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Construction d'un vecteur normal et unitaire à une courbe

Déterminer un vecteur normal et normé, en n'importe quel point d'une courbe définie par une fonction vectorielle. Créé par Sal Khan.

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo on va faire des choses que tu peux être que déjà vu enfin qu'ils vont te rappeler des souvenirs en tout cas du collège et du lycée bon alors on va commencer par prendre un chemin quelconque de prendre un chemin très général je vais le définir par une fonction vectorielle de position air de thé de la manière qu'on a déjà vu plusieurs fois ça va être x de thé dans le sens du vecteur hic un vecteur unitaire de notre repère plus y de thé dans le sens du vecteur j qui est un autre vecteur unitaire de notre repère du plan voilà bon je vais faire un dessin très générale c'est juste pour se représenter un petit peu les choses voilà ça c'est les axes donc ici j'ai dax dx ici j'ai l'accessit grecque et puis je vais définir un morceau simplement une portion de ce chemin t qui va être quelque chose comme ça voilà que je parcours dans le sens antihoraire c'est à dire dans ce sens là voilà alors le but de cette vidéo ça va être d'essayer de construire chaque point c'est dire si je prend 1.27 de ce chemin ici par exemple à n'importe lequel le but de cette vidéo ça va être décidé de construire un vecteur unitaire normal à cette trajectoire c'est à dire un vecteur qui va être orthogonale à la trajectoire donc c'est un vecteur qui va pointer comme ça dans cette direction perpendiculairement à la trajectoire et en plus qui aura une norme de 1 ça c'est notre vecteur normal unitaire alors bon évidemment le but principal la difficulté principale ça va être de de trouver un vecteur orthogonale et puis ensuite on pourra diviser par sa norme pour obtenir un vecteur orthogonale unitaire voilà alors pour faire ça on va commencer par essayer de comprendre ce que c'est qu'un vecteur tangents c'est pour ça que je disais que ça va te rappeler des souvenirs du collège et d'oublier du lycée parce que quand tu as une droite je veux le faire ici si tu as une droite de pente à et bien la droite qui va avoir là une pente de -1 sur à dire ça sera une droite orthogonale à celle ci un voilà donc là en fait on va commencer par essayer de trouver un vecteur tangent à cette trajectoire et puis ensuite on compte construire un vecteur orthogonale et puis un vague avec ta orthogonale unis r à ce vecteur tangents alors on va déjà essayer de trouver un vecteur tangent donc je vais enlever ça je l'enlève ça pour l'instant on reviendra là dessus tout à l'heure alors pour faire saab il ya une manière qui est qu'on a déjà vu en face est un principe qu'on a déjà vu plusieurs fois je vais déjà me dire bon si je suis ici je prends une valeur de t1 et je suis donc par exemple ici à ce point là et mon vecteur r 2 t et bien c'est celui ci ça c'est le vecteur air de thé pour une valeur t1 on peut dire donc ça c'est un vecteur que je vais appeler r1 et puis un bon si tu imagines que ce une particule qui bouge sur cette trajectoire tu peux attendre quelques instants donc que la valeur de t change et tu vas te retrouver ici par exemple voilà ça sera donc un vecteur r2m donc obtenu pour une valeur t2 de r donc ça c'est un autre vecteur r2 et pour trouver un vecteur tangent tu peux déjà commencé par dire que une bonne approximation du vecteur tangent en ce point si ça va être la différence entre ces deux vecteurs que je vais dessiner comme ça c'est ce ce vecteur l'a1 qui est là ça c'est le vecteur que je peux appeler donc ses airs 2 - 1 donc je vais l'appeler delta air c'est traditionnellement une variation du vecteur r on l'appelle de cette manière là delta air et donc c'est exactement la différence r2 - r donc si on imagine put finalement avoir avoir augmenté la valeur de t très faiblement on va avoir un vecteur air qui aura à bouger beaucoup moins que que r21 donc on va avoir quelque chose qui va être ici par exemple ça ça va être un autre vecteur donc un écart beaucoup plus faible voilà et donc ce vecteur delta air se rapproche de la direction qui est agente aux vecteurs r1 de la direction d'une direction orthogonale aux vecteurs r1 donc c'est en fait le vecteur delta air se rapproche du vecteur tangent en ce point ci à la courbe c'est ça qui est important et du coup ben quand tu passes à la limite quand tu fais le tendre l'intervalle la variation de thé à zéro