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Éclairage conceptuel sur le théorème de la divergence en 2D

Comprendre une intégrale curviligne comme le flux à travers une frontière. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

dans cette vidéo je voudrais qu'on reçoit un petit peu les l'intégrale curviligne de cette expression là qu'on a vu dans la dernière vidéo parce que j'ai peur d'avoir été un petit peu un petit peu floue et notamment sur l'exemple que j'ai pris quand on dit quand je vais parler de la vitesse des particules qui se déplaçaient dans le plan alors là je voudrais reprendre cette situation là pour la clarifier un petit peu j'ai pas été très précis donc je voudrais préciser ça et notamment je vais faire une discussion sur les sur les unités qui sont employés si sage je pense que ça aidera clarifier un petit peu ce qu'on fait quand on fait cette intégrale curviligne aulas alors ici j'ai dessiné le contour c1 le chemin c'est qu'on parcourt dans le sens antihoraire et puis j'ai placé quelqu'un j'ai un champ vectorielle f ici je vais préciser ce que c'est son expression ici mais bon j'ai placé quelques points quelques vecteur donc pour ce point si j'ai ce vecteur là et ainsi de suite donc par exemple si je suis ici j'ai peut-être un vecteur qui est comme ça voilà si je suis là j'ai peut-être un vecteur comme ça donc ça ce sont des vecteurs du chant vectorielle en certains points du plan et puis le vecteur haine qui est ici et ça c'est le vecteur normale à la trajectoire en un point donné donc par exemple si je suis ici c'est le vecteur normes alors c'est le vecteur normal unitaire diriger vers l'extérieur de la région donc l'extérieur de la trajectoire donc ici c'est ce vecteur a ici par exemple c'est ce vecteur la voilà en chaque point donné j'ai un vecteur qui est normal à la trajectoire diriger vers l'extérieur et de normes 1 alors dans la dernière vidéo j'ai parlé de ce j'ai pris l'exemple du sous le chant vectorielle était la vitesse et puis on avait dit que c'était sa mesure et du coup la vitesse des particules qui sortait du contour dont s'était pas tout à fait exact c'est pas tout à fait précis et pour vraiment pouvoir interpréter ça en terme de deux flux intra vers le contour on va être obligé de parler d'une densité de masse un donc d'une densité hoc est donné en chaque point de ce plan est de cette manière là on pourra vraiment comprendre cette expression là comme étant le le taux de masse qui sort de ce contour alors du coup j'ai réécrit le vecteur vitesse comme ça comme étant le produit d'une fonction scalaires par un vecteur qui est là donc la fois la fonction scanner qui est ici en fait c'est la densité c'est la densité de masse la densité de masse donc en fait c'est une mesure de la masse comprise dans une surface dans une unité de surface par exemple donc c'est ça hein c'est la masse par par unité de surface donc masse par surface donc si on veut on peut mesurer sa avec des hits des ans des unités et on va prendre les unités du système international donc ici on va exprimer sa en kg par mètre carré ça c'est les unités du système international alors la deuxième partie qui est ici c'est le vecteur vitesse ça c'est le vecteur vitesse c'est le vecteur vitesse donc ce vecteur vitesse ils mesurent la vitesse d'une particule qui est située en un point donné de coordonnées x et y et du coup là quand on fait ce produit là en fait là la densité nous dit combien il ya de masse en ce point là on en autour d'un point donné et puis ce vecteur vitesse nous dit qu'elle est la vitesse de ces particules de cette densité de particules quelle est sa que la valeur de sa vitesse et puis sa direction donc ça c'est un vecteur par contre ce qu'on a ici les composantes en fait ce m qui est là ça c'est une vitesse 1 c'est une vitesse et une nombre un scalaire donc c'est une grandeur et quand on multiplie par le vecteur et on obtient effectivement la composante du vecteur vitesse dans le sens du vecteur y est c'est exactement la même chose pour ce vecteur haine pour ce cette fonction ce qu'allait rennes pardon qui est aussi un nombre qui représente aussi une vitesse dans le sens du vecteur j et quand on fait la somme de m fois hic est un vecteur plus n fois gic est un vecteur on obtient en fait le vecteur vitesse voilà alors si on regarde les unités de de chaque composante la vitesse eh bien c'est la distance parcourue divisé par le temps mis pour la parcourir et donc si on exprime sa dans les unités du système international on va avoir ici des maîtres ça c'est les unités de distance / des secondes voilà alors maintenant qu'elles sont dans ce cas là les unes s'y ennuie on utilise ces unités laquelle seront les unités