Un deuxième exemple d'application du théorème de Green

alors on va se donner un chemin dans le plan 2d je vais faire je vais le dessiner ici en fait ce chemin ça va être un cercle cercle de rayons un cercle unitaire donc voilà ça c'est l'axé des x ça c'est la kz2 y est je vais dessiner mon chemin qui donc est un cercle de rayon 1 donc il va passer par ces points là je vais tracer les points déjà ça sera plus jolie je pense donc ce cercle c'est un cercle unitaire donc cercle de rayon 1 voilà j'essaie de faire à peu près régulier bon c'est pas très joli mais c'est pas grave ça c'est un cercle c'est le cercle j'appelle c est donc c'est une courbe d'équations x 2 plus y de égal 1 dans le plan et puis j'ai ce cercle a en fait pour changer un petit peu je vais le parcourir dans le sens horaire donc je vais aller dans ce sens-là ce qui est le contraire de ce qu'on a toujours fait jusqu'à maintenant donc ça va avoir une importance alors bon maintenant je vais calculer une intégrale curviligne le long de ce chemin et en fait j'ai calculé l'intégrale curviligne le long de ce chemin c'est de ce cercle de cette expression l'a2 y dx - 3 x d y voilà alors bon on va essayer donc pour être calculé en prenant une paramétrisation du cercle et puis en remplaçant en exprimant toute cette expression là en fonction du paramètre tu es ici on va essayer de le faire en utilisant la formule de green qu'on a vu dans les vidéos précédentes mais qui devrait nous aider à calculer c'est un peu plus rapidement alors je vais commencer par rappeler la formule de green tel qu'on l'a vu dans les vidéos précédentes donc l'intégrale curviligne le long d'un chemin fermé parcouru dans le sens antihoraire c'est ce que je note avec cette flèche là d'un champ vectorielle f scalaires dr donc on va pouvoir l'exprimer comme l'intégrale or je vais commencer je vais donner je vais expliciter ce que c'est que ce chant vectorielle fdf de xy c'est un chant vectorielle qui a pour expression paix de xy dans le sens du vecteur y plus qu de xy dans le sens du vecteur j'y vois là et dans ce cas là est bien notre notre intégral curviligne donc le travail du chant vectorielle le long du chemin c'est on va pouvoir l'exprimer comme étant l'intégrale double sur toute la région est donc la région r en fait c'est l'intérieur de notre chemin en fait c'est la zone délimitée par notre chemin fermé et donc la formule de green c'est l'intégrale que béline de ce champ vectorielle c'est l'intégrale double au dessus de la région air de la dérivées partielles de cul par rapport à x - là dérivées partielles de paix par rapport à y le to x dx d y voilà ça c'est l'expression qu'on a obtenu la dernière fois qu'ils essaient donc la formule de green alors je rappelle que la formule de green elle est valable quand le chant vectorielle les coupes les composantes du chant vectorielle sont des rives abl de respectivement par rapport à y pour p et par rapport à x pour qu conditions vraiment importante qu'il faut pas oublier un donc pour nous ce sera pas un problème ici par contre si on veut appliquer cette formule là dans notre cas il va falloir penser à quelque chose c'est que cette expression cette formule de grigny si elle est valable pour le cas d'une heure d'un chemin qui est parcourue dans le sens antihoraire dans le sens antihoraire est ce qu'on avait dit c'est que si au parcours si on change le sens de parcours c'est à dire si on parcourt le chemin c'est dans le sens horaire est bien le signe de l'intégrale va changer en fait on va obtenir l'opposé de cette formule donc ça c'est important donc ça par contre ça va être important ici alors maintenant on va appliquer cette formule là en pensant en faisant bien attention au sens de parcours donc je vais essayer de calcul et l'intégrale curviligne le long du chemin c'est parcouru dans le sens horaire ce que je note comme ça du chemin du champ vectorielle f scalaires dr alors là évidemment pour nous il faut arriver la première chose qu'il faut arriver à faire c'est à comprendre qui est le chant vectorielle f1 ça je vais pas leur faire dans le détail parce qu'on l'a déjà vu ici on prend regarde cette expression on peut poser que ça a cp de xy et ça c'est cul de xy voilà donc ne richard vectorielle ça sera deux y je peux l'écrire ici un f le chant vectorielle dont on parle ici c'est 2 y dans le sens du vecteur y plus - pardon 3 x - 3 x dans le sens du vecteur j mais tu peux vérifier en calculant le produit scalaires ainsi tu call situe suppose que cette ça des x et la composante du vecteur déplacement donc de la différentiel d air dans le sens du vecteur y est d y c'est la composante du dif de la différentiel d air dans le sens du vecteur j quand tu fais le produit scalaires tu obtiens effectivement cette expression là donc voilà je reviens ici je vais appliquer la formule de green donc je sais que ça va être l'intégrale double sur la région est requis et celle là un l'intérieur de notre de notre cercle en fait donc c'est le disque de rayons on peut on peut dire ça comme ça et puis là je vais réécrire cette cette formule de green mais en faisant attention au sens donc comme là je parcours le cercle dans le sens horaire il faut que je prenne l'opposé de cette expression là et en fait ça je vais le