Exemples de vecteurs

les vidéos précédentes ont été un peu abstraite où on a vu comment définir un vecteur on a vu comment additionner des vecteurs entre eux on a vu aussi comment multiplier un vecteur par un scanner et dans cette vidéo je voudrais vraiment faire plusieurs exemples pour qu'on voie un peu comment ça se passe dans la réalité comment est-ce qu'on additionne des vecteurs entre eux comment est ce qu'on les x un scalaire et tout ça mais vraiment sur des exemples donc pour ça je vais commencer par me placer en fait dans dans r2 donc 1 2 on l'a vu c'est tous les doubles est possible donc cédé doublé qu'est ce que ça veut dire en double et un doublé ça va être quelque chose on a un premier réel x11 deuxième réel qu'on appelle x2 d'accord et en fait on dit que x1 appartient à air et x2 appartient aussi à air donc graphiquement ce que ce que ça veut dire c'est que on va avoir dans notre plan ici ici sur l' axe horizontal on va on va avoir les x1 et sur l'ex verticale ici on va avoir les x2 du coup alors que si on avait juste f1 f1 c'est quoi c'est juste ligne en fête ou où tous les points sont sur cette ligne r2 à l'oim au contraire ça va être vraiment tout l'espace les points x1 x2 syfy x1 x2 varient on va remplir vraiment tout l'espace donc on voit déjà que le r2 est en fait quelque chose de plus grand que est vain donc on va voir maintenant prendre des exemples de deux vecteurs parce que j'ai dit que cette vidéo était basé sur les exemples donc on va prendre le vecteur à avec une petite flèche pour montrer que ça avec terre et on va dire que a il est égal aux vecteurs moins-12 comme ceux ci et on va prendre le vecteur b en disant que b avec une flèche baisser le vecteur on va dire 3 1 donc on a notre de vecteurs a et b est la question la première question qu'on se pose c'est que vaut la somme a + b que vaut le vecteur le vecteur a + b alors comme on l'a vu précédemment le vecteur a + b c'est tout simple on va additionner les coordonnées de avec les coordonnées de b donc sur la première coordonnées on va avoir pour à plus ou moins 1 + 3 et sur la 2ème coordonnées on va avoir deux plus un ça c'est notre vecteur a privé et du coup c'est égal à -1 +3 ça fait 2-2 plus un ça fait 3 donc le vecteur applique baisser le vecteur de 3 alors la question qu'on se pose maintenant c'est comment indiqué graphiquement sur ce repère les vecteurs donc on va prendre au début un truc c'est très simple si on a un point un doublé on va prendre le doublé 1 1 d'accord ce vecteur ce doublé à 1 sur le plan on y va être ici donc lhi fier on a un ici on a un donc le point à 1 va être ici et maintenant le les vecteurs on a vu avant que on pouvait donc un vecteur est définie par une amplitude une direction mais un vecteur peut commencer à n'importe quel point du plan du coup pour les dessiner il faut savoir d'où on part on va supposer qu'on part d'un point sur le plan un point x1 x2 et en fait ce point x1 x2 on va dire que c'est un point c'est un point complètement quelconque je vais marquer ça c'est un point quelconque de deux on a dit de r2 et à ce moment là une fois qu'on a ce point là la question c'est comment par exemple comment représenter le vecteur à qui part de ce point en fait c'est très simple on va dire que les coordonnées de ah si on veut représenter à on va partir de x1 je change de couleur pour prendre les coups l'un d'eux à cx1 - zain vu qu'on veut représenter à -1 et x2 ici c'est plus + 2 d'accord donc par exemple si je prends un premier exemple on va dire qu'on veut dessiner graphiquement à à partir du point je prends au hasard - 4e 4 à ce moment là le point le vecteur à on va le représenter en allant deux donc c'est moins 4 - 1 4 + 2 donc ça nous donne ici ou moins 5 et 6 du coup si je le mets sûrement sur mon schéma ici on a dit le point - 4 4 donc le point - 4 4 il est là il faut relier ce point - 4 4 