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Transcription de la vidéo

dans cette vidéo et dans les suivantes on va s'intéresser aux différents types de région qu'il existe en trois dimensions et ça sera utile dans la résolution d'intégrale doubles et triples et aussi pour certaines démonstrations en analyse multivariée abl alors le premier type de région ici eh bien ce sont les régions ce sont les régions de type 1 et je vais commencer par te proposer une définition formelle j'espère que ça te paraîtra plutôt intuitif et puis pour illustrer sa j'avais dessiné quelques régions de type 1 mais aussi quelques régions qui ne sont pas de type 1 parce que je trouve que ça permet de bien faire la différence alors d'abord une région de type 1 eh bien on définit sa comme l'ensemble des points x y z telles que les coordonnées x y appartiennent à un certain domaine de définition ici ce domaine de définition on va l'appeler d epuis la cour donnait z varie entre deux fonctions de x et de y z peut prendre des valeurs entre f1 qui est une fonction de x et de y est f1 c'est en quelque sorte si tu veux l'ensemble des plus petites valeurs que peut prendre z sur cette région dont z peut prendre des valeurs allant de f1 à f2 et f2 c'est aussi une fonction de x et de y est c'est en quelque sorte l'ensemble des plus grandes valeurs que peut prendre z sur cette région donc cette région c'est un ensemble de points x y z et cet ensemble est défini ici alors qu'est ce qu'on peut imaginer comme région de type 1 la plus simple possible et bien par exemple une sphère c'est une région de type 1 alors si je veux dessiner ici l'intersection entre cette sphère et le plan os x y alors c'est le domaine de définition de x et de y donc je vais tracé ça en bleu voilà voilà ici le domaine de définition de x et de y pour une sphère alors ici j'ai dessiné un domaine pour une sphère dont le centre est l'origine mais on pourrait très bien dessiné une sphère n'importe où dans l'espace donc ça c'est le domaine de définition de x et de y ait ensuite f1 f1 ici et ça correspond à la moitié inférieure de la sphère alors d'içi on voit pas très bien ce que c'est mais je vais quand même dessiner ça comme ça voilà f1 ça correspond si tu veux à la moitié inférieure de la sphère sous cette perspective là on voit pas très bien mais voilà je dessine ça ici et tu t'en doutes f2 bien c'est la moitié supérieure de la sphère voilà donc f21 c'est la moitié supérieure de la sphère voilà donc ici on a bien une région de type 1 en fait ça pourrait même être une région de type 1 2 ou 3 mais déjà ici on est sûr que c'est une région de type 1 on va voir un autre exemple de région de type 1 peut-être même plus évident que la sphère cette fois je vais dessiner un cylindre alors je récupère un espace voilà donc cette fois je vais dessiner un cylindre et pour te montrer qu'on n'est pas obligé de construire la région autour du plan ou xy c'est à dire il n'y a pas forcément d'intersection entre la région et le plan ou xy et bien pour ça je vais dessiner le cylindre ici tient au dessus du plan ou xy alors d'abord je vais commencer par dessiner la base du cylindre ensuite je vais dessiner le dessus du cylindre donc la partie supérieure du cylindre voilà ces régions sont pas forcément centré sur l'axé z et puis on a donc les côtés du cylindre à peu près comme ça voilà donc pour cette région le domaine de définition de x et de y est bien c c'est à peu près ce domaine de définition la du plan au x grec et donc pour les valeurs de x y de ce domaine de définition f-16 l'ensemble des valeurs les plus petites de f eh bien c'est la base de ce cylindre c'est cette surface là donc pour tout perdre coordonnées xy de ce domaine de définition la fonction f1 nous donne un point de cette base même chose pour tout père de coordonner xy de ce domaine de définition la fonction f2 cette fois nous donne un point de cette surface qui est le dessus de notre de notre cylindres et comme z peut prendre ici on voit bien n'importe quelle valeur entre entre ces deux extrémités eh bien ça correspond à toute cette région solide ici même chose pour cette sphère un z peut prendre toutes les valeurs entre cette surface en rose et cette surface en verre donc comme ça on peut remplir ce volume c'est bien une région solide maintenant tu te demandes peut-être qu est ce qu une région qui n'est pas une région de type 1 alors évidemment c'est quelque chose qu'on ne peut pas définir de cette façon là par exemple tu peux imaginer une sorte de sablier ou d'alter alors je vais dessiner ça je récupère à nouveau un espace on va dessiner une sorte de de sabliers je vais dessiner ça a centré sur l'origine même si ce cessez pas nécessairement au centré sur l'origine je dessine quelque sorte la base du sablier ici de l'alter si tu préfères et voilà le dessus du sablier alors maintenant pourquoi est ce que ce n'est pas une région de type 1 est bien parce que ce n'est pas possible ici de définir deux fonctions qui permettrait de faire un encadrement des valeurs deux aides maintenant pour une région comme ça de cette forme là on peut se dire que le domaine de définition de x et de y et bien c'est quelque chose à peu près comme ça c'est tout les valeurs possibles 2x et de y mais pour un couple x y donner deux ce domaine la z ne peut pas prendre n'importe quelle valeur entre le haut et le bas de la région alors on peut vérifier ça si on voulait par exemple ici que ce soit une région de type 1 on pourrait dire que peut-être que peut-être ça c'est la surface défini par f2 donc c'est le dessus de la région et puis on pourrait dire que la base c'est ça la surface défini par f1 mais tu remarques que z ne peut pas prendre toutes les valeurs entre ces deux extrémités par contre on peut décomposer ça en deux régions de type 1 avec ici ici on aurait la partie inférieure d'une première région et puis ici ce serait la partie supérieure d'une deuxième région d'accord donc ce sablier entier n'est pas une région de type 1 mais on peut le décomposer en deux régions de type 1 alors on se rend aussi compte du fait que ce n'est pas une région de type 1 en regardant cette région de ce côté là si on peut se place de ce côté là qu'on regarde le sablier comme ça eh bien on voit le plan aussi greg z alors je vais dessiner ça on voit le plan ou y êtes donc la relaxe dz ici l'acce t y d'accord puis là l'origine donc dans ce plan on peut dessiner une section du sablier une section de ce sablier ça ressemble à peu près à quelque chose comme ça voilà ce sablier quand on regarde ce sablier de ce côté là bien on voit cette section du plan d'eau y z et 6 6 x vos héros alors on est sur la queue d y est disons qu'on est ici sur l'accès y est là tu peux voir que pour cette valeur de y on peut avoir pour z des valeurs comprises entre ce point est ce point et puis des valeurs comprises entre ce point et celui là donc en fait ce n'est pas possible de définir deux fonctions qui encadrent toutes les valeurs possibles deux aides donc cette région n'est pas une région de type 1