Exemple d'utilisation du théorème de la divergence 1

dans cette vidéo on va voir comment utiliser le théorème de la divergence dans un exercice on a une région solide simple dans cet espace où x va de -1 à +1 z va de 0 à 7 sorte d'arche ici ou z est une fonction de x et y va de 0 à ce plan ou y est une fonction de z on a aussi ce champ vectorielle un peu effrayant avec la fonction logarithme né paie rien tangente etc et on nous demande de calculer cette intégrale de surface qui est le flux du chant vectorielle qui passe à travers le contour de cette région et ce contour c'est une surface alors on sait que la résolution d'une intégrale de surface c'est une grande aventure pas forcément plaisante surtout avec ce genre de chant vectorielle mais peut-être qu'il existe une méthode qui nous simplifierait la tâche peut-être qu'on peut utiliser le théorème de la divergence le théorème de la divergence nous dit que le flux qui passe à travers le contour de cette région solide simple c'est la même chose que l'intégrale triple sur le volume de cette région de la divergence de f2 la divergence de f x dvd v qui est une combinaison de dx d y est des aides c'est un petit cube en cubes infinitésimale de ce volume et on va voir si en effet ça nous aide d'utiliser cette relation qui est le théorème de la divergence d'abord on va calculer la divergence de f la divergence de f c'est égal d'abord la dérivées partielles par rapport à x de la composante dans la direction de y donc ce terme-là alors d'abord la dérive et partielle de ce terme par rapport à x et bien c'est x ensuite on a de la chance la dérive et partielle de ce terme par rapport à x et bien c'est zéro puisque quand on dérive ça par rapport à x bien en fait c'est une constante ce terme ne varie pas par rapport à x ça on ajoute la dérivées partielles par rapport à y de la composante dans la direction de j donc ce terme là là dérivées partielles de ça par rapport à y est bien cx ensuite la dérive et partielle de ce terme par rapport à y c-zéro c'est une constante quand on dérive ça par rapport à y est enfin on ajoute la dérivées partielles par rapport à z de ce dernier terme qui est la composante dans la direction de cas et bien c'est une constante par rapport à z ça ne varie pas par rapport à êtes donc là dérivées partielles de ça par rapport à z et bien c'est zéro donc déjà ce calcul de la divergence nous permet de bien simplifié les choses puisque la divergence de f c'est tout simplement 2x donc en fait on peut réécrire ce flux à travers la surface en l'intégrale triple de 2x tout simplement donc on peut réécrire l'intégra triple de 2 x alors j'écris tout simplement des ziks dans un premier temps puisque on va réfléchir à l'ordre d'intégration on a dit que y va de zéro ce plan qui est le plan ou y gagnent 0 à ce plan là où y est une fonction de z grec égal 2 - êtes donc y va de 0 à 2 - z ensuite zzt bien z est compris entre 0 ce plan là où z0 et cette sorte de parabole ici ou z est une fonction en 2 x 1 z vaut 1 - x au carré donc z est compris entre 0 et 1 - x au carré et enfin pour x c'est un peu plus simple on a dit que c'est compris entre -1 et +1 donc x est compris entre -1 et plus et je pense que c'est pas mal comme ordre d'intégration à on intègre d'abord par rapport à y est on obtient une fonction de z ensuite on intègre par rapport à z et on obtient une fonction de x et enfin on intègre par rapport à xp c'est pas mal on va garder cet ordre d'intégration donc d'abord on intègre par rapport à y est y va de 0 à 2 - z ensuite on intègre par rapport à z et z va de 0 à 1 - x au carré et enfin on intègre par rapport à x et x va de -1 à +1 et maintenant c'est parti pour un petit peu d'intégration comme on intègre d'abord par