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Preuve du théorème de Green (partie 1)

Partie 1 de la démonstration du théorème de Green. Créé par Sal Khan.

Transcription de la vidéo

alors on va se donner un chemin fermé alors je vais je vais prendre un chemin fermé que je vais dessiner donc je dessine mes axes ça c'est de la kz dx l'accès expliquent d y ensuite donc ça c'est x et ça c'est y voilà et puis je vais décider donc un chemin fermé dans le plan alors un chemin fermé je prendre n'importe quel chemin fermé je vais partir d'ici je vais dessiner un chemin qui va faire comme ça voilà et puis bon ce chemin je vais le parcourir dans le sens antihoraire donc je vais parcourir dans ce sens là voilà et puis ensuite on va se donner un champ vectorielle genre vectorielle comme on déjà vu ou celui là je vais le noter contrairement à d'habitude je vais le noter p 2 x y et puis ça va être un champ vectorielle particulier parce que en fait il aura une composante seulement selon le vecteur qui est pas de composante selon le vecteur j donc ça va être quelque chose qui va avoir une expression de ce genre la paix de xy et donc une fonction de x et des grecs dans le sens du vecteur y voilà alors si on veut on peut essayer de le représenter a en fait les vecteurs h en chaque point le vecteur est horizontale dans le sens du vecteur y donc ici on peut avoir un vecteur comme ça ici on va avoir un vecteur comme ça un vecteur comme ça ici voilà bon je peux aussi avoir des vecteurs dirigé dans l'autre sens un parce que paie de xy peut être négatif donc je peux avoir un vecteur comme ça vecteur comme ça voilà ici ça peut être un vecteur comme ça voilà l'important c'est que l'ia pas de composante selon le vecteur j donc tous les vecteurs de deux notre champ vectorielle sont horizontaux voilà et puisque je vais essayer de faire ses calculs et l'intégrale curviligne le long de ce chemin c1 c'est celui là qui est donc un chemin fermé donc je vais me noter je notais l'intégrale curviligne comme ça de mon champ vectorielle c'est-à-dire de l'expression paix scalaires dr voilà ça c'est la manière classique dont on a défini l'intégrale d'un champ vectorielle le long d'un chemin et puis bon dr on peut l'exprimer de cette manière là dr le vecteur d r ça va être des x dans le sens du vecteur y plus d y dans le sens du vecteur j alors bon ça on l'a fait plusieurs fois est ce qu'on peut effectivement exprimé le vecteur des airs de cette manière là bah oui parce que on part deux heures je vais l'écrire ici on part de l'expression des airs qui est des x / d'été fois d'été dans le sens du vecteur y plus d y sur d'été fois d'été dans le sens du vecteur j et ça c'est une expression vrai puisqu'il suffit de diviser par d'été des deux côtés on obtient des reçus rld était égal dx sur d'été dans le sens du victory plus d y sur d'été dans le sens du vecteur j ce qui est bien la dérive et par rapport ce paramètre t2 du vecteur position air voilà mais bon je vais garder cette expression la selle qui est ici en fonction de dx est de des y parce que avec un peu de chance si on se débrouille bien on n'aura pas besoin de repasser par le paramètre t voilà alors du coup ce que je vais faire c'est commencer par calcul est l'expression fait à exprimer le produit scalaires paix scalaires dr en fonction en fonction des coordonnées selon les vecteurs y est j 1 donc je vais le faire ici p scalaires dr et bien c'est le produit des composantes selon le vecteur y donc ça va être p 2 x y x dx plus le produit des composantes selon le vecteur j mais comme le chant vectorielle n'a pas de composante selon le vecteur j en fait le produit ce sera zéro x d y donc zéro donc finalement le produit scalaires pesca l'air dr cp de xy fois dx tout simplement donc finalement l'intégrale curviligne le long du chemin c'est celle intégral le long du chemin c'est de cette expression la paix de xy dx alors là ce qu'on a envie de faire puisque il n'y a que la variable x on va on fait une intégrale ce kit va dépendre que de la variable x donc ce qui serait pas mal c'est d'arriver à exprimer y en fonction de x alors pour faire ça on peut regarder notre chemin et en fait on peut on va le décomposer en deux parties alors si je regarde ici je vais prendre les valeurs minimales et maximales dx qui sont ici donc là ça c'est la valeur minimale que je vais appeler à et puis la valeur maximale elle est là voilà et je l'appelle b et du coup en fait je vais décomposer ce chemin c'est en deux parties je vais d'abord avoir une première partie qui est celle ci donc le par demont extrémités initiale au point x égal à je suis le chemin c'est dans le sens antihoraire jusqu'au point d'apsys x et galbées voilà est en fait là-dessus bon ça ça me donne un chemin que je peux appeler c1 est en fait du coup ce chemin