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Premier exemple d'utilisation du théorème de Green

Utilisation du théorème de Green pour calculer l'intégrale curviligne d'un champ vectoriel. Créé par Sal Khan.

Transcription de la vidéo

alors maintenant on va essayer d'appliquer notre connaissance de la formule de green d'appliquer la formule de green pour calculer une intégrale curviligne alors avant de commencer je voudrais faire une petite précise précisions sur le théorème de green pour l'instant ce qu'on a fait c'est qu'on a pris un chemin fermé donc quelque chose d'une courbe comme sa ferme et dans le plan x y et on l'a parcouru toujours dans le sens antihoraire comme ça dans ce sens-là inverse des aiguilles d'une montre et ça veut dire que finalement quand on est ici on imagine marcher le long de ce chemin et bien l'intérieur delà de la région est toujours situé à notre gauche donc la région r en fait elle est à toujours à gauche de sa frontière voilà on peut dire voir ça comme ça et c'est dans ces conditions là qu'on va déterminer la formule de green tu verras parfois écrit ça comme ça en fait on calcul intégral curviligne avec une flèche comme ça le long du chemin c'est ce chemin là que je parcours dans le sens aussi anti horaire d'un champ vectorielle f scalaires dr les la formule de green qu'on a vu dans les vidéos précédentes s'est dit que cette intégrale curviligne et bien finalement c'est l'intégrale double sur la région air toute la région et qui donc a pour contours le chemin c est bien donc c'est cette intégrale double sur toute la région air de la dérivées partielles de cul par rapport à x - là dérivées partielles de paix par rapport à y est ça c'est à x dx des y ou bien qu'on avait vue on peut exprimer ça aussi comme des acquis et qui serait un différentiel de l'air voilà alors bon ici évident à manger il faut que je précise cp ce qu en fait ce sont les composantes de duchamp vectorielle f 2 x y qui donc s'écrire est comme ça paie de xy dans le sens du vecteur y plus qu de xy dans le sens du vecteur j'y vois là et donc il ya une première chose que je rappelle on l'a déjà dit dans la vidéo précédente c'est que pour pour pouvoir appliquer cette formule de green il faut évidemment que la dérive et dopés par rapport à y exister que la dérive et de cuques rapport à x existe et donc si je j'oriente le chemin différemment c'est à dire que si je parcours le chemin dans l'autre sens donc je n'aurai pas le l'intérieur à ma gauche est bien dans ces cas-là on sait que l'intégrale curviligne du chant vectorielle va être l'opposé de cette intégrale si donc on aura une formule analogue à la formule de green mais avec un signe - voilà enfin maintenant on va calculer effectivement une intégrale curviligne en essayant d'utiliser cette formule de green alors on va essayer de calculer cette intégrale curviligne là donc c'est l'intégrale curviligne le long d'un chemin c'est donc je vais définir ce que c'est que ce chemin tout à l'heure en fait on va calculer l'intégrale curviligne de cette expression laïque ce carré - y au carré fois des x + 2 x y fois d y voilà et bon je vais définir le la courbe c'est maintenant en fait la courbe le chemin c'est c'est la frontière la frontière de la région air que je vais définir comme ca r c'est l'ensemble des points de coordonner xy un des points du plan tels que on va faire varier alors xv harry va être plus grand que 0 est plus petit que 1 et puis y y va être plus grand que 2 x carré est plus petit que 2 x voilà donc j'ai défini mon chemin c'est comme étant la frontière de ma région r alors on va essayer de dessiner ce cette région r donc je vais faire mes axes axes des ics d y parts dans sas et l'axé des x et x ça c'est y alors x varie entre la valeur zéro qui est celle ci est la valeur inquiets on va la mettre ici voilà donc x varie dans