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Première partie de la preuve du théorème de Stokes

Début de la démonstration du théorème de Stokes, pour un certain type de surface. Calcul du rotationnel du champ vectoriel. Créé par Sal Khan.

Transcription de la vidéo

maintenant qu'on est capable d'utiliser le théorème de stoxx on va faire la démonstration de ce théorème dans un cas particulier parce que cette démonstration dans un cas particulier est un peu plus simple mais elle reste tout de même convaincante la surface en question ici est représenté par une fonction de x et de y et puis on a là son domaine de définition donc pour des valeurs particulières 2x et de y dans cette région là on a une hauteur puisque z qui est la hauteur c'est une fonction de x et de y et ça nous donne un point de cette surface en trois dimensions donc cette démonstration ne sera pas valable pour une surface comme une sphère par exemple ou un point du plan au x y peut être associé à deux points de la surface et on va poser une autre condition on va dire que les dérivés du second ordre de z sont continue donc les dérivés du second ordre sont continus les dérivés du second ordre sont continues ça va nous aider un peu plus tard dans cette démonstration puisque ça nous permet de dire que l as dérivées partielles de z par rapport à x puis par rapport à y est bien c'est la même chose que la dérivées partielles z par rapport à y puis par rapport à x et pour pouvoir dire ça il faut assumer que les dérivés du second ordre de z sont continues ici on a le champ de vecteurs f qu'on utilisera et on fait ici l'hypothèse que les dérivés première de f sont continues maintenant qu'on a posé nos conditions et bien on va rappeler ce que c'est que le théorème de stoxx le théorème de stoxx nous dit que l'intégrale curviligne du produit scalaires de f par dr alors sur le chemin donc ici le chemin et bien c'est celui là je vais repasser sa en bleu ça c'est notre chemin c'est le contour de cette surface voilà je fais tout le tour donc ça assez chemin là et le théorème de stoxx nous dit que ça c'est égal à l'intégrale de surface sur notre surface ici cette surface là du produit est ce qu'à l'ère du rotationnelle de f tu produis scalaires du rotationnelle de f par la surface elle même par ds et dans cette vidéo d'ailleurs probablement dans la suivante si on va se concentrer sur cette partie là on va se concentrer sur cette partie là et on va voir comment exprimer ça en sachant les hypothèses convient de faire ici ensuite on fera la même chose pour cette partie là et après quoi et j'espère on devrait trouver que ces deux expressions sont égales alors on commence avec le rotationnelle de f le rotationnelle de notre champ de vecteurs c'est égal au produit vectorielle de l'opérateur gradient par notre champ de vecteurs f et ça c'est égal aux déterminants d'une matrice ou sur la première ligne on a nos vecteurs unitaire y j et k sur la deuxième ligne on a les composantes dans la direction de j j et k de l'opérateur gradient la dérivées partielles par rapport à x la dérivées partielles par rapport à y la dérive est partielle par rapport à z est sur la troisième ligne on aa les composantes dans la direction de j j et k de notre champ de vecteurs donc pays qui est une fonction de x y et z que dans la direction de gilles qui est une fonction aussi de x y et z et dans la direction de cas et bien ces airs qui est aussi une fonction de x y et z ça c'est égal à d'abord la composante dans la direction de i alors on rails cette ligne on rails cette colonne et on à la dérive et partielle de r par rapport à y j'utilise cette notation pour économiser un petit peu de place - là dérivées partielles de cul par rapport à z ensuite on a moins la composante dans la direction du vecteur j c ela dérivées partielles de r par rapport à x - là dérivées partielles de paix par rapport à z et enfin on a un à composante dans la direction de cas c'est la dérive et partielle de cul par rapport à x - là dérivées partielles de paix par rapport à eux y voient là le rotationnelle de f on ne va pas aller plus loin ici on continuera avec ds et se produisent qu'à l'air dans la prochaine vidéo