faire en prenant l'opposé delà de la fonction qui est à l'intérieur donc ça va me donner la dérivées partielles de paix par rapport à y - là dérivées partielles de cul par rapport à x tout ça x dx des grecs 1 là j'ai simplement pris l'opposé de cette quantité là ce qui me donne en fait l'opposé de toute cette intégrale double donc effectivement c'est la formule de green appliquée au cas où on parcourt le cercle où on parcourt le chemin dans le sens horaire donc on a un signe - qui est qui est pris en compte ici voilà alors maintenant il faut que je calcule la dérivées partielles de paix par rapport à x et la dérivées partielles de paix de cul par rapport à y annoncer l'un vers cela dérivées partielles de paix par rapport à y donc pc2 y donc là dérivées partielles de paix par rapport à 2 y c'est tout simplement deux camps je dérive deux y par rapport à y j'obtiens 2 et puis là dérivées partielles de cul par rapport à x c'est la der qc - 3 x donc c'est léon doit calculer dérivées partielles 2 - 3 x par rapport à x donc c'est moins 3 donc là finalement je vais pouvoir écrire ça comme ça c'est l'intégrale double au dessus de la région r2 alors je vais laisser ça comme ça txt y ait ici en fait j'ai deux salles à dérivées partielles de paix par rapport à y moins -3 donc plus 3 voilà alors là finalement bon je peux évidemment qui additionné de 3,1 de plus 3 ça fait 5 donc je peux écrire ça comme ça et j'obtiens quelque chose d'assez simple l'aderee la double intégral au dessus de la région r25 dx d y voilà je vais remonter un petit peu 5 c'est une constante donc je peux le sortir de l'intégration donc l'obtient cinq fois l'intégrale double au dessus de la région air de dx d y voilà c'est quelque chose d'assez simple qu'on obtient tu peux calculer plusieurs façons de faire pour calculer cette intégrale tu peux la calculer dans la avec les méthodes classiques donc en intégrant d'abord par rapport à y par exemple en disant que tu dois faire l'intégrale alors c'est l'intégrale je vais devoir prendre l'intégrale pour y qui va de moins racine carrée 2x au carré +1 jusqu'à racine carrée de l'x au carré +1 enfin je vais je vais pas vite je vais pas faire de cette manière là donc je vais un peu vite mais je te donne des clefs pau éventuellement le faire de cette manière là et ensuite tu feras une deuxième intégration pour x qui va de moins-11 et tu peux arriver à calculer sa de cette manière là mais ce que ce que tu peux faire aussi ce qui va aller beaucoup plus vite ici c'est de demander ce que ça veut dire cette expression là quand on essaie d'avoir les deux à la fois le cercle est l'expression en bas voilà en fait ce que tu peux comprendre c'est ce monsieur je pense que tu t'en souviens cette expression la dx fois des y en fait c'est ce qu'on avait noté dans plusieurs vidéos ds c'est un différentiel de surface donc c'est un petit élément de surface que je pourrai dessinée là dedans dans le cercle est en fait cette expression l'âge que la réécrire comme ça du coup juste je pense que c'est assez clair mais encore plus clair c'est que je l'écris voilà c'est la double intéresser la double intégral au dessus de la région airs de déesse c'est à dire qu'en fait on additionne tous ces éléments de manière à recouvrir toute la région est requis et là et du coup on fait ce qu'on obtient c'est l'ère du disque de rayon 1 donc c'est beaucoup plus simple de faire de cette manière là parce que l'air de ce disque l'air d'un disque c'est alors je vais le faire ici alors l'air d'un disque en général l'air d'un disque c'est pie x le rayon au carré ici le rayon c1 puisque c'est le cercle unitaire de rayons c'est cette distance là donc ça c'est petit air et qui est égal à 1 ici donc finalement l'air de ce disque là à c'est tout simplement pis voilà du coup ben cette intégrale là cette double intégral la sas et pis ça vaut pis donc voilà là on a calculé d'une manière vraiment c'est la plus simple possible donc tant mieux et finalement ce qu'on trouve ces coeurs je vais écrire le résultat ici l'intégrale curvy line le long du chemin c'est dans le sens horaire de f scan rdr qui est notre expression de départ et bien c'est 5 pi 5 pi ca c'est le résultat donc je peux l'écrire aussi là haut l'intégrale curviligne long du chemin c'est de cette expression là en fait c'est 5 pi voilà alors je peux faire une première remarque c'est que si on avait parcouru le chemin c'est dans le sens antihoraire dans le sens inverse à ce qu'on a fait ici eh bien on aura obtenu la même aire mais avec un signe opposé donc on a obtenu - 5 pi c'est une première chose la deuxième chose que je te défie de faire c'est aurait très bien pu calculer cette intégrale curviligne de la manière classique en remplaçant en essayant d'exprimer cette expression là en fonction d'un paramètre tu es donc en ayant trouvé d'abord une paramétrisation du chemin c'est donc du cercle d'uniterre et en exprimant toutes les variables en fonction du paramètre têtu aurait réussi à le faire mais d'une manière certainement beaucoup plus laborieuse coût plus longue voilà donc ça c'est je t'engage à le faire si tu es pas convaincu là on a calculé cette intégrale là d'une manière vraiment assez rapide et sans faire beaucoup de calculs ce qui est quand même bien agréable