rapport à y est bien 2 x c'est une constante donc la primitive de 2,6 par rapport à y est bien c'est 2 x x y et 7 primitive est prise entre 0 et 2 - z donc ça c'est égal à 2 x x 2 - aide - 2 x x 0 2 x x 0 et bien c'est zéro donc ça c'est juste égal ça c'est juste égal à 2 x x 2 - êtes donc ça maintenant on va intégrer ça par rapport à z donc ça aide d'être 0 à 1 - x au carré et ensuite on intégrera par rapport à x qui va de -1 à +1 donc cette intégrale triple se simplifient dans un premier temps à cette intégrale double maintenant on cherche la primitive de ça par rapport à z donc dans ce cas 2 x c'est une constante en fait on pourrait même faire sortir 2 x de l'intégrale mais je ne pense pas que ça va vraiment nous déranger donc ce que je vais faire c'est que quand on va chercher la primitive de ça par rapport à z et bien on va garder dx mais on sort quand même 2 x on ne fait pas rentrer dans la primitive donc la primitive de 2 - z par rapport à z d'abord la primitive de 2 par rapport à z c'est deux fois z ensuite la primitive de - zfs et moins z oo carrés sur deux et sept primitive est prise entre 0 et 1 - x au carré alors on peut déjà dire que quand z égal 0 cette expression vos héros donc en fait on va juste remplacé z par an - x au carré alors ça nous donne on a toujours ce 2 x devant on a toujours deux x et ensuite on remplace z par an - x au carré on a 2 - 2 x au carré ensuite on a moins un demi fois en moins x au carré le tout au carré donc c'est un c'est juste de l'algèbre ça 1 - 2 x au carré plus x à la puissance 4 voilà alors à ça on devrait soustraire cette expression quand z0 convient de dire que ça ne sert à rien puisque ça vaut zéro alors avant d'intégrer par rapport à x peut être qu'on pourrait faire quelques simplifications déjà ce qu'on a entre parenthèse ici on a 2 - 2 x au carré on peut distribuer ce mois 1/2 on a moins un demi alors - 1/2 fois moins de x ou carrées et bien c'est plus x au carré et ensuite on a moins un demi x x à la puissance 4 puis on a toujours deux x et on peut encore un petit peu simplifié on peut regrouper certains termes ensemble donc on a 2 mois 1/2 et bien c'est 3/2 ensuite on a moins 2 x au carré +6 au carré c'est moins x au carré et ensuite on a moins un demi x x à la puissance 4 et enfin on peut distribuer ce 2 x on a donc deux x x 3,2 me et bien 3x ensuite 2 x fois moins x au carré c'est moins 2 x à la puissance 3 ensuite 2 x x mois 1/2 x x à la puissance 4 alors de et 1/2 se simplifient il nous reste moins x à la puissance 5 donc maintenant cette intégrale triple se simplifie en l'intégrale de -1 à 1 de cette expression par rapport à x maintenant on cherche la primitive de ça par rapport à x alors la primitive de 3x et bien ces trois demis x x au carré la primitive de xo cube et bien c'est x et la puissance 4 sur 4 puis on ce -2 devant donc on a moins de - 2 sur 4 c - 1/2 x x à la puissance 4 et ensuite la primitive de moins x à la puissante 5 et bien c'est moins x à la puissance 6 sur 6 et ça c'est prix entre -1 et 1 alors ça c'est égal à c'est égal je vais écrire ça à la suite d'abord cette expression on remplace x parent on a 3 2 min - 1/2 moins un sixième à ça on soustrait cette expression qu'on xv au moins 1 donc on a ici 3 2 me -1 2 me et enfin on a et bien on a aussi moins un sixième et on dirait bien que ces deux expressions hausse annuler ce terme ça nul avec ce terme si on distribue le moins ici ce terme ça nul avec celui ci est moins un sixième plus un sixième bien ça fait zéro donc il nous reste 0 tout ce qu'on a fait jusque là eh bien ça fait zéro donc l'intégrale triple convient de calcul et l'intégrale triple de la divergence de f et donc le flux qui passe à travers cette surface et bien c'est tout simplement 0