Preuve du théorème de Stokes, partie 5

avec cette paramétrisation du contour de la surface de cet espace ici on va pouvoir réfléchir à l'intégrale curviligne qui était le membre de gauche du théorème de stock comme on l'a énoncé au départ donc on va pouvoir réfléchir à l'intégrale curviligne donc sur ce chemin là le contour de notre surface du produit scalaires de notre champ vectorielle f par dr par dr alors encore une fois ce dr l'aca concerne ce chemin ici un chemin qui est le contour de cette surface dans cet espace en trois dimensions à ne pas confondre avec ceux des relais qui était le qui concernait le chemin de qui était le contour de cette région dans le plan aux x y qu'on avait dans ce rappel ici alors f je me rappelle plus très bien de ce que c'est on doit la voir un petit peu plus haut donc c'est notre champ vectorielle mais voilà fct gala p x y plus qu fois j + 1 ère fois qu'un important c'est facile à mémoriser donc on va essayer de mémoriser ça avec pq et air qui sont des fonctions de x y et z alors maintenant qu'est-ce que qu'est-ce que ce dr ici qu'est ce que dr alors des airs c'est égal dr c'est égal à dr / d'été fois d'été et pour résoudre ça on va devoir utiliser la règle de dérivation de fonctions composé puisqu'on va devoir déterminer la dérive et de r par rapport à tes donc on va faire ça dans un premier temps la dérive et de r par rapport à tes qu'est ce que c'est bien c'est la dérive et 2x par rapport à tct river et 2x par rapport à tes x y plus la dérive et et de y par rapport à tes d'arrivée de y par rapport à tes fois j ai alors attention ici à z c'est une fonction de x qui est aussi une fonction de tes et c'est aussi une fonction de y qui est aussi une fonction de tes donc on va faire ça c'est vraiment on à la dérive et deux aides par rapport à tct galles alors pour pour trouver ça je trouve que ça aide ceux de se demander de quelles sont toutes les différentes façons pour qu'une variation de thé entraîne une variation de z et bien aide peut varier parce que x varient à la suite d'une variation de thé donc on à la dérive et partielle de z par rapport à x 1c une variation de z entraînée par une variation de x mais x varient à la suite d'une variation de thé donc on a ça fois la dérive et 2x par rapport à tes mais elle est aussi varié quand y varie donc on ajoute à ça la dérivées partielles de z par rapport à aigrettes et y variés à la suite d'une variation de thé donc fois la dérive et de y par rapport à tes et voilà la règle de dérivation de fonctions composé donc on va utiliser cette expression de la dérive et deux aides par rapport à tes ici à la suite est ce que je vais faire c'est que je vais reprendre les notations que j'ai utilisé jusqu'à maintenant pour les dérivées partielles 1 pour que ce soit plus clair donc on n'a plus la dérivées partielles de z par rapport à x x dx sur d'été plus là dérivées partielles de z par rapport à y fois d y sur d'été tout ça fois le vecteur cas maintenant nous ce qu'on veut c'est des airs et des airs c'est tout ça donc tous à pois d'été et avec ça on peut exprimer cette intégrale curviligne on peut exprimer cette intégrale curviligne comme une intégrale simple défini sur le domaine de définition de thé c'est à dire entre on m'a dit que tu es varie entre a et b et donc cette intégrale qui va de a à b du produit scalaires de f part d'air et on se rappelle maintenant des composantes de fcp q&r donc dans la direction de j j et k qui sont des fonctions de x y et z donc quand on calcule prot se produit scalaires on commence vers le parfaire le produit des composantes dans la direction du vecteur i bon je vais quand même récrire f ici pour qu'on les sous les yeux je vais l'écrire à la suite alors f c'est égal paix fois le vecteur here plus qu'une fois le vecteur j + 1 ère fois le vecteur cas alors j'ai un petit peu raccourci ça il faut se rappeler que pq et hertz ont chacune des fonctions de x y et z donc le produit scalaires de f par br et bien c'est le produit de sa part ça le to x d'été faut pas oublier des t1 donc on va faire ça tout de suite d'abord dans la direction de il en appelle foie dx sur d'été donc payer fois dx sur d'été plus dans la direction de j on a qu une fois d y sur d'été qu une fois d y sur d'été et dans la direction de cas et bien on aère fois toute cette expression là donc plus ère fois la dérivées partielles de z par rapport à x voies des xe sur d'été plus là dérivées partielles de z par rapport à y x et y sur d'été et bien sûr on n'oublie pas on multiplie tout ça par dt et on va s'arrêter là pour éviter le risque de fautes d'inattention dans la prochaine vidéo on réorganisera cette expression pour mettre en évidence cette relation ici et on aura donc une expression qui nous permettra d'appliquer le théorème de green en utilisant ce contour là d'accord et avec un petit peu d'algèbre eh bien on devrait arriver à retomber là dessus et on aura alors prouver on aura démontré le théorème de stoxx dans ce cas particulier