donc pour la limite de delta t qui tend à 0 et bientôt vecteur delta air va effectivement coïncider avec le vecteur en jean et en fait c'est ce qu'on va conceptualiser en disant que le vecteur ici à la limite c'est drdr et que donc des airs est un vecteur en jean est un vecteur tangent à la trajectoire en ce point en ce point si évidemment donc voilà ça c'est très important le différentiel d r est un vecteur tangent chaque point à la trajectoire qui représentait par air de thé alors bon on sait ce que c'est on va faire un petit peu de révision mais on avait déjà vu plusieurs fois que le vecteur d r la différentiel dr on peut la décomposer en ses composantes horizontale et verticale donc selon le vecteur y est selon le vecteur j et en fait on obtient cette décomposition là c'est dx dans le deux sens du vecteur y plus d y dans le sens du vecteur j ça c'est donc un changement infinitésimale du vecteur de position peut être écrit comme un changement infinitésimale de la coordonnées x et un changement infinitésimale de l'accord donné y alors je peux faire un petit dessin quand même pour clarifier ça ici si je j'ai un directeur d air qui est comme ça par exemple dr et bien je peux le décomposer en un déplacement selon le vecteur j c'est la composante selon le vecteur j c'est ça qu'on appelle des y ait en fait cédé y dans le sens du vecteur j évidemment plus un vecteur orientées dans le sens du vecteur i qui est d'une certaine longueur des x voilà donc ici d y c'est la norme de la composante de dr selon le vecteur j et dx donc on se déplace ici d'une certaine longueur d y dans le sens du vecteur j et puis dx est la norme du de la composante de dr dans le sens du vecteur y donc ça nous dit que on se déplace d'une longueur des x dans le sens du vecteur y est là dans le dessin que j'ai fait parce que 7,7 coordonnées dx est forcément négatif puisque on se déplace dans le sens du vecteur moins 10 en fait on se déplace dans le sens opposé aux vecteurs y est donc ce dès ce différentiel d r ce vecteur d r c'est un vecteur temps genre la trajectoire alors ce qu'on va essayer de faire c'est construire à partir de ce vecteur tangent un vecteur orthogonale et après on prendra un vecteur orthogonale unitaire donc on va essayer vector orthogonale on appelle ça aussi quand on parle d'une trajectoire un vecteur normal donc on va essayer de construire déjà un vecteur orthogonale à ce vecteur d r alors bon tels que les choses sont faites évidemment il ya deux possibilités on peut aller on peut avoir un vecteur orthogonale dans cette direction mais on peut aussi avoir un vecteur orthogonale dans la direction opposée 1 comme ça donc ça ces deux possibilités pour l'instant nous ce qu'on va faire dans cette vidéo on va se concentrer sur ce vecteur s'y orienter dans ce sens là voilà alors qu'est ce que ça veut dire tout ça bon pour mieux comprendre je vais refaire un dessin un peu plus grand donc j'ai je dessinais mon vecteur d r comme ça voilà ça c'est le vecteur d r et puis est donc j'ai la composante selon le vecteur j que je vais dessiner comme ça voilà ça donc c'est des y dans le sens du vecteur j et puis cette composante là je la dessine et aux bleus ça c'est le vecteur des x y alors à partir de ces salles on va essayer de construire le vecteur un vecteur orthogonale donc si tu te souviens de ce qu'on disait tout ce que je t'ai dit tout à l'heure sur les pentes des deux de droite orthogonale qui est ici en fait si tu te souviens c'est ce qu'on va faire c'est quelque chose comme intervertir les coordonnées et puis prendre le signe opposé pour l'une de ses coordonnées alors bon là je vais commencer par intervertir les coordonnées du coup je vais m'occuper d'eux des y je vais prendre des grecs dans le sens du vecteur j alors si je prends des y dans le sens du vecteur - j'y jouais à l'est par la ddt donc je vais plutôt obtenir le vecteur un vecteur orthogonale orientées dans le sens dans l'autre sens inverse la gauche moi je sais ce que je veux c'est prendre celui qui ordonne orienté vers la droite donc je vais plutôt prendre des grecs dans le sens du vecteur y voilà comme ça donc ça donc ça assez et y dans le sens du vecteur y voilà alors maintenant si je prends des x dans le sens du vecteur j en fait des x on lie on l'a vu ici c'est quelque chose de négatif donc si je prends des x dans le sens du vecteur j je me rends je vais aller dans ce sens là et c'est parce qu'il faut nous nous on veut plutôt aller dans l'autre sens