c'est un que j'ai dessiné ici en verre et bien c'est une fonction standard dans le plan c'est une courbe standard dans le plan donc on va pouvoir l'exprimer par une équation du style y égale disons y 1 2x enfin c'est une fonction de x que je vais écrire comme ça et de la même manière va j'ai mon autre chemin je vais le faire en violet le jeu peut définir un deuxième chemin qui part de ce point ici de x et galbées et qui parcourt le chemin c'est d'origine comme ça jusqu'au point x égal à voilà donc je parcours dans le même sens toujours dans le sens aussi anti horaire et ça c'est de nouveau une courbe standard dans le plan que je vais pouvoir représenté par une équation y égale fonction de x donc je vais appeler çà comme çà y est galles y 2 2x voilà alors du coup en fait je vais pouvoir séparer mon intégral curviligne en deux en deux chemins donc je vais je vais faire comme ça j'ai écrire que c'est d'abord l'intégrale pour x qui va de a à b de la fonction paie 2 x et puis là je vais m y de x ça y est 2x en fonction de dx par rapport à x voilà ça c'est l'intégrale de paix de xy dx le long du chemin c1 et ce chemin c'est un jeu je peux l'exprimer de cette manière là c'est y égale y 1 2x donc je remplace y par y 1 2 x et puis je sais que xv a varié entre a et b donc de saab et voilà ensuite je peux ajouter l'autre partie donc l'intégrale alors là c'est pour x qui va de b jusqu'à a donc xv a dub et jusqu'à a2p 2 x y 2 2x cette fois ci puisque je suis le long de ce chemin qui représentait par l'équation y égale y 2 2x par rapport à x voilà alors là j'ai quand même pas mal avancé parce que j'ai tout tout est en fonction de x maintenant ici et donc je veux je peux faire quelque chose de plus c'est à dire que je peux ici renverser les bornes de l'intégration on pourra voir ici et à est plus petit que b donc pour avoir quelque chose de plus standard je peux renverser les bornes de l'intégration donc je vais avoir ici 1 - ici je vais avoir à et ici je vais avoir b voilà alors je peux ensuite regroupé ces termes là sous le signe de l'intégration donc je vais avoir ça c'est la linéarité de l'intégrale je vais avoir intégrale de a jusqu à b2 alors j'ouvre un crochet de p 2 x y 1 2x moins p 2 x y 2 le x voilà je ferme le crochet et tout ça c'est par rapport à x voilà alors là je vais faire quelque chose à laquelle probablement tué pas tout à fait habituer parce que ça correspond à faire un peu linverse de ce qu'on fait d'habitude en fait cette cette expression là qui est entre crochets celle là là ça je vais les la réécrire comme ça alors je vais peut-être que si je le fais à côté ça sera plus clair je vais faire monter un petit peu pour avoir de la place donc si je réécris je vais réécrire cette est quoi cette cette expression lac et dans les crochets p 2 x y 1 2x moins p2 x/y de 2x et ça en fait je peux l'écrire comme ça c'est jeu l'écrire ici comme ça c'est ce qu'on a ce qu'on a l'habitude d'écrire de cette manière la paix de xy évalué entre y 1 entre y 2 2x pardon et y 1 2x voilà donc là du coup je peux je vais plutôt écrire ça comme ça c'est moins la fonction paie de xy évalué entre y 1 2 x et y de 2 x voilà j'ai juste interverti les bornes en fait pour mettre ça dans le dans l'ordre de grandeurs 2 y 2 et 2 y voilà alors là si on suppose que la dérive et dopés par rapport à y existe eh bien je pense que là tu dois reconnaître ce que c'est que ce que veut dire cette expression la quête entre crochets alors je vais réécrire ici de signes - on va se concentrer sur ce qui est entre crochets en fait là on a calculé la valeur de paix de xy en est on évalue paix de xy entre y 1 2 x et y de 2 x en fait c'est la même chose que calculée l'intégrale pour y de y 1 2 x ou y 2 2x de la fonction dérivées partielles de paix par rapport à y le tout par rapport à y j'imagine que si tu vois pas très bien ce que je suis en train de faire là tu peux reprendre les choses à l'endroit comme on fait d'habitude c'est-à-dire calculés une primitif dopés par rapport à y est l'évalué entre y un y de notre y 1 2 x et y de 2x et tu vas voir que tu vas retrouver exactement cette expression là qui est entre crochets donc après il ya le signe moins qu'il faudra rajouter voilà alors maintenant je vais pouvoir revenir ici donc je verrai écrire ce qu'on est en train de faire pour pas oublier en cours de route donc on est en train de calculer l'intégrale curviligne dopés scalaires dr et donc c'est alors j'ai ce moins que je vais je vais remplacer en fait cette expression là par celle ci donc je vais avoir un - qui va apparaître donc le moins je vais le mettre là donc on a moins l'intégrale de a à b ça c'est x 1c des variations de x2 alors je vais réécrire cette expression là maintenant donc de l'un de ces l'intégrale pour y de y 1 2x à y 2 2x de la dérivées partielles de