If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal
Heure actuelle :0:00Durée totale :8:29

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo on va se lancer dans la démonstration du théorème de la divergence en trois dimensions ce théorème dit que le flux d'un champ vectorielle qui passe à travers une surface donc ce champ vectorielle on va l'appeler f et donc ce flux c'est le produit scalaires du chant vectorielle parraine le vecteur normal à chaque point de la surface fois ds et bien selon le théorème de la divergence ça a c'est égal à l'intégrale triple l'intégrale triple sur le volume de la région de la divergence du chant vectorielle fois des défauts à chaque petit qu'une fois chaque cube infinitésimale de ce volume on a déjà évoqué l'intuition qu'il ya derrière ce théorème maintenant on va en faire la démonstration pour ça on va faire une hypothèse on va faire l'hypothèse que la région en question ici c'est une région solide simple ça veut dire que c'est une région qui peut être de type 1 2 et 3 on a vu dans les quelques vidéos précédentes que beaucoup de formes de base sont des régions solide simple comme par exemple une sphère où ou un cylindre parce que ces régions peuvent être de type 1 2 ou 3 et la plupart des régions qui ne sont pas à des régions solide simple et bien on peut souvent les décomposé en plusieurs régions elle souligne simple ici on va faire cette démonstration avec l'hypothèse que la région en question est une région solide simple donc ce champ vectorielle rfi si ce champ vectorielle f on le définit ctq est une fonction de x y et z fois le vecteur y plus qu qui est aussi une fonction de x y et z voit le vecteur j + r qui est une fonction de x y et z fois le vecteur cas avec ça on peut réfléchir à ces deux membres indépendamment d'abord on va commencer par le membre de gauche alors d'abord qu'est-ce que le produit fiscal r2f parraine le produit scalaires de f par le vecteur normal n et bien c'est égal ap fois la composante du vecteur normale dans la direction de y plus qu'une fois la composante de haine dans la direction de j + r fois la composante de haine dans la direction deux cas donc c'est égal à thé je vais faire ça en rose puisque c'est la composante du chant vectorielle donc tu es fois la composante du vecteur normale dans la direction de y alors on va écrire ça i call r n alors pour que ce soit clair j'écris ça puisque quand on calcule ce produit scalaires le produit ce cas l'air de i par n on obtient la composante du vecteur normale dans la direction dit puisque y est c'est le vecteur unitaire et puis on multiplie sa part p ensuite on a plus qu'une fois la composante du vecteur normale dans la direction du gie donc ça va être j scalaires n donc même chose ici un ski à ce qu'on a ici et bien ça nous donne la norme de la composante dans la direction de j du vecteur normal et enfin on a plus r x cas ce qu'a l'air n donc voila se produisent qu'à l'air c'est un petit peu différent de ceux dont on a l'habitude mais je pense que tu comprend en effet en quoi c'est correct d'abord on a payé fois la composante dans la direction de i du vecteur normal et c'est bien ce qu'on veut quand on calcule ce produit scalaires ici d'accord ensuite c'est la même chose ici dans la direction de vie est pareil ici dans la direction de cas tu peux essayer si tu veux si tu définis et le vecteur normal par exemple comme une fois e-plus m x j + au foie cas eh bien tu verras que cette définition fonctionne en effet donc on peut utiliser cette expression pour réécrire ce membre de gauche ici d'ailleurs on peut écrire ça de plusieurs façons c'est l'intégrale des surfaces de f scalaires ds c'est égal à l'intégrale de surface de f scalaires n fois l'euskal rds et donc c'est égal à l'intégrale de surface de cette somme là alors au lieu de réécrire tout ça ce que je vais faire c'est que je vais copier ça et je vais le coller ça m'évite quelques efforts voilà par contre j'oublie pas de fermer la parenthèse fois ds et donc on peut réécrire sa en séparant cette intégrale de surface en plusieurs intégrale de surface donc c'est égal à l'intégrale de surface je vais utiliser la même couleur cette fois donc de p x y scalaires nds plus l'intégrale de surface de cul fois j scalaires nds plus l'intégrale de surface de r x cas scalaires nds voilà j'ai juste réécrit l'intégrale de surface de cette somme en une somme de ces intégrales de surface donc voilà déjà ce qu'on peut faire avec ce membre de gauche maintenant on va voir ce qu'on peut faire avec le membre de droite d'abord qu'est-ce que la divergence de f qu'est ce que la divergence de f1 donc je vais faire ça ici la divergence du chant vectorielle c'est hélas dérivées partielles de paix par rapport à x plus là dérivées partielles de cul par rapport à y plus là dérivées partielles de r par rapport à z avec ça on peut réécrire cette intégrale triple ont réécrit cette intégrale triple c'est l'intégrale triple sur la région air en trois dimensions de la divergence de f donc on a trouvé que la divergence de f c'est égal à cette somme que je vais copier et coller voilà donc la divergence de f puis on oublie parfois dv et on peut donc maintenant des composés cette intégrale triple comme une somme d'intégra trip donc c'est l'intégrale triple sur air est ce que je vais faire c'est que je vais copier ça puisqu'on va devoir l'écrire plusieurs fois donc je vais copier ça donc c'est d'abord l'intégra triple de la dérivées partielles de paix par rapport à x + l'intégrale triple de la dérivées partielles de cul par rapport à y est enfin plus l'intégrale triple de la dérivées partielles de r par rapport à z donc on vient de redéfinir le théorème de la divergence on a maintenant cette expression qui doit être égale à celle ci en dessous donc ces deux expressions doivent être équivalente maintenant ce qu'on va faire c'est prouvé que les termes correspondant de ces deux expressions sont équivalents on va montrer que ce terme est équivalent à ce terme en dessous on va montrer que ces deux termes sont équivalents et on va montrer que ces deux termes sont équivalents et on va particulièrement insisté sur le fait que ces deux termes ici sont équivalents en utilisant le fait que notre région et notamment une région de type 1 ensuite on pourra utiliser le fait que c'est aussi une région de type 2 et 3 pour prouver que ces deux termes et puis ces deux termes sont aussi équivalent