parce que visuellement on voit que c'est comme ça qu'on va obtenir fallait la perpendiculaire à la droite qui portent d'air elle est plutôt comme ça donc on va plutôt prendre - dx - dx donc je vais prendre le vecteur - dx dans le sens du vecteur j ce qui va me donner alors c'est à peu près ça hein voilà donc ça c'est lesecteur - dx fois j'y vois là alors maintenant ça ben si je fais des x6d y/y plus - des xj j'obtiens ce vecteur ci que je vais dessiner en rose et on voit que oui il a l'air perpendiculaire je vais faire comme ça il al'air perpendiculaire au vecteur d r alors évidemment bon là juste de ne pas du tout une preuve rigoureuse si tu veux tu peux très bien à les calculer la pente de 7 la droite qui porte le vecteur dr prendre le l'opposé de l' inverse de cette pente et tu verras que tu trouvera effectivement c'est ce vecteur si donc tu peux traduire ce que j'ai fait là d'une manière très intuitive et visuelle par par un raisonnement un peu plus rigoureux en utilisant les coordonnées de lépante de c2c droite la voilà alors bon en tout cas là ce qu'on obtient c'est un vecteur orthogonale adr alors j'obtiens ici ce vecteur à je vais l'appeler a donc à que je définis de cette manière là c'est des y dans le sens du vecteur i - dx dans le sens du vecteur j ça c'est un vecteur normale c'est-à-dire orthogonale à eau aux vecteurs dr donc c'est effectivement un vecteur orthogonale à la trajectoire donc c'est ce qu'on appelle un vecteur normale à la trajectoire voilà alors nous ce qu'on voulait c'était pas simplement un vecteur normal on veut aussi un vecteur normal unitaire donc il faut que sa norme soit égal à 1 alors il suffit pour ça de diviser par la norme de son voeu du vecteur à 1 c'est à dire que si je défile y maintenant je vais définir le vecteur haine qui sera un vecteur normal unitaire je vais le définir comme ca ca / la norme de à ça c'est un vecteur normal unitaire normale à la trajectoire et en plus c'est le unitaire puisque sa norme sera un alors il faut qu'on calcule la norme du vecteur a donc la norme du vecteur à je vais le faire ici la norme du secteur à et bien c'est d y au carré racine carrée pardon de d y au carré ça c'est le théorème de pythagore plus - bx au carré donc je peux écrire tout simplement plus dx au carré 1 là j'ai juste que si j'écris plus - dxo carré quand je vais faire moins des zigs dxo car est le signe mois va partir donc j'aurai exactement cette expression là alors voilà ça c'est ce qu'on peut reconnaître ici c'est qu'en fait la norme du vecteur à bien c'est tout simplement la norme du vecteur des airs puisque la norme directeur d'air sera exactement donnée par cette expression là donc la norme du vecteur des as du vecteur ah pardon c'est la norme du vecteur d r alors là je vais te redonner un petit peu de terminologie qui nous sera utile plus tard en fait on va parler d'absys curviligne je vais dessiner un morceau du chemin ici je prends un bout de ce chemin je peux définir à partir de ceux de ce point-ci une variation de l'abside curviligne un lap six turbines insee le déplacement qu'on effectifs sur le chemin donc si j'ai un petit élément une petit à petit déplacement sur ce chemin je l'appelle ds c'est une variation de l'ap 6 curviligne est en fait pour des déplacements infinitésimaux et bien cette ce déplacement infinitésimale ds la différentiel du dépôt de l'abc ce curve il y est bien le co incident avec la norme du vecteur d r donc finalement ds c'est la norme du vecteur d 1 ça bouge c'est pas la peine d'en parler trop et c'est important juste de se rendre compte que quand on fait un tout petit déplacement sur la courbe donc une tout petite variations infinitésimales de l'abc curviligne en fait cette variation là elle correspond à la norme du vecteur d air qui est une variations infinitésimales aussi sur le chemin donc finalement on obtient cette expression là je le ne l'a noté ici du vecteur normal unitaires n c'est la norme c'est le vecteur a donc je vais leur écrire plutôt comme ça directement le vecteur est normal unitaire on peut l'écrire comme ça c'est des y dans le sens du vecteur i - dx dans le sens du vecteur j / la norme de dr ou alors on peut l'écrire comme ça c'est des y dans le sens du vecteur i - dx dans le sens du vecteur j / ds ds qui est une petite variations infinitésimales de l'ap 6 curviligne voilà ben on va s'arrêter là en tout cas on a réussi à construire en chaque point de la cour d'un vecteur normal à cette courbe et unitaire