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Intuition du théorème flux-divergence en 3D

L'idée derrière le théorème flux-divergence en trois dimensions. Créé par Sal Khan.

Transcription de la vidéo

on a déjà parlé du théorème de la divergence en deux dimensions on a on a une région on a une région qu'on appelle air et puis ce contour ci est bien le contour eux la frontière de cette région au cc et puis dans cette région on a un champ vectorielle on a un champ vectorielle or je dessine quelques vecteur comme ça voilà donc on a donc un champ vectorielles et le théorème de la divergence en deux dimensions qui on a vu découle du théorème de green nous dit que le flux qui passe par le contour de cette région alors le flux et bien c'est le produit scalaires de ce champ de vecteurs par le vecteur normal unitaires n qui est le vecteur normal unitaire sortant c'est à dire orientés vers l'extérieur de la région c'est le vecteur normal unitaire donc c'est à chaque point du contour c'est le vecteur normal unitaire qui est dirigé vers l'extérieur de la région d'accord donc c'est ce produit scalaires en chaque point chaque point du contour donc fois un petit morceau de ce contour maintenant si on fait la somme de ça sur le contour et bien on a là le flux total du chant vectorielle qui traverse le contour et le théorème de la divergence nous dit que ça eh bien c'est la même chose que la somme sur la région de chaque petite portion d'air de la région donc dès à foix la divergence de f x la divergence de f ce qui nous indique en fait dans quelle mesure ce champ de vecteurs se disperser la divergence du chant vectorielle alors j'espère que tu arrives à saisir cette idée tu vois ce qu'il se passe ici comme j'ai dessiné ce champ vectorielle on dirait qu'on a comme une source si à l'intérieur de la région et tout autour eh bien les vecteurs s'éloigne vers l'extérieur se disperse donc c'est une divergence positive ici c'est pour ça que au niveau du contour et bien le j'en vecteur à peu près la même orientation que le vecteur normal donc on a une divergence positive et ça se produit vectorielle c'est positif parce que le champ de vecteur est orienté presque dans la même direction que le vecteur normal tout autour du contour le champ de vecteurs partage presque la même orientation que le vecteur normal unitaire et donc plus ça assez important plus la dispersion de f est importante plus ce produit scalaires et grands maintenant on peut imaginer une autre situation alors je me dessiner une autre région voilà une autre région m et cette fois on a un autre champ en vectoriel avec peu de peu de divergences on a cette fois un un champ de vecteurs qui est plutôt constant qui ne varie pas vraiment donc on a en a peu de divergences ce chant vectorielle va à peu près toujours dans la même direction dans ce cas on a des flux positifs de ce côté là parce qu'on dirait que le chant vectorielle va à peu près dans la même direction que le vecteur normal unitaire 1 par contre de ce côté le flux valait d'être négatif puisque tu vois que le flux rentrer dans la région donc tu peux imaginer que le chant vectorielle c'est en fait la masse volumique de quelque chose on a déjà vu ça c'est la masse volumique qui passent par cette frontière et comme on a à peu près autant de flux entrants que de flux sortants et bien le flux net ici c'est à peu près 0 donc dans ce cas on a peu de dispersion et on a peu de flou le plus total qui passe par le contour est faible ici ce champ vectorielle sort parce qu'on tourne tout autour comme ça donc on a une divergence importante et un flux total positif important maintenant on peut réfléchir encore à une autre situation alors je dessine une autre région voilà et cette fois on va imaginer on va imaginer un champ de vecteurs avec une divergence négative fait on pourrait même parler ici de de convergence même si c'est pas un terme technique ça permet de bien imaginer que ce chant de vecteurs convergent à l'intérieur de cette région dans ce cas la divergence est négative et le flux qui passe par le tours est aussi négatif parce que tu vois comme j'ai dessiné ça partout sur le contour le champ de vecteurs va dans la direction opposée du vecteur normal unitaire donc à chaque point on a une divergence négative alors avec ce rappel j'espère que tu comprends bien l'idée qu'il y a derrière le lien entre la divergence et le flux qui passe par le contour d'une région et maintenant on va étendre sa à trois dimensions et on va suivre exactement cette même idée on va commencer on a une région qu'on définira plus précisément dans les vidéos précédentes mais ici on a une région solide simple tu peux imaginer ça comme une région qu'on ne peut pas repliée sur elle-même et même ça peut arriver quand tu tomberas assure une région pour laquelle ce n'est pas le cas tu pourra sans doute la découper en plusieurs régions solide simple donc ici on a une région solide simple en trois dimensions donc si elles étaient transparentes on verrait quelque chose comme ça ici ce serait derrière là c'est devant là c'est aussi derrière et puis devant on verrait à peu près quelque chose comme ça une sorte de globe elliptique puis et cette région je vais quand même l'appeler air mais on est maintenant dans une région en trois dimensions d'accord et le contour de cette région en trois dimensions eh bien ce n'est plus une courbe comme c'était le cas en deux dimensions c'est maintenant une surface c'est une surface qu'on va appeler est-ce donc c'est le contour de r le contour de cette région et puis on a un champ de vecteurs en trois dimensions bien sûr alors on va dire qu'on a une divergence positive dans ce champ de vecteurs voilà je vais dessiner quelques vecteur avec une divergence positive voilà ce champ vectorielle cette région est en quelque sorte ici et là la source de ce champ vectorielle parce que tu vois ce que ce chant de vecteurs et sortant un sort de la région se disperse en sortant et puis on a les vecteurs normaux à chaque point du contour de cette surface sont sortants 1 sont orientés vers l'extérieur de la surface à partir de là on a juste à adapter ce qu'on a là à cette situation en trois dimensions c'est à dire on a le flux qui traverse la surface et bien c'est le produit scalaires de f par le vecteur normal unitaire fois un tout petit morceau de la surface donc ds et on fait la somme on fait la somme de tous ces flux tout autour de la surface et donc c'est ici une intégrale de surface sur la surface est-ce donc ici ça c'est le flux c'est le flou total qui passe à travers la surface et donc ça c'est égal à la divergence de f donc on fait la somme de la divergence sur chaque petit morceau de cette région en trois dimensions de ce volume 2 r donc c'est une intégrale triple c'est une intégrale triple sur la région air de la divergence de f2 la divergence de f à chaque point donc fois un petit morceau de volumes en soit le volume d'un petit morceau de r ça nous indique la divergence totale de f sur ce volume ce qui est égale au flux qui passe à travers la surface c'est exactement le même raisonnement qu'en deux dimensions ici on a le flux à travers le contour qui est ici une courbe puisqu'on a en deux dimensions donc ici c'est le flux à travers une courbe c'est le flux à travers une courbe qui est le contour de la région et ici on a le flux à travers la surface ici on fait la somme de la divergence sur la région et ici on fait la somme de la divergence sur le volume c'est la même logique ici si on avait un champ de vecteurs plutôt constant qui passe par la surface et bien d'un côté on aurait un flux négatif et de l'autre un flux positif donc ça s'annule ray c'est cohérent parce que dans ce cas on n'aurait pas de divergences le champ vectorielle ne se disperserait par resterait constant si on avait un champ de vecteurs convergence c'est à dire qui va vers l'intérieur de la surface le flux serait négatif parce que le champ de vecteurs irait dans la direction opposée de celle du vecteur normale et la divergence c'est aussi négatif parce que le champ de vecteurs serait convergent voilà j'espère que ça te donne une idée de comme quoi le théorème de la divergence quelque chose de très intuitif même appliqué à trois dimensions et dans les vidéos suivantes et bien on s'entraînera à l'utiliser dans des exercices