du vecteur f alors pour faire ça je vais distribuer rôle à densité aux deux termes de ma parenthèse quitte ici enfin deux composantes de mon vecteur si on veut donc je vais écrire ça alors je vais réécrire le champ vectorielle donc je vais maintenant arrêter d'écrire x et y on va sous-entendre que fo roem et n sont des fonctions de xy et je vais écrire ça tout simplement comme ça donc le vecteur f ça va être gros x m dont crohem dans le sens du vecteur y plus roh fois n dans le sens du vecteur j donc plus gros x n dans le sens du vecteur j alors quelles vont être les unités ici si on se place dans les unités du système international alors si on regarde déjà on peut regarder cette expression la 1re fois m elle va être exprimée dans une certaine unité et cette expression l'asra ce sera les mêmes unités 1 re fois n alors on va regarder donc dans le système international ro on m'a dit que c'était des kg par mètre carré kg par mètre carré comme ça et si je multiplie sa part le scanner m je vais avoir des dimensions je vais multiplier les dimensions par m des maîtres par des seconds donc là on peut faire un petit peu d' analyse dimensionnelle ici on a des maîtres ici des mètres carrés donc on va avoir des maîtres qui vont se simplifier 1 et finalement on va se retrouver avec ses unités là des kilogrammes unités un peu inhabituelle on va dire des kg par mètre par seconde voilà donc ça c'est en fait si on regarde notre vecteur f ça va être les unités des composantes du vecteur f selon les deux directions la direction du vecteur y est la direction du vecteur j les unités d'euros m et de roenne seront les mêmes alors maintenant quand on prend le produit scalaires de f calais rennes en fait elle est un vecteur normal unitaire mes skis c'est un vecteur une sans dimension il n'a pas de dimension cc il a pas d'unité donc en fait quand on calcule le produit scalaires de f par n ça donne uniquement la part de f qui va dans la direction de haine dans le sens de haine donc les unités de f scalaires end bien ça va être tout simplement ça va être les mêmes unités que f1 donc cette expression là cette expression là ici elle va avoir comme unité exactement les même unité que f puisque n n'a pas de dimension tôt qu'en fait ça ça va s'exprimer en kg par mètre par seconde voilà alors maintenant on ne comprend pas uniquement le produit scalaires de f parraine puisque on multiplie aussi par ds alors pour être clair je vais essayer de de faire un petit dessin ici donc si on est ici par exemple on va dire que le vecteur f en ce point ci il est comme ça donc ça c'est le vecteur f et puis en ce point là le vecteur haine c'est un vecteur unitaire diriger vers l'extérieur comme ça donc d'abord ce qu'on fait c'est projeté en fait regardez là que la partie la part de f qui va dans la direction de haine donc en fait on projette est le vecteur f sur la sur la droite qui porte le vecteur n donc on regarde cette vecteur ici hein et puis ensuite ce qu'on fait c'est ça qu'est ce qui se passe quand on fait quand on multiplie par ds en fait on multiplie sa part un petit élément death passe ici alors je vais le faire plus tôt en rouge voilà ce petit élément ici ds donc voilà ça c'est ce qu'on fait quand on fait le produit scalaires de f par haine et qu'on multiplie par ds alors en terme de 10 ancian bon ds c'est un petit déplacement sur le chemin donc c'est une distance donc on va prendre par exemple des maîtres pour ça donc ça ça va être cédé à l'exprimer en maître ça c'est dans le système les unités du système international donc finalement cette expression l'aef calais rennes fois ds et bien ça va être alors je vais reprendre les couleurs ça va être kg par mètre par seconde x des maîtres du pied par des maîtres et là on obtient donc les maîtres se simplifie un ses maîtres se simplifient ici donc on obtient quelque chose qui a un peu plus de sens ces sont des kilogrammes par seconde des kilogrammes par seconde alors effectivement ça se comprend un petit peu mieux parce que c'est sa mesure et c'est ce qu'on avait dit la dernière fois sa mesure la lame à ce qui sort de ce contour ds de cet élément infinitésimale de contour des aces en une seconde donc c'est des kilogrammes par seconde c'est la masse qui sort pendant sept secondes par ce petit élément ds alors ensuite ce qu'on fait quand on fait l'intégrale curviligne le long du chemin c'est en fait on additionne une infinité de ces éléments infinitésimaux donc on fait une somme d'éléments infinitésimaux qui vont être exprimée en dimanche kg par seconde donc évidemment cette somme c'est exactement ça qu'on fait quand on fait une intégrale cette somme elle va être elle aussi exprimé en kg par seconde donc notre intégral