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Preuve du théorème de Stokes, partie 7

On utilise le théorème pour conclure la démonstration du théorème de Stokes. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

dans la vidéo précédente on a exprimé l'intégrale curviligne sur le contour de notre surface sur ce chemin donc on est exprimée et l'intégrale curviligne du produit scalaires de f par des airs comme une intégrale curviligne sur ce contour ces inquié le contour de cette région air du plan au x y est on a fait ça parce que maintenant on peut utiliser le théorème de green pour transformer ça en une intégrale double sur cette région m c'est ce qu'on va faire maintenant on va on va appliquer le théorème de green le théorème de green alors le théorème de green ah bon je vais commencer par encadré ça en fait parce que si tu te rappelles on a utilisé sa dans la vidéo précédente mais ça ne fait pas vraiment partie de cette démonstration parce que on s'en est simplement servi comme modèle donc j'encadre ça pour ne pas qu on s'embrouille donc le théorème de grimm dit que cette intégrale curviligne c'est la même chose que l'intégrale double sur la région m la région est redon c1 et le contour donc c'est l'intégra double de la dérivées partielles par rapport à x de cette expression là donc qu plus et revoilà dérivées partielles de z par rapport à y - là dérivées partielles par rapport à y de cette expression là donc p + r fois-là dérivées partielles de z par rapport à x puis tout ça fois des as alors dans un premier temps on va calculer ses dérivées partielles et tu vas voir que quand on aura fait ça on va obtenir une expression très similaire et j'espère même d'ailleurs identique à cette expression là et on aura alors prouver que cette intégrale curviligne ici est bien est équivalente à cette intégrale de surface alors on commence tout de suite d'abord la dérivées partielles cette expression là on commence avec la dérivées partielles de cul par rapport à x et si tu te rappelles des informations qu'on avait au départ et c'est on nous dit que pq et air sont chacune des fonctions de x y et z six aides n'étaient pas une fonction de x et si on voulait et là dérivées partielles de cul par rapport à x on pourrait simplement écrire ça comme la dérive et partielle de cul par rapport à x sauf conseils ici que z est aussi une fonction de x et de y donc comme on veut la dérivées partielles de cul par rapport à x on doit réfléchir à quelles sont les différentes façons pour qu'une variation de x entraîne une variation de cul eh bien d'abord puis varie directement à la suite d'une variation de x et puis z varie aussi suite à une variation de x donc une variation de z entraîne directement une variation de cul alors on va reprendre tout ça on a dit d'abord que quand x varient on a une variation direct de cul donc on va appeler ça qu un 10 x alors qu un 10 x c'est comme si on considérait que z était une constante donc que z n'était pas une fonction de x donc ce serait là dérivées partielles de cul par rapport à x si l'aide n'était pas une fonction de x sauf qu'ici z est une fonction de x donc à ça pour avoir la dérivées partielles de cul par rapport à x à cela il faut ajouter la variation de cul suite à une variation de zz qui varient suite à une variation de x1 ont fait ça parce que une variation x entraîne directement une variation de cul mais comme qu est aussi une fonction de z qui est une fonction de x et bien une variation de x entraîne une variation de cul par une variation de z c'est ce qu'on a dans ce deuxième terme ici donc tout ça c'est la dérive et partielle de cul par rapport à x hockey ensuite on veut la dérive et partielle de ce produit là par rapport à x alors déjà on a un produit de deux facteurs qui sont des fonctions de x donc quand on dérive ça c'est la règle de dérivation du produit de deux fonctions on va avoir la dérivées partielles de r par rapport à x fois cette fonction la plus là dérivées partielles de cette fonction la foire alors d'abord la dérivées partielles de r par rapport à x et même logique que pour que puisque air varie directement à la suite d'une variation de x et r peut aussi varier à la suite d'une variation de z qui varient suite à une variation de x donc ça c'est la dérive et partielle de r par rapport à x on multiplie sa part cette fonction-là dérivées partielles de z par rapport à y est enfin le dernier terme eh bien on à la dérive et partielle de la dérivées partielles de z par rapport à y par rapport à x donc la dérive et partielle de z par rapport à y colle on dérive par rapport à xx x la fonction est alors voilà la dérive et partielle de ce terme là par rapport à x maintenant on va soustraire à ça on va soustraire à sa la dérive et partielle de ce terme là par rapport à y on suit la même idée qu avec ce qu'on a fait avant donc d'abord on à la dérive et partielle de paix par rapport à y est bien même chose hein on a d'abord une variation directes de paix et quand y varient mais paie aussi varient à la suite d'une variation de z variations de z qui est induite par une variation de y donc ça c'est la dérive et partielle de paix par rapport à et grecs ensuite on à la dérive et partielle de ce produit par rapport à y donc d'abord la dérivées partielles de r par rapport à y c'est la même chose qu'on a ici entre parenthèses sauf que c'est par rapport à y donc on à la variation de r quand y varie la variation direct de r quand y varie plus en quelque sorte la variation indirecte de r quand y varient et bien