aux points -5 6 donc en fait le vecteur à il va aller deux points là à ce point là donc en rouge là j'ai mon vecteur à jeunes hôtes et ça c'est mon vecteurs ah d'accord j'ai relié le point - 4 4 aux points -5 6 je peux le faire complètement autre part le point je peux le faire ici par exemple si je pars du point 6-6 par exemple alors pour obtenir la première coordonnées donc il faut que tu fasses 6 - 1 donc ça fait 5 celui-ci est la deuxième cour donnait ses six plus deux donc c'est ici là ici j'ai aussi mon vecteur à et les deux représentations sont justes je peux le faire je peux faire d'autre part je peux faire à l'origine souvent on aime bien le faire à l'origine même si je pars de ici mon vecteur a donc c'est moins 1,2 directement donc moins 1 2 donc mon vecteur à il est ici et ça c'est ce qu'on appelle le fait de partir de l'origine c'est ce qu'on appelle là position standard je vais marquer ici c'est la position standard c'est celle qu'on utilise le plus souvent pour en fait représenter des vecteurs donc avant de faire la même chose pour le vecteur b j'aimerais juste faire un petit point sur en fait la différence qu'il existe entre un vecteur les coordonnées d'un vecteur les coordonnées d'un point du plan externe donc si on regarde en fait dans le plan on va définir des points et on va définir des poings par des coordonnées par exemple les coordonnées x1 x2 et à partir d'un couple de points c'est à dire qu'on va dire qu'un point et on va l'appeler l'origine du vecteur et l'autre on va l'appeler l'extrémité à partir de ce couple de points on peut obtenir un vecteur et les coordonnées du vecteur vont être obtenue comme la différence des coordonnées des points d'extrémité et d'origine du vecteur et en common à vue on peut dessiner le vecteur sur différents points du plan en fait toutes ces représentations tous tous ces vecteurs c'est ce qu'on appelle des représentations de mon vecteur a par exemple donc je peux faire la même chose pour le vecteur le vecteur b le vecteur b31 donc par exemple je peux partir de ce point là qui a - 6 - 8 il faut que tu la première coordonnées il faut que j'avance de 3 donc 1 2 3 et sur la 2ème coordonnées il faut que j'avance 2 1 donc mon vecteur b ça va être ce vecteur là ici ça c'est mon secteur b et je peux l'écrire encore une fois dans la position je peux le représenter dans la position standard donc à partir de l'origine encore une fois 1 2 3 et 1 sur la 2ème coordonnées donc c'est pardon c'est plutôt on va dire ici donc là j'ai mon vecteur b les deux représentations du vecteur besson aussi juste l'une que l'autre et maintenant que j'ai mon vecteur à hesmond vecteur b j'ai juste marquer que ça c'est bien mon vecteur à c'est ce qu'on a dit ça c'est le vecteur à jeu peut réécrire je peux essayer de représenter mon vecteur a + b donc qui est de coordonner 2 3 monts vecteur si je représente à l'origine dans la position standard mon vecteurs ap libe donc tu vas voir un de ici et ici à 2,3 donc mon vecteur applique b ils arrivent ici donc ça ce que je travaille ici c'est mon vecteur à + b alors maintenant ce qui est intéressant c'est que si on regarde le point le vecteur b on l'a dessinée ici mais on peut aussi le dessiner on a dit qu on le dessine est là où on voulait du coup on peut très bien choisir de dessiner en partant de voilà delà de la pointe de 2 ha et si on fait ça donc le vecteur baisser le vecteur 3 1 donc on va aller 1 2 3 et 6 1 en vertical donc en fait le vecteur b on peut très bien le dessiner ici là j'ai aussi mon vecteur b et on voit c'est intéressant parce que du coup mon vecteur b il termine là où termine mon vecteur a + b alors je peux le faire autre parent on a dit si je prends mon vecteur acquis par 10 si par exemple un tir jeunes me rende compte d'ailleurs que mon comme un vecteur à je les fais en rouge partout un bon vecteur assez bien c'est