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Théorème de la divergence en 2D - flux

Utilisation du théorème de Green pour établir une version du théorème de la divergence en deux dimensions. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

alors dans la dernière vidéo on a réussi à construire un vecteur normal unitaire à la une trajectoire données c'est ce qu'on a fait dans cette vidéo dans la dernière vidéo maintenant ce que je voudrais faire ici c'est étudié une expression particulière qu'on n'a pas encore vu jusqu'à maintenant c'est celle là alors on va essayer de calculer en fait l'intégrale curviligne le long d'un chemin fermé c'est parcouru dans le sens antihoraire donc c'est ce que je note de cette manière là d'un champ vectorielle que j'appelle f scalaires le vecteur normal n calaire le vecteur normal n donc ça c'est le vecteur que j'ai construit dans la dernière vidéo x ds voilà dsk et la variation de la psy curviligne donc une petite variation le long de ce jeu de position le long de ce chemin alors on va déjà commencer par essayer de comprendre ce que ça veut dire que cette expression là et puis ensuite on va manipuler on va en fait on va utiliser la formule de green pour essayer d'exprimer cette intégrale curviligne différemment et en fait ce qu'on va obtenir c'est ce qu'on appelle le théorème de la divergence en deux dimensions ici donc voilà ça a l'air très compliqué mais j'espère qu'après cette vidéo tu pourras te faire une idée de ce que ça représente alors je vais commencer par faire un petit dessin ça fait toujours du bien de d'essayer de visualiser un peu ce qu'on veut ce qu'on cherche à faire donc je fais mes axes voilà ça c'est l'axé des x ça c'est l'ex des y et puis je vais décider un chemin dans le plan je me fermais dans le plan donc voilà quelque chose comme ça hein tu ne courbe fermée voilà et cette courbe la gela parcours dans le sens antihoraire dans le sens trigonométriques positif antihoraire voilà alors maintenant je vais j'ai un changement tauriel alors ça je peux rappeler ce que c'est un chant vectorielle c'est une fonction des points du plan un don et coordonnées x et y élever la définir comme ça en fait c'est une fonction scalaires p 2 x et y dans le sens du vecteur y donc ça c'est la composante de mon vecteur f en un an chaque point du plan selon le vecteur rien plus qu de xy dans le sens du vecteur j'y vois là et ça c'est la composante selon le vecteur j du vecteur f au point de coordonnées x et y donc ça c'est l'expression général d'un champ vectorielle une certaine fonction scalaires des coordonnées x et y dans le sens du vecteur y plus une autre fonction scalaires des coordonnées x et y dans le sens du vecteur j ai donc bas donc quand je prends je fixe une valeur de x est une valeur de y en fait j'obtiens un vecteur par exemple si je me mets ici je vais avoir un vecteur f qui va être comme ça par exemple ça ça dépend des fonctions paix et qu si je suis là j'aurai un autre vecteur peut-être comme ça hein si je suis ici j'en aurai un autre comme ça si je suis là j'aurais peut-être un vecteur comme ça la longueur et la direction va varier selon les selon les fonctions pq donc si je suis ici peut-être que j'aurai un vecteur comme ça voilà est en fait nous ce qui va nous intéresser particulièrement c'est ce qui se passe le long de ce chemin c'est puisqu'on fait une intégrale curviligne et le long de ce chemin s'est donc on va essayer déjà de comprendre ce que c'est que cette expression la f scalaires n scalaires x ds parce qu'ensuite on va additionner tous ces éléments le long du chemin c'est donc ce qui est important c'est d'arriver à comprendre ce que ça signifie ce que signifie cette expression là alors bon si je me mets sur un point de la courbe je me mets sur la que je me place sur la courbe un endroit donné par exemple si je me mets ici à ce point ci est bien en ce point là j'ai un vecteur qui provient de mon champ vectorielle donc ce vecteur il est peut-être comme ça voilà ça c'est le vecteur du chant vectorielle associés à ce point ci qui est un point de la courbe et puis j'ai aussi en ce point là un vecteur normal n qui est qui va être par exemple on va dire qu'il est comme ça voilà ça c'est le vecteur n et ça c'est le vecteur f2 montchamp vectorielle je vais le noter comme ça voilà alors nous ce qu'on fait ici c'est prendre déjà le produit scalaires 2f et de nfc calais rennes alors si tu te souviens pas de ce que ça représente ça tu peux retourner voir les feux les vidéos sur le produit scalaires et en fait ça dit en quelque sorte de comment est-ce que les vecteurs vont dans le même sens 1 donc en fait ça ça évalue de combien le f le vecteur f pas dans le sens du secteur n par exemple donc si on a deux vecteurs orthogonaux par exemple eh bien ce produit scalaires va être nulle puisque le vecteur f va pas du tout dans le même sens que m et si au contraire f va dans le même sens que n est bien à ce moment là le prendre le produit