varient sur ce segment là donc on va on peut tracer ce cette droite là et puis alors y varie entre 2 x carré et 2x ici on est on a des valeurs de x qui sont plus petites que 1 donc effectivement dans le cas général 2x caresser x est plus grand que 1 2x carrés sera plus grand que 2 x mais là comme on a des valeurs de x inférieure à 1 effectivement la de bord supérieur de notre région ça va être celui ci y égal 2 x donc je vais déjà dessiné celui là alors c'est une droite c'est la droite d'équations y égal 2 x pourri ségalen y est égal à 2 donc on va on passe par ce point cette droite passe par ce point là je vais la dessiner c'est cette droite là voilà ça c'est la droite d'équations y égal 2 x et puis la bordent la frontière inférieur de mon domaine c'est la parabole enfin un bout de paraboles d'équations y égal 2 x au carré donc y égal 2 x au carré je vais le faire en rose c'est un morceau de paraboles un arc de paraboles qui fait quelque chose comme ça pour y pour x égal 1 y est égal à 2 donc on a effectivement un chemin fermé alors la région r je l'a assuré la région r c'est celle ci un voilà est bon il faut aussi préciser dans quel sens on parcourt ce chemin le donc le chemin c'est cette parabole cet arc de paraboles suivi deux sets de 7 de ce segment de droite donc en fait je vais préciser on parcourt ce chemin sens dans le sens antihoraire un sens trigonométriques voilà donc c'est le sens de parcours c'est ça voilà ça c'est important à préciser parce que justement c'est ça qui va déterminer le signe en fait de la formule de grille cette manière là on peut commencer enfin le point de départ de notre chemin peut être n'importe où c'est pas important par contre c'est important de préciser le sens dans lequel on va parce que là effectivement si on le parcourt dans le sens antihoraire on est exactement dans le cadre de cette formule de green qui est ici puisque effectivement le l'intérieur de la région air est toujours situé à la gauche du chemin alors maintenant on va calculer cette intégrale qu'une ville et curvilignes mais pas directement en fait on va quelques on va utiliser cette formule là tu donc c'est de ça qu'on va partir alors évidemment la première chose à faire c'est de l'idée d'essayer déterminer qui sont paix et qu un donc ça c'est ce qu'on a fait déjà dans plusieurs vidéos pc la composante du chant vectorielle selon le vecteur y ait en fait c'est ce qu'on retrouve ici un cette expression là sa cp 2 x y et puis qu de xy c'est la composante du chant vectorielle selon le vecteur j ai en fait c'est ce qu'on retrouve ici donc sa sécu 2 x y voilà du coup on peut déjà calculé laisser dériver par celle là donc je vais le faire ici là dérivées partielles de cul par rapport à ix donc pu c'est en fait ces deux xy donc il faut que je dérive 2 xy par rapport à x est donc bien là évidemment je trouve que ces deux y la dérivées partielles de cul par rapport à x et deux y puisque ici je vais considérer que y est une constante et donc je dois dérivés 2x ça fait deux et je multiplie ensuite par y qui est un nombre donc ça me donne 2 y de la même manière je vais calculer la dérivées partielles de paix par rapport à y et ça ça me donne alors c'est la dérive et partielle de 2x carré - y au carré par rapport à y donc x est une constante donc quand je dérive par rapport à y ça me donne zéro je dois dérivés la moins y aux caresses qui me donnent moins deux y donc la dérive et dopés par rapport à y c'est moins deux y voilà là on a tout ce qu'il faut pour calculer cette forme pour expliciter cette formule donc je vais on était un petit peu alors je vais le faire ici la dérive est donc l'intégrale curviligne selon le chemin ces deux f scalaires dr en fait je vais calculé à l'aide de cette formule cette formule est là alors ici évidemment la première intégrale va concerner x1 puisque c'est x qui a des