Conditions d'application du théorème de Stokes

maintenant qu'on a bien introduit le théorème de stock ce théorème de stoxx on va voir dans quelle situation on peut en effet utiliser ce théorème parce que c'est un théorème plutôt général mais on doit quand même réfléchir à quel type de surface et quel type de contour on étudie parce qu'on à certaines conditions d'abord il doit s'agir d'une surface lisse par morceau la surface doit être lisse par morceau et c'est bien le cas de cette surface ici un cette surface elle est même carrément lice mais qu'est ce que ça veut dire eh bien d'abord cette partie la lys ça veut dire que les dérivés sont continus et comme on est dans le cas d'une surface on va parler de dérive y est partiel continue peu importe dans quelle direction va donc lis ça veut dire que les dérivés doivent être continu dans le cas d'une surface les dérivées partielles et si tu veux visualiser ça l'idée c'est de choisir une direction sur la surface par exemple on va dans dans cette direction là dans cette direction là tu vois que la pente dans cette direction change vraiment progressivement d'accord il n'y a pas de rupture brutalement d'un seul coup même chose si on va dans cette direction là tu vois aussi que la pente change vraiment progressivement petit à petit accord donc on a bien des dérives et continuer sur cette surface maintenant qu'est-ce que par morceau veut dire eh bien ça veut dire qu'on peut utiliser le théorème de stock ce pour plusieurs surfaces c'est à dire qu'on peut utiliser ce théorème pour une surface décomposé en plusieurs surfaces par exemple disons qu'on a une surface qui ressemble un verre alors là on a le dessus du verre là on a les côtés du verre voilà puis la asseyez le dessous c'est un verre transparent non convainc petit peu de l'autre côté comme ça et donc c'est un verre un verre creux un bien sûr un verre dans lequel on peut boire donc donc voilà la partie du verre qui est de l'autre côté et cette surface n'est pas complètement lisse puisque on a les bords ici par exemple si on regarde ce bord ici d'accord et bien si on va dans cette direction là on est disons qu'on est sur la base du verre en est sur le dessous du verre on va dans cette direction là est bien le long du dessous du verre tu vois que quand on arrive au bord de l'eau bord du verre et si on remonte comme ça dans cette direction est bien la pente change complètement si on arrive on est le long du dessous du verre et qu'on remonte le long du bord du verre et bien on a en quelque sorte un saut ainsi on continue vers le haut comme ça il ya une vraie rupture donc la pente n'est pas continu un il ya une rupture quand on passe au niveau du bord du verre donc cette surface n'y est pas lisse mais on s'en tire quand même grâce à ce par morceau ici puisque ça nous dit que ce n'est pas un problème à partir du moment où on peut décomposer cette surface en morceaux en plusieurs surfaces qui sont elles en effet ellis c'est bien le cas ici un rappel toi on a déjà vu ce genre de chose quand on résolvait des intégrales de surface ici par exemple on a le dessous du verre on a le dessous du verre qui est cette partie là qui en effet lice avec des dérivés continuent et puis on a les côtés du verre on a les côtés du verre donc ce qui va tout autour du verre comme ça jusque de l'autre côté voilà qui va tout autour comme ça une sorte de deux morceaux de cylindres et ça c'est aussi une surface lisse et la plupart des surfaces que tu rencontreras en analyse seront en effet lice par morceau à celles qui ne le sont pas ne sont vraiment pas facile à visualiser ce n'est pas facile d'imaginer une surface qui ne peut pas être décomposé en plusieurs surfaces lisses voilà pour la surface maintenant on a aussi une condition pour le chemin on a aussi une condition pour le chemin pour le contour de la surface pour pouvoir utiliser le théorème de stock ce second tour doit être simple ce contour doit être simple et fermé et bien sûr aussi lisse par morceau par exemple ça ce n'est pas un chemin simple ce n'est pas un chemin simple si ce chemin se croisent vraiment ici par contre on pourrait en effet des composés ce chemin en deux chemins simple celui là et puis celui là ça c'est un contour simple donc dans notre cas sur cette surface ici on a bien un contour simple second tour doit aussi être fermé ça veut dire que ce contour doit former une boucle par exemple on ne peut pas avoir juste quelque chose comme ça ça doit être fermé ça doit être fermé ça doit former une seule boucle comme ça et là encore ce contour doit aussi être lisse par morceau maintenant on parle d'une courbe qui doit être lisse par morceau ça veut dire qu'on peut décomposer ce contour cette courbe en morceaux sur lesquels les dérivés sont continue c'est bien le cas de ces trois contours de ces trois chemins quand on avance sur le long du chemin eh bien on voit que la pente varie progressivement d'accord donc on a bien 3 contour lice un chemin qui n'est pas lisse c'est par exemple quelque chose comme ça ce chemin est bien simple est fermé mais ce n'est pas lisse au niveau des angles ce n'est pas lisse ici ce n'est pas lisse ici ici non plus et enfin ici non plus ce n'est pas lisse par contre c'est lisse par morceau on peut les décomposé en quatre sections lice d'abord ce segment là il hisse ce segment là ellis celui ci est lisse aussi et enfin celui là et lis aussi et on a vu ça quand on résolvez des intégrales curviligne en décomposer nos courbes en segments lice pour pouvoir calculer ces intégrales curviligne donc quand tu as une surface qui est lisse par morceaux dont le contour et simple est fermé et aussi lisse par morceau eh bien tu as le feu vert pour utiliser le théorème de stoxx