curviligne ici ce sont aussi des kilogrammes par seconde kg par seconde voilà et voilà et intuitivement ça se comprend en fait sa mesure la quantité de masse qui sort de deux noeuds de tout notre contours au cours d'une seconde hoxhaj peu le réécrire un jeune je vais l'écrire ici c'est quand même important donc cette intégrale curviligne le long du chemin c'est de f ce qu'allait rennes fois ds ça ça nous donne la masse il sort la masse sortant du contour en une seconde par seconde si on préfère voilà alors tout ça c'est aussi cohérent avec ce qu'on a vu dans la dernière vidéo et en particulier avec le théorème de la divergence qu'on a honte de dire qu'on a vu la dernière fois donc ça je vais leur écrire si on fait cette intégrale curviligne de f ce qu'allait rennes fois ds on la verrait écrite comme étant l'intégrale double sur la toute la région r la région rc cette région là qui est enfermé par notre contours donc le contour c'est celle-là frontières de notre région m et on avait dit que c'était l'intégrale qu revue l'intégrale double aux deux sur cette région est de la divergence du vecteur est fait la différence du vecteur f x dx d y qui en fait ça c'est un sas est un petit élément un élément infinitésimale baer donc c'est un tout petit d'éléments de surfe de surface à l'intérieur de la région air voilà alors je vais rappeler ce que c'est que cette expression là la divergence de f1 je vais l'écrire ici la divergence du vecteur f c'est la dérive et partielle de la composante selon le vecteur y par rapport à x plus là dérivées partielles de la composante du vecteur f selon le vecteur j par rapport à y donc ici ça nous donne là dérivées partielles de cette composante lareau m donc là dérivées partielles d'euros m par rapport à x plus là dérivées partielles de roenne c'est la composante selon le vecteur j donc là dérivées partielles par rapport à y d'euros elle alors à partir de cette expression là on peut voir quels sont les unités de la divergence ici ici on a alors roem c'est on avait vu que c'était des kg par mètre par seconde 0n c'est la même chose c'est des kg par mètre par seconde au si et quand on divise par delta et par bx en fait quand on prend la dérivées partielles par rapport à x ici on regarde la variation d'euros m pendant une certaine 10 par rapport à une certaine variation de la distance selon les x donc en fait cette expression là ça ce sont alors des cds kg par mètre par seconde / des maîtres donc je peut réécrire sa bon ça aussi c'est la même exactement les mêmes unités ici pour la dérive et par celle de roenne par rapport à y puisque on regarde aussi les variations de roenne par rapport à une certaine variation de y donc qui s'exprime aussi en maître puisque c'est une distance donc ça je vais pouvoir je vais simplifiée sas et des kg par mètre par seconde divisez x de l' inverse d'émettre 1 voilà là je fais un peu d'analystes dimensionnelle aussi et du coup je vais avoir ici des kilogrammes en eau au numérateur cd kg et puis au dénominateur des maîtres par des maîtres donc des mètres carrés par des x des seconds voilà donc j'obtiens des kg par mètre carré par seconde ça c'est les unités de la divergence du vecteur f est en fête ensuite je multiplie par sept cet élément la dx d y est ça dx10 y alors dx d y sava s'est exprimée en mètre carré un dans le système international puisque on a vu que c'était un tout petit élément de surface donc c'est des unités d'air et dans le système international cd mètres carrés alors quand je regarde ensuite les unités de cette expression la divergence de f x dx wade y en fait ça c'est alors la divergence en a vu que c'était des kg par mètre carré par seconde et ça je vais le x ceux des x d y qui lui s'exprime en mètres carrés donc finalement ça ça me donne mon les mètres carrés se simplifient et ça me donne ici des kilogrammes par seconde mais ensuite quand au calcul intégral l'intégrale double de cette expression là sur toute la région air et en fait ce qu'on fait c'est additionner une infinité de ces éléments infinitésimaux qui tous s'expriment en kg par seconde donc effectivement on retrouve comme tout à l'heure les unités de kilogrammes par seconde c'est à dire que cette intégrale là va s'exprimer encore une fois en kg par seconde heureusement puisque nous on sait que c'est là même la même expression une même quantité 1 voilà bon j'espère que ça tu auras pas trop embrouillé tout ça enfin si c'est le cas c'est pas très grave tu peux laisser tomber ça mais je pense que cette cet exemple là un peu plus clarifier que la dernière fois est une vraie aide pour se faire une idée de ce qu'on fait quand on calcule une intégrale de ce genre là de cette expression af calais rennes fois ds