Preuve du théorème de la divergence (seconde partie)

dans la vidéo précédente on a montré que pour démontrer le théorème de la divergence il suffit de prouver que ces termes que j'ai encadré sont équivalents parce que en jaune ici c'est une autre façon d'exprimer le flux qui passe à travers une surface et puis en rose et bien c'est une autre expression pour cette intégrale triple de la divergence de sève dans cette vidéo on va commencer par prouver que ces deux termes ici sont équivalents et pour ça on va utiliser le fait que la région en question ici c'est une région solide simple hein c'est une hypothèse qu'on a fait dans la vidéo précédente et plus particulièrement ici on va utiliser le fait que c'est une région de type 1 oui parce que rappelle toi une région solide simple c'est une région qui est de type 1 2 ou 3 qui peut être les trois d'accord ensuite on pourra utiliser exactement le même argument pour prouver que ces deux termes sont équivalents et plus particulièrement le fait que c'est une région de type 2 et puis même chose pour ces deux termes là mêmes arguments avec le fait que c'est une région de type 3 donc ici je vais prouver que ces deux termes ici sont équivalents en utilisant le fait que notre région est une région de type 1 notamment une région de type 1 et je te laisserais faire la même chose pour ces deux relation avec le fait que notre région est aussi une région de type 2 et deux types 3 alors on va commencer par se rappeler ce qu'est une région de type 1 une région de type 1 c'est une région définie comme l'ensemble des points x y z telles que les coordonnées x y appartiennent à un domaine de définition que j'appelle des et puis les colas coordonnées et z est comprise entre deux fonctions de x et de y z varie entre deux fonctions de x et de y alors on ad'abord f1 qui est donc une fonction de x et de y f1 c'est en quelque sorte l'ensemble des plus petites valeurs 2 est donc sur la région z est supérieur ou égal à f1 et puis z est inférieure ou égale à une autre fonction f2 qui est une fonction aussi de x et 2 y y et f2 c'est en quelque sorte l'ensemble de toutes les plus grandes valeurs de z sur cette région alors on peut dessiner une forme générale de d'une région de type 1 pour ça je vais tracer un espace voilà donc ici l'acce dz l'axé des x et puis s'il axes d y est si évidemment l'origine alors d'abord on a le domaine de définition du x et de y que je dessine ici comme un petit cercle dans le plan au x y ton que voilà ici le domaine de définition de x et de y à partir de là pour tous x y compris dans ce domaine et bien la fonction f1 nous donne un point d'une surface qu'on va dessiner comme ça donc ça c'est la surface défini par la fonction f1 c'est ici ça va être le bas du cylindre puisqu'on va dessiner ici un cylindre alors ce n'est pas nécessairement une surface plate et ce que je vais faire c'est que je vais tracé des pointillés comme ça pour montrer que ça correspond bien à ce domaine de définition ensuite pour tous xy de ce domaine cette fois f2 nous donne un point de cette surface cette surface qui est le haut de notre cylindres donc encore une fois ce n'est pas nécessairement une surface plate et puis ces deux surfaces ne sont pas nécessairement les mêmes et puis et cède z peut prendre toutes les valeurs entre ces deux surfaces z peut prendre toutes les valeurs entre ces deux surfaces ce qui permet de remplir ce cylindre c'est pour ça qu'on a une région solide rappelle toi une région c'est ce n'est pas juste une surface n'est pas juste un contour c'est aussi tout le volume qu'il y a à l'intérieur donc pour tout couple xy du domaine z est compris entre ces deux surfaces et ce qui permet donc de remplir cette région comme ça et encore une fois ici je dessine sa a comme en cylindre mais ce n'est pas forcément le cas par exemple ces deux surfaces pourraient très bien se toucher 1 où elle pourrait être incliné ou courbés donc ce que je propose ici ce cylindre c'est juste un cas général d'une région de type 1 maintenant une région de type 1 peut être décomposé ou plutôt je devrais dire la surface d'une région de type 1 peut être décomposée en trois surfaces d'abord on a ici la base en quelque sorte que l'on va ps1 la surface 1 on a le dessus ici de la surface collant pas qu'on appelle la surface 2 et puis ici s1 et s2 ne se touchent pas si la surface 1-1 et la surface 2 ne se touchent pas et bien ce qu'on a entre les deux c'est une troisième surface que l'on va appeler s3 alors c'est possible qu'il n'y ait pas de surface 3 mais ici on va dire qu'il y en a une et à partir de là on peut réfléchir à comment réécrire cette intégrale de surface donc on va pouvoir des composés ça ici en 3 intégrale de surface indépendante alors je verrai écrire ça on va réécrire l'intégrale de surface de r fois le produit scalaires de cas par le vecteur normal nds c'est égal alors d'abord l'intégrale de surface sur s2 l'intégrale de surface sur s2 de r fois le produit scalaires de cas par nds plus l'intégrale de surface sur s1 de la même chose r x cas scalaires nds et enfin l'intégrale de surface sur s3 de r fois qu'à scalaires n fois ds on a juste des composés et cette surface qui est le contour de cette région en trois surfaces et c'est ce qui nous permet de réécrire cette intégrale de surface de cette façon et bien sûr on a ce dernier terme seulement si les surfaces s1 et s2 ne se touchent pas non on aurait pas de troisième surface donc on aurait pas d' intégrale de surface sur cette troisième surface et pour une région de type 1 le vecteur normal à chaque point de la surface 3 de cette surface intermédiaire et bien ce vecteur normal n'aura jamais composante dans la direction de cas donc à chaque point de s3 le vecteur normal c'est en quelque sorte un vecteur plat comme ça c'est un vecteur plat qui a seulement nous composantes dans la direction de y est une composante dans la direction de j donc si on fait ici le produit scalaires du vecteur unitaire cas par un vecteur normal qui n'a pas de composante dans la direction de cas et bien ce produit scalaires ici et nulle ça veut dire que cette intégrale de surface est nul c nul parce que le produit scalaires de cas par le vecteur normal n qui n'a pas de composante dans la direction de cas et bien ça vaut zéro voilà pour ça dans la prochaine vidéo on va en quelque sorte évaluer ces intégrales de surface ici on les exprimant comme des intégrales double sur le domaine de x et de y