur des exemples parce que ça donne donc si on prend par exemple un ensemble eux qui est égal à donc c'est un ensemble de vecteurs qui est égal à un premier vecteur de 3 et un deuxième vecteur qui est le vecteur 7-0 par exemple ça c'est un ensemble de victoire on va essayer de voir si cet ensemble est une base de r2 alors pour ça faut commencer par savoir quel est le vecteur le 22e donc à quoi est égale le 22e alors pour savoir si le 22e et des galas r2 on a on a déjà fait ça dans une vidéo avant on a dit qu'il fallait savoir si pour tous vecteurs de r2 il existe une combinaison linéaire de ces deux vecteurs tels que le vecteur de r2 soit égal à cette combinaison lunaire donc comment ça marche ça c'est ce qu'on a déjà fait on dit qu'on a c'est un fois le premier vecteur de trois plus c'est deux fois le deuxième vecteur qui est 7 0 et on dit qu'on veut que cette combinaison d'une ère soit égal à un vecteur quelconque du de erding qu'on écrit sous la forme x1 x2 avec x1 et x2 qui peuvent parcourir tous r du coup pour résoudre cette équation on sait on sait faire on résout la première ligne donc sur la première ligne en a deux c'est un plus cette c2 qui est égal à x1 est sur la deuxième ligne on a trois c'est un plus du coup ces deux fois 0 2 0 qui est égal à x2 d'après la première ligne d'après la deuxième ligne par dont on sait déjà que c'est un il est égal à x 2 sur 3 on a divisé par trois de chaque côté et d'après la première ligne on a du coup que deux tiers 2 x 2 plus cette c2 est égal à x 1 du coup on peut passer le x2 de l'autre côté on peut diviser par sept et on obtient que ces deux il est égal à x 1 sur 7 - 2 21e 2 x 2 - 2 21e ii x2 donc ce qu'on a démontré c'est que quelle que soit x1 x2 on pouvait trouver des c1 et des c2 qui existent d'accord parce que là on n'a pas tout dit de division par zéro quoi que ce soit on sait que c'est c1 et c2 existe donc quelles que soient les vecteurs x1 x2 il peut s'écrire comme une combinaison linéaire de mes deux vecteurs donc ça ça me dit que le mec tu le vectes 2e est bien égale à r2 je l'éprouvé en faisant en faisant ce calcul là et alors la deuxième question qu'on peut se poser c'est est-ce que cet ensemble eux ou ses vecteurs l'ess qui sont linéairement indépendant c'est à dire est que cette famille eux est une famille libre de vecteurs et du coup pour ça on a vu que la question qu'il fallait se poser c'est que si j'ai une combinaison une rc 1 fois mon premier vecteur 2,3 plus ces deux fois mon deuxième vecteur qui est 7 067 combinaison linéaire est égal aux vecteurs nul 0 0 alors est ce que ça signifie que mes c1 et c2 sont nulles ou pas et en fait on a déjà fait le calcul on voit action prend ici si on remplace fixings par 0 et x2 1 0 on a la réponse on a que c'est un illégale du coût 6 x 2 on remplace par 0 on n'a que ses seins est égal à zéro et ses 2 on a dit x1 est égal à 0 x2 est égal à zéro du coup on a aussi que ces deux est égal à zéro du coup ce qu'on a dit c'est que la seule solution pour qu'une combinaison linéaire de mes deux vecteurs soit égal à zéro c'est que les coefficients de loin chaque vecteur soit égal à zéro du coup ça ça me dit que eux est une famille libres eux est une famille libre et du coup puisque eux est une famille libre et que le 22e cr2 je peux dire que eux est une base le est une base de r2 très bien on a trouvé une base de 2 r2 maintenant la question suivante c est ce que c'est la seule est ce que il existe une seule base pour air 2 alors pour répondre à cette question on va prendre un exemple très simple on va prendre l'ensemble t on va prendre la famille des vecteurs on va prendre des vecteurs très très simple le vecteur 1 0 et le vecteur 0,1 et du cou donc ça c'est un ensemble et du coup les questions qu'on se pose si les mêmes qu'avant quel est le vecteur de 2,7 de cet ensemble donc pour définir le vectes si on prend d un vecteur comme avant x1 x2 on voit que la seule façon on voit que si on prend la combinaison in her x 1 x 1 0 + x 2 x le vecteur 0 un connecteur 0 1 ça me donne directement mon vecteur x1 x2 donc quel que soit le vecteur x1 x2 je peux le construire très simplement par une combinaison binaire des deux secteurs donc ça me dit que le mec tu de tes été galère de c'est ce que vient de démontrer maintenant est ce que cette famille est une est une famille libre eva on voit que si on remplace si on remplace ips1 par 0 x2 par 0 assez directement la seule combinaison linéaire qui donne le vecteur nu