bien celui-là là je l'avais fait en bleu mais je les dessine et en rouge donc si je prends mon vecteur à à partir du point là 6 - 6 g décalé d'un vers la gauche je monte de 2 du coup en vecteur à il est comme ça ça c'est toujours mon vecteur a pris dans une autre position je peux dessiner mon vecteur b qui par delà la pointe de a donc il va aller 1 2 3 ici un ici et là je peux dessiner mon vecteur b comme ceci ça c'est mon vecteur b et maintenant le vecteur a + b si je le dessine en partant de là je dis que mon vecteur ap libe je peux directement le défi n'est comme ceux ci et ça c'est bon vecteur un + b que ses lecteurs a plus le vecteur b et je peux d'ailleurs vérifié pour dessiner ce vecteur là j'ai avancé de 2 vers la droite c'est bien là la première coordonnées et je suis monté de 1 2 et 3 donc c'est bien la deuxième coordonnées l'âge et bien bon vecteur a + b et donc en fait ça nous dit juste que pour représenter graphiquement le résultat de la somme de deux vecteurs en fait il suffit d'écrire le premier vecteur le deuxième vecteur qui part de la pointe du premier est la somme des deux vecteurs partira de la base du premier et pour arriver à la pointe du second et ça ça nous donne bien le résultat de la somme des deux vecteurs du coup maintenant on peut se poser la question de ce qu'est ce qui se passe quand on veut multiplier un vecteur par un scalaire donc pour ça je vais prendre d'autres exemples alors on va partir sur un un vecteur vais pas seulement vecteur vais et je dis qu'il est égale par exemple à 1 2 ça c'est mon lecteur et maintenant j'aimerais savoir quel est le vecteur de x v alors c'est très simple pour multiplier un vecteur par un scalaire en fait on va multiplier chacun des composants par le scanner donc il fit le vecteur de v ces deux fois 1 du coup ça nous donne 2 et 2 x 2 du coup ça nous donne 4 donc le vecteur 2,4 c'est le vecteur 2 x v et maintenant si on veut graphiquement le leur présenter le vecteur v du coup on a dit en avance 2 1 et ensuite on monte de 2 donc le vecteur v c'est ce vecteur la sas est le vecteur v et le vecteur deux fois vais donc je vais prendre une autre couleur pour représenter le vecteur 2 x v m en rouge ils ont dit qu'il est égal à 2 4 du coup si je le commence déjà ailleurs je vais commencer ici par exemple on avance de 2 ici au nombre de quatre du coup le vecteur 2 x v c'est ce vecteur la sas et 2 v et en fait si je le mets si je leur présente graphiquement en position standard donc par dc on va de 2 et au monde 2 4 du coup on fait là je veux pas passer par dessus l'autre mais il arrive jusqu'ici du coup en fait c'est ça le vecteur 2 x v vecteur devait y là on voit la même direction est en fait c'est juste le module du vecteur qui a changé maintenant on peut se poser la question qu'est ce qui se passe par exemple si on prend le vecteur moins quatre fois vais donc là c'est la même chose au niveau du calcul n'y a rien de différent pour avoir la première coordonné c'est moins quatre fois 1 du coup ça fait moins 4 le deuxième c'est deux fois moins 4 du coup ça fait moins 8 du coup si je leur présente graphiquement ce vecteur moins 80 on a dit donc je vais représenter en position standard on se décale de -4 vers cette fois ci donc deux de moins quatre c4 vers la gauche on descend de 8 et du coup le vecteur - cad v c'est ce vecteur hi-fi j'essayais de faire ça droit c'est ce vecteur là ça s'est moins 4 v est là on voit qu'il est les aligner encore une fois avec les réserver par contre cette fois ci le sens du vecteur qui l'a aller vers le haut a été changé de 180° parce que maintenant ils pointent vers le bas donc on a on a gardé l'orientation mais on a changé le sens et ensuite on a le module a été modifiée d'un facteur 4 le le moins ici je prends une autre couleur le moins nous donne le changement de sens et leucate nous donne le changement de modules du