Preuve du théorème de la divergence (troisième partie)

on va commencer par résoudre cette intégrale de surface pour ça tu sais qu'on doit pas rare maîtrise et la surface alors ici s2 la surface 2 c'est le dessus de ce cylindre s2 peut être paramétré par la fonction en vectoriel de position que je vais appeler tu es donc c'est un vecteur et thé est fonction de x et de y donc x et y sont nos paramètres parce que notre surface ici est définie par une fonction de y et z donc c'est égal à x fois le vecteur y plus y voit le vecteur j + alors zi6 et bien c'est une fonction de x et de y cf 2 2x et d y x cas et bien sûr on doit préciser et le domaine de définition des paramètres x et y appartiennent à des le domaine de définition de x et y donc maintenant on va s'occuper du produit scalaires de cas par m alors le produit scalaires de cas parraine fois ds alors ça c'est égal ak scalaires le produit vectorielle de la dérivées partielles de thé par rapport à ''se par la dérivées partielles de thé par rapport à y donc le produit vectorielle des dérivées partielles par rapport aux paramètres de cette fonction t et donc tous à foix des à un petit morceau d'air du domaine de définition de x et de y alors ce n'est pas nouveau au sein on a déjà fait ça beaucoup de fois lors de la résolution d'intégrale de surface et et tu sais qu'on doit s'assurer que ce produit vectorielle à la bonne orientation parce que rappelle toi pour que le théorème de la divergence fonctionne il faut que tous les vecteurs normaux soit sortant c'est à dire orientés vers l'extérieur de la région donc ici pour s2 les vecteurs normaux sont orientés vers le haut de la page comme ça pour s3 cette surface intermédiaire et bien les vecteurs normaux doivent sortir comme ça sur sur le côté d'accor et enfin pour s1 et bien les vecteurs normaux sont orientés vers le bas comme ça alors on va vérifier que ce produit vectorielle qui est un vecteur est bien orienté vers le haut d'accord alors quand x variment quantix varie on va dans cette direction là donc ça c'est la direction de la dérivées partielles de thé par rapport à x quand y varie on va dans cette direction là ça c'est la direction de la dérivées partielles de thé par rapport à y est pour déterminer la direction du projet vectorielle de ces deux vecteurs et bien on utilise la règle de la main droite alors ton index pointent dans la direction du premier vecteur ton majeur pointent dans la direction du deuxième vecteur donc celui ci et on pousse indique la direction du produit vectorielle de ces deux vecteurs donc là tu vois que que t'ont poussé pointé vers le haut donc ce produit vectorielles et bien c'est bien un vecteur orienté vers le haut donc on a le bon ordre de de ce produit vectorielle alors avant de se lancer tête et c'est dans la suite on va réfléchir un petit peu on pourrait calculer ce produit vectorielle en entier mais ensuite on va calculer le produit scalaires de ce vecteur par le vecteur cas donc en fait tout ce qui nous intéresse c'est la composante associés aux vecteurs cas alors on va déjà commencer ça ça c'est égal c'est égal à cas ce qu'a l'air alors ce produit vectorielles et bien c'est le déterminant d'une matrice sur la première ligne y j et k sur la deuxième ligne eh bien on allait les composantes dans la direction de j j et k de la dérivées partielles de thé par rapport à x donc c'est 1-0 1-0 puis la dérivées partielles de f2 par rapport à x et sur la troisième ligne est bien on a et les composants dans la même direction de j j et k de la dérivées partielles de thé par rapport à y c'est donc 01 01 et puis là dérivées partielles de f2 par rapport à y est bien sûr on a toujours foi déjà à la suite alors tout ça tout ça c'est égal à toujours cas le vecteur cas ce qu'a l'air ce vecteur là alors on n'a pas besoin de déterminer ce vecteur en entier puisque on a juste besoin on a dit de la composante dans la direction de cas donc on a quelque chose fois le vecteur i - quelque chose d'autre fois le vecteur j + alors dans la direction du vecteur cas on raye cette ligne on raye cette colonne on a un point 1 - 0 x 0 c'est un on ajuste donc le vecteur cas puis on a toujours des as à la suite alors maintenant on peut calculer le produit scalaires le produit scalaires de cas par ce vecteur là donc on multiplie et seulement les composantes dans la direction de kara donc c'est juste un x 1 donc ça a c'est égal au scanner un fois des as donc c'est juste des as avec ça on peut réécrire cette intégrale de surface en une intégrale double sur le domaine de x et y sur le domaine de nos paramètres alors on va faire ça donc l'intégrale de surface sur s2 de r qui est une fonction de x y et z fois le produit scalaires de cas par le vecteur normal ds c'est égal alors je vais changer de couleur je veux faire ça par exemple dans cette couleur là c'est égal à l'intégrale double sur des le domaine de définition de x et y de nos paramètres donc c'est le l'intégrale double de r qui est une fonction de x y et z alors ici z et bien c'est f-22 x et y c'est une fonction de x et y donc f2 x/y fois ce qu'on a ici alors ce qu'on a ici on vient de dire on a exprimé sa et bien c'est juste des as donc fois des as alors peut-être que tu trouve qu'on n'a pas simplifié grand chose ici mais au moins maintenant on a une intégrale double au lieu d'une intégrale de surface et moi je trouve que ça simplifie bien les choses dans la prochaine vidéo on va faire la même chose avec cette intégrale de surface on va s'assurer que les vecteurs sont orientés dans la bonne direction et d'ailleurs pour ça en fait on peut simplement introduire un signe - ici mais on verra ça dans la prochaine vidéo