Preuve du théorème de Stokes, partie 4

on continue avec la démonstration du théorème de stoxx et on va maintenant s'occuper de l'autre côté de ce théorème c'est-à-dire l'intégrale curviligne sur le chemin sait qui est le contour de notre surface ici du jeu donc c'est l'intégrale curviligne du produit est ce qu a l'air de notre champ de vecteurs f par dr et on va montrer qu'on obtient exactement la même chose qu'on a juste ici au dessus qu'on a trouvé dans la vidéo précédente mais avant ça je vais faire un petit détour alors j'ai fasse ce que je viens d'écrire ici je vais faire un petit détour on laisse ça de côté pour l'instant j'aimerais d'abord qu'on se concentre sur cette région ici du plan au x y et plus particulièrement sur le chemin ici le chemin qui est le contour de cette région donc on va appeler ce chemin c1 puisque ici ce chemin là au dessus dans l'espace le contour de notre surface c'est le chemin c'est donc nous dans un premier temps on va se concentrer sur le chemin c1 et pour faire la paramétrisation de ce chemin là dans le plan au x y on peut dire que c'est un peut être paramétré avec x qui est une fonction de tes du paramètre t y est aussi une fonction du paramètre t est le paramètre t va de a à b par exemple on peut dire que quand on est ici et bien tvo a et quand tu es augmenté bien on a tous les points tout autour de ce chemin jusqu'à revenir à ce point là quand tu es est égal à b voilà la paramétrisation de ce chemin maintenant pour que tu comprennes bien ce qui va suivre je vais faire un petit rappel on imagine qu'on a un champ vectorielle j'ai dans un champ de vecteurs g qui est défini dans le plan au x y g pourrait être défini ailleurs dans l'espace mais nous on va dire que ce genre de vecteurs et dans le plan aux x y est j'ai c'est égal à la fonction m qui est une fonction de x et de y fois le vecteur plus n qui est aussi une fonction de x et de y fois le vecteur j avec ça quel et l'intégrale curviligne et alors tout ça c'est juste un rappel on a déjà vu ça donc quel et l'intégrale curviligne sur ce chemin c'est un qui est un chemin fermé 1 je vais dessiner un petit cercle comme ça pour préciser que c'est un chemin fermé donc calé l'intégrale curviligne du produit scalaires 2 g par dr donc des airs on sait que c'est dr c'est des x x y plus d y folie donc si on calcule le produit scalaires de ces deux vecteurs et ben on obtient on obtient donc l'intégrale curvy ligne sur ce chemin fermé du produit scalaires de ces deux vecteurs donc on am x dx fois des x pour calculer et se produisent qu'à l'air ont fait le produit des composantes dans la direction de i auquel on ajoute le produit des composantes dans la direction de j donc plus n fois d y voit des y est on sait que des x c'est la même chose que la dérive et 2x par rapport à tes d'été et même idée pour y des y c'est la dérive et et de y par rapport à tes d'été donc tu vois que les d'été ça nul ici et ici et il reste des x et d y est de faire ça bien ça nous permet de transformer cette intégrale curviligne en une intégrale sur le domaine du paramètre tu es donc ici c'est égal à l'intégrale sur le domaine de thé donc tu es va de a à b 2 donc deux se produisent qu'à l'ère essayez donc ce qu'on a trouvé ici on a trouvé m x dx on va remplacer et dx par sa donc m x dx sur d'été fois d'été donc tout ça et bien c'est ce terme là plus maintenant ce terme la haine fois la même chose on remplace des grecs parce qu'on a ici donc c'est la même chose un des grecs sur d'été fois d'été et donc voilà trois expressions équivalente ici et tout ça et bien c'était juste un rappel pour que tu puisses bien comprendre le reste de notre démonstration donc on en revient à ce chemin ici on va réfléchir à quelles paramétrisation on peut faire de ce chemin c est bien pour ses on peut garder la même paramétrisation pour x y qu'on a fait pour ses seins dans le plan aux x y parce que les coordonnées x et y des points de c est bien ce sont les mêmes que celles des points de ses 1 x et y par exemple pour ce point là les coordonnées x et y eh bien ce sont les mêmes que les coordonnées de ce point là donc la différence ici c'est qu'on a maintenant une coordonnée z puisque c est dans l'espace et donc on a précisé au départ on a précisé que z est une fonction de x et de y et z nous indique donc la hauteur la hauteur de nos points par rapport au plan au x y donc la paramétrisation de c c'est alors je vais directement écrire la fonction vectorielle de position que je vais appeler air à ne pas confondre avec son air et 6 1 ce n'est pas le même que air qui est dans ce rappel la donc ici r c'est une fonction de tes notre part à m c'est égal donc on a dit que x et bien en garde la même paramétrisation que pour ce chemin du plan ou xy donc dans la direction de hyundai xt fois i dans la direction de j on a y de thé et dans la direction de cas et bien on à z qui est une fonction de x et de y x et y qui sont des fonctions 2t donc x fonction de tes y fonction de tes fois le vecteur cas voilà à la paramétrisation ah j'allais oublier un de préciser que tu es est compris entre a et b voilà donc la paramétrisation du chemin c est maintenant on peut réfléchir à l'intégrale du produit scalaires de f par dr sur ce chemin juste avant on a fait ça pour le chemin c'est un dans le plan aux x y maintenant on va faire la même chose pour ce chemin tisser mais on garde ça pour la prochaine vidéo