vecteur et du coup ça ça me dit aussi que si j'avais juste multiplier mon vecteur par - si j'avais fait - v - v il est en fait il est ici et - v le même le même module kfw mais son sens a juste été changé en fait elle a juste été retourné de ce côté là et après le la multiplication par 4 change le module du coup une fois qu'on a ça on peut aller un peu plus loin et maintenant on peut se poser la question de qu'est ce qui se passe si on soustrait un vecteur à un autre vecteur donc je vais descendre là comme ça on va prendre de nouveaux vecteurs on va prendre un premier vecteur qu'on va appeler x on va prendre le vecteur x on va dire qu'il est égal à un vecteur 1 2 ça c'est mon facteur x et on va prendre un vecteur y facteurs y est y on va dire qu'il est égale 1 par exemple à -2 et -4 par exemple voilà donc maintenant que ce qui se passe si je fais je m'intéresse aux vecteurs x - y donc je devrais savoir à quoi vous le vecteur x - y et du coup on peut l'écrire maintenant qu'on a vu ce que c'était la multiplication par un scalaire on peut dire que ça c'est x 9 x plus en fait moins une fois y est du coup là on a moins une fois y on sait le calcul et du coup on peut calculer maintenant le vecteur x - y et si on calcule du coup ça nous donne ici 1 2 hasselbeck la x est le vecteur - y ça nous fait ici ça fait deux parce que c'est moins fort moins deux et en deuxième ces quatre voilà parce que c'est moins 1 fois quatre fois moins quatre pardon et du coup le vecteur x - y il est égal à la première coordonnées ça fait 3 et la deuxième coordonnées ça fait 6 donc le vecteur x - y il vaut 3 6 et maintenant alors on peut les on peut dessiner ça qu'un de ses vecteurs donc le vecteur xx x ivo on a 10 1 2 chi x il est là ça c'est mon vecteur x mon vecteur y on a dit que c'était moins 4 - 2 - 4 donc mon vecteur y il est comme ceci si on trace en position standaard ça c'est mon vecteur y est maintenant on vecteur x - y alors x - y donc si je le thrace autre part si je le travaille par exemple à partir du point ici on a dit que c'était un deux trois et ensuite six donc si ça nous amène ici donc mon adducteur x - y il est là ça c'est le facteur x - y ait en fait ce qu'on voit c'est que si on le décale vers ici en fait il part c'est un vecteur qui part d'ici et qui va jusqu ici donc en fait ils relient les pointes des deux vecteurs elle a en fait ici bon j'ai pris des vecteurs qui sont collinaires on va on va on va essayer de faire ça avec des acteurs qui sont pas collinaires mais ici c'est intéressant de voir quoi lasser le vecteur x ou y c'est vraiment le vecteur qui relie les deux pointes des deux vecteurs donc on va faire exactement la même chose maintenant avec des vecteurs qui sont qui sont pas collinaires pour voir ce que ça donne donc je vais reprendre mon vecteurs je prends un vecteur x et je veux dire que mon avec un x cette fois ci il va être égal à vecteur 2 3 ça c'est mon vectrix mon vecteur y on va dire y on va dire qu'il va être égal à - 4 - 2 et encore une fois ce que je voudrais calculer c'est le vecteur x - y donc x - y donc alors maintenant je pense que tu as bien compris pour calculer les coordonnées de ce facteur x ou y donc je prends de plus - fois moins 4 donc ça fait 2 + 4 donc ça fait 6 et pour la 2ème coordonner ces 3 - moins deux donc c'est 3 + 2 donc ça fait 5 donc mon facteur x - y c'est le vecteur 6,5 donc maintenant je peux représenter graphiquement ces vecteurs là le premier vecteur x donc ces 2 et 3 donc c'est ce vecteur si ça c'est mon vecteur x mon vecteur y on a dit - 4 - 2 donc - 4 - 2 c'est difficile de dessiner comme ça voilà ça c'est mon vecteur on a dit vecteur y est le vecteur x - y donc si je le dessine d'abord autre part on m'a dit c'était c'est le défi qu'a partir d'ici xt 6 et 5 donc il va là donc c'est ce facteur là ça c'est mon vecteur x - y voilà ça c'est la victoire historique