y qui fait varier zz varient à la suite d'une variation de vie y est cette variation de z et bien induit une variation de r on multiplie sa part la dérivées partielles z par rapport à x et enfin dernier terme on à la dérive et partielle de z par rapport à x que l'on dérive par rapport à y est on multiplie sa part air maintenant on va voir si on peut réarrangé un petit peu tout ça et pour l'instant on s'occupe seulement de ce qu'il y a à l'intérieur de cette intégrale double 1 on écrira l'intégrale double et des à un petit peu plus tard quand on aura fait le tri là dedans donc on va garder les mêmes couleurs on va distribuer un petit peu ce qui a distribué réarranger les termes donc on ad'abord q1 10x plus qu un 10 aides z1 10x ensuite on va distribuer ici z indices y donc plus ce qui est d'ailleurs z y c'est la dérive et partielle de z par rapport à gré avec un puisque z et seulement une fonction de x et de y donc tous s'étaient amusés d'un 10 x y z indices y ce sont bien des dérivées partielles à ne pas confondre avec pqr avec les indices par exemple ce r1 10x et bien c'est la dérive et partielle des airs par rapport à x si on considère z comme une constante comme une qui ne serait pas une fonction de x d'accord donc ça c'est si tu veux l'effet direct d'une variation de x / r c'est pour ça qu'on a appelé sa r1 10x mais ça ne pas confondre avec la dérivées partielles de r par rapport à x donc on aère indices x fois la dérivées partielles de z par rapport à y plus r1 17 fois la dérivées partielles de z par rapport à x fois la dérivées partielles de z par rapport à y plus là dérivées partielles de z par rapport à y puis x x r ensuite on distribue le signe - donc tous les signes plus se transforme en moins on a moins pays indices y - pn dizaine fois-là dérivées partielles de z par rapport à y - ensuite - r indices y fois on distribue un la dérivées partielles de z par rapport à x - r1 10 aides voilà dérivées partielles de z par rapport à y fois la dérive et partielle de z par rapport à x et enfin - là dérivées partielles de z par rapport à xp par rapport à y x r alors on peut sûrement faire quelques simplifications ici d'abord ce terme est ce tu aimes tu vois qu'ils se ressemblent beaucoup ainsi on change l'ordre des facteurs on voit qu'on a les mêmes termes sauf qu ici on a ce terme est positive ce terme est négatif donc en fait est ce terme et ce terme s'annulent ensuite rappelle toi au début on a fait une hypothèse on va remonter jusqu'en haut donc au début on a fait l'hypothèse que les dérivés du second ordre de z sont continues ça veut dire que la dérivées partielles de z par rapport à x puis par rapport à la grecque eh bien c'est la même chose que la dérivées partielles de z par rapport à y puis par rapport à x donc si on ne revient ce qu'on ait un thé en train de faire et bien ce terme et se tait m tu vois que dans ce cas c'est exactement l'opposé l'un de l'autre donc en fait on peut les supprimer ces deux termes ça nul voilà déjà qui simplifie un petit peu les choses maintenant ce qu'on va faire c'est qu'on va essayer de réorganiser les termes qui nous reste de façon à avoir quelque chose de façon à voir quelque chose qui ressemble un petit peu à ce qu'on a là même qui ressemble exactement à ce qu'on a là donc ce qu'on va faire c'est on va rassembler les termes où on à la dérive et partielle de z par rapport à x on va rassembler les termes où apparaît la dérivées partielles de z par rapport à y et puis on rassemblera les termes qui reste à la fin on va garder les mêmes couleurs pour faciliter la comparaison donc d'abord on va rassembler les termes où apparaît la dérivées partielles de z par rapport à x celui-là est celui là donc on factories on a à la dérive et partielle de z par rapport à x fois qu un 10z - r indices y ensuite la dérivées partielles de z par rapport à y en a ici puis on a ici donc plus la dérivées partielles de z par rapport à y x r1 10x - p1 17 et enfin les termes restant ici et ici on a donc plus qu 1 10 - p indices y voilà donc comment on peut réécrire cette intégrale double sur la région m donc on n'oublie pas ici on oublie pas ici qu'on intègre sûr on intègre s'assurèrent donc on a ici fois des as donc avec le théorème de green et bien on peut dire que l'intégrale curviligne sur le contour de notre surface c'est la même chose que cette intégrale double donc on peut écrire que ça c'est égal à l'intégrale curviligne sur notre chemin c'est un chemin fermé donc du produit scalaires de f par dr et maintenant on peut comparer ça à notre intégrale de surface on peut comparer ça à notre intégrale de surface ici que je vais copier je vais copier et la copier et la coller pour qu'on les sous les yeux et qu'on puisse comparer avec notre résultat les résultats plus bas voilà je la colle ici je colle cette intégrale de surface ici je vais effacer ça voilà maintenant on peut comparer ça qu'est ce qu'on remarque ces deux expressions ici ici et ici sont bien exactement les mêmes ainsi on compare ces biens exactement la même chose donc cette intégrale curviligne est égal à cette expression cette intégrale de surface est égal à cette expression donc ces deux expressions sont bien la même chose donc si on remonte à notre point de départ on peut dire qu'avec les hypothèses qu'on a fait avec les hypothèses qu'on a fait on vient de démontrer que dans ce cas particulier c'est à dire pour ce type de surface et bien cette intégrale curviligne est égal à 7 intégrale de surface ce qui prouve le théorème de stoxx dans ce cas particulier