cx1 égal à zéro et x2 égal à zéro donc j'ai aussi que tu es est une famille libre t est une famille famille libre de vecteurs et du coup par la suite vu que le vecteur de tct galère de équeuter est une famille libre eh bien je sais que tu es est une base t est une base de r2 donc j'ai été capable de construire une deuxième base de r2 qui est complètement différente de ma première base il n'ya pas unicité en fait de la base d'un r2 ou dans tout autre sous espace où espace vectoriel et je peux même dire qu'en fait tu es c'est une c'est ce qu'on appelle une base standard et c'est une base standard et en fait on reconnaît ici les vecteurs y est les vecteurs j avec lesquels on a l'habitude de travailler est une propriété importante des bases c'est que si je prends un vecteur d'un ensemble un vecteur de rn par exemple il peut s'écrire comme une combinaison linéaire unique des vecteurs de la base donc en fait on va on va voir ça si je prends par exemple je dis que mes vecteur v1 v2 jusqu'à vn forment une base de donc ça c'est une base d'un souhait ce pas ce qu'on appelle une puce et on a dit c'est un souhait espace sous espaces donc j'ai une base je vais j'ai considéré que c'est une base et je veux montrer que si je prends un vecteur un vecteur à qui appartient a eu à qui appartient eu je veux montrer que à ces cris comme une combinaison in her unique des vecteurs de la base donc si je dis ah je sais qu'il peut s'écrire vu que le vectes de ses vecteurs c'est égal à ua peut s'écrire comme une combinaison linéaire de ses vecteurs donc qui peut s'écrire sous la forme c'est un v1 plus ces deux v2 plus et c'est plus cnvm ça je peux l'écrire parce que le mec tu de cette famille est égal à hue et maintenant pour montrer qu'il ya bien une unité de cette combinaison binaire je vais raisonner par l'absurde et je vais dire que a je vais considérer qu'il ya une autre combinaison in her de ses vecteurs qui est égal à donc je vais dire que cette combinaison linéaire c'est dé 1 v1 plus des 2 v2 et cetera jusqu'à dnv haine et maintenant qu'est-ce qui se passe si je fais la soustraction de cette ligne là or cette ligne là donc de ce côté-là de l'égalité je fais a - a donc ça me fait zéro donc ici j'ai le vecteur nul est le vecteur nu il va être égal a en fait je vois c'est un moins d 1 x v 1 plus ces 2 - des deux fois v2 et c'est la même chose jusqu'à cn - dn fois viennent alors là il ya une chose qui est importante on a dit que ces vecteurs forment une famille libre donc ça veut dire qu'ils sont linéairement indépendant et on a vu que par définition la seule combinaison lunaire quand on a une famille libre qui donne le vecteur nul c'est la condition c'est que tous les coefficients soient égaux à zéro donc là se dire que c'est un moins d 1 est égal à zéro que ces 2 - des deux est égal à zéro etc etc n - dr est égal à zéro j'ai tous les coefficients qui sont égaux à zéro et ça ça veut dire quoi ça veut dire que ici 20 g c'est un qui est égal à t1 que gc 2 qui est égal à des deux et que j'ai cn qui est égale adn donc en fait j'ai supposé que j'avais deux façons d'écrire à que j'avais deux combinaisons linéaire des vecteurs qui me donnait le vecteur à ekié j'avais supposer que ces combinaisons linéarité différentes et en fait j'ai démontré que elle était forcément égal c'est à dire que c'est un et d'égalité un que ces deux gars-là d2 et ch calcéenne qui est égal à adn ça ça me dit qu'il ya bien unicité de la combinaison linéaire de mon secteur a en fonction des vecteurs de ma base est juste pour pour insister un peu si je reviens à ma base que j'avais écrit ici donc si je le suis donc ça c'était une base de 2 2 r2 et maintenant qu'est ce qui se passe si je rajoute un vecteur le vecteur 1-0 par exemple est ce que cette famille des trois vecteurs est-ce que c'est toujours une base de r2 en fait on va directement que non pourquoi parce que vu que le vectes de ces deux vecteurs c'est déjà r2 ça veut dire que ce vecteur ici peut s'écrire comme une combinaison nerfs des deux autres lecteurs donc par définition cette famille contenant les trois vecteurs sera une familier et non plus une famille libre parce qu'on n'aura plus la l'indépendance linéaire des vecteurs donc en fait ce vecteur est en trop et cette famille avec l'e3 c'est une famille c'est une famille liée et non plus une famille libre donc avec ces trois vecteurs on n'a pas une base de r2 voilà ben j'espère que cette vidéo tu as un peu éclairé sur sur la notion de base