scanner ça sera uniquement multiplier les deux longueurs de la longueur du vecteur f par la longueur du vecteur rennes alors ici ce qui se passe c'est que le vecteur n est un vecteur unitaire sa norme vaut 1 donc finalement quand on calcule le produit scalaires de f par n et bien ce qu'on va obtenir en fait c est là la composante de f dans la direction de haine donc si je je définis voilà ça c'est la direction normale à la courbe et en fait quand je prends le produit scalaires de f par rapport à n2f et de haine pardon j'obtiens ce vecteur là qui est un peu plus long que le n ici on voit pas très bien sur mon dessin mais en général la composante de f aura une longueur différente de 1 ça sera peut-être plus long plus court mais bon là ce qui est important à retenir c'est que quand je prends le produit scalaires f ce qu'allait rennes en fait ça donne la longueur la norme la norme de la composante de la composante de f dans la direction normale dans la direction normal alors bon pour être un peu plus précis peut-être que je peux faire c'est montrer que voilà ici on a en fait en ce point si on a un repère il ya la direction tangente et la direction normal et donc ce qu'on obtient quand on fait escale est reine eh bien on obtient la composante de f dans la direction normal alors ensuite ce qu'on a ici cf scalaires n x dsds c'est un tout petit élément de déplacement tout petit élément de chemin ici 1 donc on multiplie ce produit scalaires par la quantité ds qui est qui et la voilà alors bon mathématiquement on peut comprendre ce que ça veut dire maintenant effectivement en peut-être que tu te demandes ce que ça veut dire physiquement et est-ce que ça a de l'intérêt d'aller considérer ce f scalaires n x ce déplacement infinitésimale le long de la courbe alors effectivement c'est une bonne question quand même et on peut pour ça essayez d'imaginer un p'tit quinquin un peu plus concret alors si on imagine qu'on est dans un espace de dimension et que on considère un gaz qui peut donc se déplace uniquement dans le plan à pour simplifier on est dans deux dimensions est en fait notre champ vectorielle ici ça va être la vitesse des particules en un point donné du plan donc par exemple si je suis ici la vitesse de ma particules c'est sain c'est comme ça si je suis ici la particule se déplace avec une vitesse comme ça et ainsi de suite voilà alors quand je suis à ce a cependant à ce point là quand je suis en ce point ici ma particules va à cette vitesse là enfin sa vitesse c'est ça c'est ce vecteur f est ce qu on mesure ici c'est quand on fait la fkl rdn en fait on mesure la composante qui sort de la de la surface qui sort du contour plutôt pardon est donc là en fait quand on fait f scalaires n x ds en fait en mesure la vitesse des particules en mesure quelle est la vitesse des particules qui sortent de cet espace d ce petit élément de contour ds alors effectivement aussi on pourrait avoir aussi des vecteurs en prend un c'est à dire que si le syrphe scalaires dn est un nombre négatif ça va être le signe que des particules sont plutôt en train de rentrer que de sortir par cette petite éléments des ads enfin ce qui est important c'est de comprendre que si on prend ce cas concret enfin un peu idéalisée mais concret et bien cette expression là elle va mesurer la vitesse des particules la vitesse des particules sorte jeudi qu'ils sortent parce qu'on a orienté le vecteur n vers l'extérieur mais il peut y en avoir là dedans qui en train donc c'est c'est selon le vecteur selon le signe du produit scanner fff par n eh bien on aura quelques unes fakty recul qui rentre ou qui sort donc sa mesure la vitesse des particules qui sortent par l'élément ds donc par ce petit élément de contour ici alors quand on fait l'intégrale curviligne le long du chemin c'est de cette expression là en fait on fait une somme de tous ces éléments finis t imo et on obtient en fait la mesure de la vitesse des particules qui sortent de tout partout le contour de notre chemin c'est un partout le chemin ces voix là alors bon ça c'est juste pour te donner une idée un peu physique de ce que ça peut représenter en termes mathématiques de toute façon on n'est pas du tout obligé d'avoir ce genre d'image on peut fonctionner en calculant simplement cette intégrale curviligne est donc là c'est ce qu'on va faire on va re fait maintenant calculer cette expression là en utilisant ce qu on se conseille sur le vecteur haine parce qu'ici on a le vecteur f qui est donné par ses coordonnées la paix de xy tu es dans le sens du secteur y plus qu de xy dans le sens du vecteur j et on a aussi une expression du vecteur n en fonction des vecteurs y est j ai donc maintenant je vais réécrire l'intégrale curviligne alors je vais leur écrire ici donc on va chercher à calculer l'intégrale curviligne le long du chemin c'est parcouru dans le sens antihoraire de f scalaires nds alors f le laisse comme ça pour l'instant je vais remplacer haine parce aval par son expression