paix par rapport à y fois des y et puis tout ça je dois x dx puisque j'avais sdeic si siens donc finalement on obtient une intégrale une double intégral alors bon je voudrais être sûr que tu comprends bien ce qu'on fait ici si tu veut calculer ça enfin re parcourir le chemin inverse la meilleure chose c'est de se dire bon je vais commencer par calcul et l'intégrale à l'intérieur celle ci qui est celle là et pour calculer donc je dois calculer une primitif dopés par rapport à y par rapport à y donc ça ça me donnait paix de xy que je vais devoir évaluer entre les bornes de l'intégration ici les bandes c'est une intégrale définir mais les bornes de l'intégration vont être des fonctions de x donc effectivement j'obtiens cette expression la paix de x enfin j'obtiens l'opposé de cette expression là puisque j'ai factoriser ceux - là en fait donc quand je calcule cette intégrale l'âge obtient en fait cette expression ici entre crochets c'est à dire p 2 x y évaluer entre y 2 x et y 1 2x voilà et ensuite il faut que je calcule l'intégrale par rapport à x2 ce que j'ai obtenu ici entre crochets voilà donc y'a ceux moins que j'aie factoriser je vais le mettre en violet pour montrer que il vient il et il vient de cette expression la voilà si tu veux je peux même l'écrire ici hein c'est ici je vais si je factories 1 - toutes les sites où les signes à l'intérieur vont changer pour changer donc je vais avoir ça voilà alors cette cette étape là c'est vraiment un pas important parce qu'en fait là ce qu'on a c'est quelque chose qu'on a déjà vu fait on le sait une double intégral donc on sait que c'est alors je vais je vais faire un dessin au lieu de deux par les trop je vais faire un petit dessin donc on va se mettre dans un espace en trois dimensions rapidement je fais un croquis rapides et en fait ce qu'on a c'est une fonction la dérive et par celle de paix par rapport à y alors j'insiste là dessus on doit supposer que notre champ vectorielle que la dérive et partielle de notre champ vectorielle par rapport à y existe un glas dérivés de paix par rapport à y existe et si elles existent on a cette expression est entre autres la fonction dérivées partielles de paix par rapport à y c'est une fonction dans un espace à trois dimensions donc on peut la représenter comme une surface donc je vais la dessiner cette surface un goy ce quelque chose j'ai pas quelle forme ça c'est voilà il faut une surface comme ça mais en fait ici ce qu'on calcule c'est une double intégrale et en fait on calcule ses doubles intégral au dessus d'une portion de planck est délimité par notre chemin alors ici en fait il ya la première partie de notre chemin qui est ici c'est y 1 2x je l'avais fait en verre ça c'est y 1 2x et puis la deuxième partie je l'avais fait en violet c'est cette partie là y 2 2x est donc ce qu'on fait c'est calculé l'intégrale au dessus de cette portion de plan que je à suire la de notre fonction dérivées partielles par rapport à y est donc en fait on calcule le volume de 7 de ce solide qui est là alors je vais dessiner grosso modo comme ça on calcule le volume de cette partie de l'espace qui est comprise au dessus de cette région du plan et en dessous de notre surface c'est comme si on faisait alors je peux reprendre ce dessin qui est ici ça c'est le domaine du plan au dessus duquel on intègre et on calcule l'intégrale au dessus de ceux de ce domaine là de la fonction dérivées partielles de paix par rapport à y donc on calcule exactement le volume de ce solide mais bon finalement le résultat vraiment intéressant et 1 portant là dedans c'est que en fait on a réussi à calculer à relier cette intégrale alors ici c'est l'intégrale curviligne le long d'un chemin de notre champ vectorielle mais notre champ vectorielle c'était un champ vectorielle particulier parce qu'il avait seulement une composante selon le vecteur y donc en fait je vais l'écrire comme ça ce qu'on a fait c'est exprimer cette intégrale le long d'un chemin fermé c2pay de xy dx ça c'est notre c'est la même chose que l'intégrale curviligne du chant vectorielle paix scalaires dr c'est ce qu'on avait fait ici et alors si j'appelle la région du plan cette région du plan qui est délimité par le chemin de la paix l'air et bien ce qu'on a fait ses calculs et exprimer cette intégrale curviligne comme une intégrale double comme ça alors avec ce signe - ici c'est une double intégral au dessus de la région est du domaine air du plan de la dérivées partielles de paix par rapport à y d y dx voilà c'est ça le résultat important de cette vidéo dans la prochaine vidéo ce qu'on va faire c'est le même genre de calcul mais avec un chant vectorielle qui aura lui d'une uniquement une composante selon le vecteur j et puis on terminera on conclura avec ce qu'on appelle le théorème de green ou la formule de green