et si je le défi n'en fait en partant de la pointe de y on a dit donc ou 6-2 4-6 ici et 5 de 4,5 du coup j'arrive bien sûr la pointe de mon vecteur x donc mon vecteur x - y c'est ce vecteur la xe - y c'est ce vecteur ci qui part de la pointe des grecs et qui arrive sur la pointe du vecteur x elle a en fait il une façon assez logique de voir ça si on prend des des soustractions de scal air on va diack si g7 - 5 c'est égal à 2 mais ça je peux très bien l'écrire comme 5 + 2 qui est égal à 7 est en fait c'est exactement ce que je fais ici parce qu'ici je dis que mon vecteur y plus mon vecteur x - y c'est bien égal aux vecteurs x d'accord donc si je pars de du début de y est que jusqu'à la fin de x ou y j'ai bien mon vecteur x donc c'est exactement la même chose que ce que je fais ici avec des scanners alors maintenant je peux me demander qu'est ce qui se passe si j'essaie de savoir à quoi est égale le vecteur y - x - x alors si je fais le calcul je vais trouver que mon vecteur y - x c'est du coup cette fois-ci - 4 - 2 donc ça fait moins six ici - 2 - 3 donc ça fait moins 5 ça c'est mon vecteur îles grecques - x6 le défi par exemple je vais me mettre à partir d'ici donc on a dit -6 ça nous amène fille - 5 ça nous amène là donc mon vecteur y - x hall un peu décalé j'aimerais écrire l'hymne grecque - x cse vecteur ici c'est assez on a dit y - x voilà est en fait si maintenant si jme vecteur y mois x je le fais démarré ici donc je vais calculé vers la la gauche - 6 donc ça fait ici je descends de 5 du coup en fait mon vecteur y - x et ben il est là il est complètement superposer à mon vecteur x - y il a le même module mais par contre ils les deux directions opposées en fait donc ce que je peux faire maintenant c'est essayer de voir là on en a vu ce qui se passait derrière deux mais je peux voir par exemple ce qui se passe dans r4 dans quatre ça va être plus difficile de comment dire de représenter les vecteurs mais je peux toujours faire des additions et faire des multiplications par des scanners en utilisant les vecteurs colonnes donc je me place et on a dit d'un air 4 ouais je vais prendre deux vecteurs je vais prendre un premier vecteur à on va dire qu'il est égal à du coup à prendre 0 - 1 on va prendre 2 et 3 ça c'est mon secteur 1 et on va prendre un vecteur b qui va être égale lui a on va prendre 4 - 2 0 et 5 par exemple ça c'est mon facteur b et maintenant je me pose la question à quoi et égale le vecteur par exemple vecteur 4 à -2 b donc voilà à quoi est égal ce vecteur là je vais essayer de 2,2 de calculer ça donc en fait cédé c'est très simple maintenant est ce qu'on a vu à deux dimensions ont fait exactement la même chose mais là on est à quatre dimensions donc ça en fait c'est égal à quatre fois le vecteur à 0 - 1 2 2 3 - deux fois le vecteur b donc moins deux fois 4 - 2 0 et 5 alors à quoi c'est légal on va faire vecteur par vecteur donc 4 x 0 04 - 1 - 4 4 x 2 8 et 4 x 3 12 ça c'est pauvre sa c 4 x 1 et maintenant si je prends je les mette d'une autre couleur pour que soient plus visibles si je prends moins de en fait ça fait moins et je m 2 2 x 4 ça fait 8 2 fois moins deux ça fait moins 4 deux fois 0 ça fait zéro et 2 x 5 ça fait 10 et maintenant le total si je fais le total de tout ça j'ai que tout ça c'est égal 1 0 - 8 ça fait moins 8 - 4 - - 4 ça fait moins 4 + 4 ça fait 08 - 0 ça fait 8 et 12 - 10 ça fait deux donc mon vecteur 4 à -2 b il est égal à ce film - 8 08 2 ne vois que je suis incapable de dessiner ou de représenter graphiquement ces vecteurs a et b et la même chose pour le vecteur 4 à -2 b mais par contre suis capable de faire des soustractions entre vecteur je suis capable de les multiplier par des scolaires sans aucun problème et du coup au niveau mathématique en fait c'est très utile de pouvoir travailler sur ces vecteurs même si on ne peut pas les représenter graphiquement