bornes fixes donc je vais déjà écrire les intervalles intervalle de l'intégrale selon eex donc ça va c'est x qui va de 0 à 1 je veux écrire ça comme ça et puis à l'intérieur je vais mettre l'intégrale selon la valeur y donc ici c'est intégral pour y qui va à 2 alors y va de 2 x carrés à 2x voilà est donc ici g/t y et puis à l'intérieur je dois mettre cette différence là la dérive et par celle de cul par rapport à x - là dérivées partielles de paix par rapport à y alors je vais l'écrire ici en rose donc ces deux îles adhériez partielle de cul par rapport à zik ax ces deux y - là dérivées partielles de paix par rapport donc moins la dérive et par celle de paix par rapport à y qui est moins 2 y donc voilà ça me donne savez je peux l'écrire un petit peu mieux puisque j'ai moins fois moins donc je vais écrire ça comme ça c'est plus de y voilà et évidemment je peux écrire ça encore mieux en fait ces deux y plus de six grecs ça fait 4 y voilà alors bon là je me retrouve avec une intégrale double que je sais calcul est assez facilement je vais déjà calculé cette partie là un la partie l'intégrale intérieur qui est à l'intérieur donc ça va me donner alors je vais déjà réécrire intégrale de 0 à 1 ça c'est par rapport à x et puis à l'intérieur je vais calculer cette expression là donc il faut que je calcule une primitif de 4 y alors une primitif document de 4 y c'est 4 y au carré sur deux c'est à dire 2 y au carré que je dois calculée entre 2 x au carré et 2x donc ça je peux le faire si je remplace y par 2 x je vais voir ici 2 x 2 x au carré c'est à dire 4 x o car est donc en fait j'aurais 8x au carré ça c'est la première ça c'est ce que j'obtiens quand je remplace y par 2x et ensuite quand je remplace y par 2,6 au carré je vais obtenir 2 x 2 x au carré le tout au carré ce qui me donne 4 x puissance 4 donc je vais avoir en fait 8 x puissance 4 donc moins 8 x puissance 4 voilà donc ici ce que je dois mettre ici c'est 8 x au carré - 8x puissance 4 voilà alors je peux maintenant calculé ça il suffit que je trouve une primitive de cette expression là par rapport à x donc je vais repasser avec le bleu alors ça en fait c'est une primitif de 8,6 au carré ces 8 x au cube sur trois donc j'ai 8 x au cube sur trois - une primitif de 8x puissance 4 c'est à dire 8 x puissant cinq sur cinq ça c'est les fonctions puissance 1 tu devrais plutôt les connaître donc ça je dois l'évalué entre 0 et 1 alors maintenant si je remplace x parent ça me donne 8 8 x 1 sur 3 c'est à dire 8 hier - huit fois un puissant 5 c'est à dire 8 x 1 le tout divisé par cinq donc ça me donne 8 5e et puis évidemment si je remplace x par zéro ces deux termes là vont s'annuler donc finalement j'obtiens cette expo center ce résultat-là 8 hier - 8 5e c'est l'intégrale curviligne de montchamp vectorielle le long de ce chemin c'est ici est bon je vais faire le calcul un jeu et simplifier sa donc le dénominateur commun c'est 15 15 donc 5 x 8 5 x 8 ça fait 40 et puis 3 x 8 ça fait vingt-quatre donc j'ai quarante mois fin de 4 c'est à dire 40 - 24 ça fait 16 donc voilà je trouve 16 15e alors on a terminé et le résultat c'est que l'intégrale curviligne le long du chemin c'est de cette expression là et bien c'est 16 15e voilà alors il ya beaucoup davantage à ça parce que là on a on calcule cette intégrale curviligne sans passer par le paramètre t ce qui serait assez compliqué ici avant d'une part en général c'est assez compliqué parce que ça fait beaucoup de calculs et en plus ici il aurait fallu aller exprimer c'est sous forme d'une équation d'un système d'équations paramétrique en fonction de la variable tu es donc voilà vraiment là cette formule de green permet de calculer 7 intègre une intégrale curviligne de ce genre là de manière beaucoup plus simple et beaucoup plus rapide on va s'arrêter là et puis on fera un autre exemple dans la prochaine vidéo