qu'on avait établi dans la vidéo précédente donc c'est des y donc c'est des y dans le sens du vecteur i - dx dans le sens du vecteur j / ds et puis ça je vais le x ds voilà alors on peut faire de plusieurs manières soit on calcule le produit scalaires de f par cette expression là et ensuite on multiplie par ds ou bien on peut déjà x ds de toute façon le résultat sera le même ce qui va se passer c'est que les deux dvds vont se simplifier et donc je vais me retrouver finalement avec l'expression f scalaires ce vecteur sic et d y y moins d xj alors monde j'ai une expression de f ici donc je vais calculer ce produit scalaires et ça revient à calculer le produit des deux composantes selon le vecteur est donc je vais déjà réécrit ressasser l'intégrale curviligne le long du chemin c'est parcouru dans le sens antihoraire de alors j'ai le produit des composantes selon le vecteur icp de xy fois d y donc de p 2 x y fois des y et puis le produit je dois ajouter le produit des composantes selon de vecteurs j c'est-à-dire moins dx fois plus de xy donc je vais avoir moins qu de xy x p x voilà alors ce qu'on obtient ici c'est proche de quelque chose qu'on a déjà eu à étudier dans la dans les vidéos précédentes en fait c'est proche de ce qu'on a vu que quand on a démontré le théorème de green alors je vais je vais réécrire le théorème de green ici donc je l'écris de cette manière là telle qu'on la manière générale donc l'intégrale curviligne parcours d'un le long d'un chemin parcouru dans le sens antihoraire d'une expression de ce genre là m x dx plus n fois d y est bien ça on va pouvoir l'écrire de cette manière là ça va être l'intégrale double le long de la région air qui donc est la région dont le contour et le chemin c'est alors ça va être à l'intégrale double non au dessus de cette région r2 alors là dérivées partielles or c'est il faut se souvenir de ça hein on regarde la composante le coefficient 2 d y en dérive par rapport à x donc il faut supposer pour pouvoir appliquer la fée la formule de green il faut supposer que la dérive et de haine par rapport à x existe et que la dérive et de m par rapport à y existe aussi donc pour te souvenir tu le coefficient 2 y 2 d y pardon tu le dérive par rapport à x donc on va avoir la dérive et de haine par rapport à x - la dérive et de m faire je vais prendre une autre couleur la dérive et de m par rapport à y donc c'est la dérive et 2 m par rapport à y donc c'est le coefficient de dx que tu dérive par rapport à y donc la dérive et de m par rapport à y est ça bon on le multiplie par des xd y dx d y donc ça c'est un différentiel d'air de surface tu peux voir ça de cette manière là on pourrait très bien écrire des as pour avoir quelque chose une expression plus générale mais là bon je vais le laisser écrit de cette manière là en fonction de x2 dx et de y met mais je te rappelle que tu peux très bien écrire que c'est un petit différentiel de surface d es ce que tu vas écrire des x fois d y voilà ça correspond tout simplement apprendre tout petit espace ici un tout petit élément de surface des grands tessin et que et qu'on va exprimer comme dx qui est cette dimension la fois d y qui est la dimension selon l' axe vertical voilà donc ça c'est au choix un mois je préfère le laisser comme ça des x wade y parce qu'après souvent c'est plus plus explicite pour canton quand on fait les calculs donc ça c'est la formule de green que j'ai réécrit un de manière générale je vais l'écrire ici ça c'est la formule de green qu'on connaît depuis les vidéos précédentes et bon comment est-ce qu'on peut appliquer cette formule à notre cas ici pas en fait si tu regardes on a une expression tout à fait du même du même genre un bien des problèmes de signer des choses comme ça mais on peut quand même tout à fait appliquer ça donc je vais le faire ici alors je repars je verrai écrire ne faut pas oublier ce qu'on est en train de faire depuis le départ on est en train de calculer l'intégrale curviligne le long du chemin c du vecteur f scalaires n x ds qu'on a réexprimé de cette manière là et maintenant je vais utiliser la formule de green donc je vais exprimer ça comme étant une intégrale double au dessus de la région air alors la région r je vais là précisé ici c'est la région qui est enfermé parce qu'on tourne donc le bord de ma région rc le contour c'est donc ça c'est la région air ici et puis donc il faut que le détermine l'expression qui est à l'intérieur donc je vais faire comme ça je vais mettre des parenthèses et là je vais écrire dx d y voilà maintenant pour voir ce que je vais mettre dans la parenthèse je vais comparer avec ce qui est ici donc là j'avais pris le coefficient 2 d y est je les dérivés par rapport à x donc ici le coefficient de des grecs cpp de xy donc cp de xy que je dois dérivés par rapport à x donc je vais avoir dérivé de paix par rapport à x ça c'est ce terme là - la dérive et de haine par rapport à y mc le coefficient dx donc ici c'est moins qu 2 x y donc je dois faire - la dérive et de moins qu de xy par rapport à y alors là dérivées partielles de moins qu par rapport à y est bien c'est moins la dérivées partielles de cul par rapport à y donc je vais avoir sorti le le signe - donc ça ça va devenir un signe plus est ici j'obtiens plus là dérivées partielles de cul par rapport à y voilà donc là un jeu juste je précise que quand je prends la dérivées partielles de moins qu par rapport à y et bien ça c'est moins la dérivées partielles de cul par rapport à y donc c'est pour ça que je parle de cette expression il ya un signe - mais j'ai un deuxième signe - qui intervient quand je dérive moins qu par rapport à y donc ça devient un signe + 1 - fois moins ça fait plus voilà alors j'obtiens cette expression là qui est assez excitante je pense j'ai pas si tu vois pourquoi parce qu'en fait tu reconnais peut-être là quelque chose qu'on a vu dans d'autres vidéos il ya un certain temps si on regarde ce qui est ici là d'heyrieux dopés par rapport à x et plus la dérive et de cul par rapport à y à là on est parti d'un champ vectorielle qui est celui ci un pc la composante selon le vecteur y donc par rapport à x dans le sens des x et puis on calcule la dérive et dopés par rapport à x et on additionne q la dérive et de cul par rapport à y ait qu c'est la composante du chant vectorielle selon le vecteur j donc dans le sens d y donc en fait ce qu'on obtient ici là cette expression là la dérive et dopés par rapport à x plus la dérive et de cul par rapport à y est bien c'est la divergence du chant vectorielle fc ce qu'on avait appelé la divergence du chant vectorielle f alors si tu te souviens pas de ça retourne voir la vidéo sur la divergence d'un champ vectorielle ça c'est vraiment la définition du de la divergence du sang vectorielle f alors voilà ça c'est intéressant parce que ce qu'on avait calculé un second ce qu'on cherche à calculer qui mesure en fait la vitesse des particules qui sortent de notre contours ça c'est quand on avait pris notre exemple du gaz dont qui se déplace dans le plan donc cette expression là ils mesurent la vitesse des particules qui sortent de notre contours c est donc cette expression là en arrêt on a réussi à la transformer et à écrire ça de cette manière là on fait alors j'ai pas fini de l'est pas écrite mais je vais l'écrire ici c'est l'intégrale au dessus de la région air qui a enfermé par le contour c'est de la divergence du chant vectorielle f x dx d y donc ce qu'ont fait ses calculs et la divergence de f en un point donné du petit élément de surface et puis on additionne tous et toutes ces quantités sur toute la région r alors si on se souvient ce que veut dire le la divergence d'un champ vectorielle ça devient assez intuitivement assez compréhensible parce que bon alors je vais pas prendre ce dessin là je vais dessiner ici un dessin un chemin ne porte le trajet c'est un championnat c'est dont on est partis pensent le comme étant exactement le même en fait on a vu dans notre exemple que ce qu'on mesure s était de la vitesse à laquelle les particules sortait de ce contour et quand on en fait si tu te souviens la divergence alors si tu te mets ici et que tu as des le champ vectorielle autour de ce point qui est là tout les tous les vecteurs sont orientés vers l'extérieur ça veut dire que ici la divergence à augmenter parce que d'une certaine manière on peut voir ça comme étant des particules qui sortent de ce point là donc on va voir ici une divergence positive est par contre si dans le cas contraire si on se met ici un autre point est que en ce point là tous les vecteurs convergent vers ce point là ben là on aura une divergence négative est en fait donc c'est ça le la divergence mesure la contraction ou l'expansion d'un du chant vectorielles et en fait bon ce qu'on fait nous ici c'est se prendre un petit élément de surface là par exemple et multiplié sa part la divergence de f donc effectivement plus que cette quantité la divergence de f x notre petite surface ici ds est bien plus le produit divergences de f x ds sera grand plus on va avoir des particules qui sortent de ceux de cette surface là donc effectivement après quand on additionne tous ces éléments-là de surface tout s'est produit ici eh bien on obtient quelque chose qui se comprend assez facilement je pense comme étant j'espère comme étant une mesure de la vie de la vitesse à laquelle les particules sorte de notre contours voilà bon j'espère que cette convainc un petit peu sur le plan induit tiff en tout cas et puis mathématiquement bon ben on a vu que on arrive à exprimer grâce à la forme d'une formule de green on arrive à exprimer cette intégrale curviligne de cette manière là qu est quand même assez assez intéressante voilà en tout cas ce qu'ont ce résultat là et bien c'est ce qu'on appelle le théorème de la divergence théorème de la divergence ici en deux dimensions voilà et donc ben comme tu as pu t'en rendre compte 1 c'est aussi une autre manière de voir la formule de green