Calcul direct d'une intégrale curviligne - partie 1

dans les quelques vidéos précédentes on a résolu cette intégrale turbines sur ce chemin et on a fait ça en utilisant le théorème de stock ce qui dit que cette intégrale curviligne eh bien c'est la même chose que l'intégrale de surface du produit scalaires de ce champ vectorielle par la surface et dans cette vidéo je veux te montrer qu'on peut aussi résoudre cette intégrale kirby ligne sans passer par le théorème de stoxx en fait dans ce cas les deux méthodes fonctionnent c'est en quelque sorte un pari sur laquelle sera la plus simple la plus facile à utiliser mais ce qui est intéressant avec le théorème de stock c'est que parfois quand on a une intégrale curviligne c'est plus facile utiliser le théorème de stoxx est de résoudre une intégrale de surface et parfois quand on a une intégrale de surface c'est plus facile d'utiliser le théorème de stoxx est de résoudre une intégrale curviligne donc ici on va résoudre cette intégrale curviligne directement et si tout va bien on devrait obtenir le même résultat qu'avec le théorème de stoxx d'abord on veut par à maîtriser ce chemin qui est le contour de l'intersection entre le plan y plus aide égale 2 et ce genre de tuyaux qui continuent à l'infini vers le haut et vers le bas et qui coupe le plan au x y au niveau de ce cercle unité est donc ce chemin va dans ce sens là dans le sens contraire des aiguilles d'une montre comment paramétrer un chemin on va avoir besoin d'un seul paramètre on a déjà fait ça mais ça fait jamais de mal de revoir un petit peu on va donc se concentrer sur le plan aux x y donc le plan os x y les coordonnées x et y des points de ce chemin sont en fait les mêmes que celles des points du contour du cercle unités puisque ce cercle unités ça en fait la projection orthogonale de ce chemin dans le plan aux x y et la coordonnée z nous indique la hauteur par rapport aux cercles unité qui fait que ces points sont en effet sur le chemin alors le contour du cercle unités voilà à quoi ça ressemble dans le plan aux x y donc c'est le contour du cercle unités et les coordonnées hisser y sont donc les mêmes que celles de ce contour et on a déjà fait ça pas mal de fois donc pas de problème ici on sait qu'on a besoin dans paramètres le paramètre est acquis et l'angle formé avec l'axé des x positif et état nous permet de tourner tout autour du cercle unités dont quetta est évidemment compris entre 0 et 2 pi avec ça on peut écrire que x7 et gala caussinus de teta ben ça c'est juste la définition des fonctions trigonométriques sur le cercle unités y c'est égal asinus deux états et la hauteur z et bien ce qu'on peut faire c'est utiliser cette information ici puisque en réarrangeant les termes on a à z en fonction d'une quinzaine est égal à 2 - y auront c est que y ses sinus d'état donc on peut remplacer ça on a à z et galt e - sinus d'état voilà la paramétrisation de ce chemin on peut écrire ça sous la forme d'une fonction une fonction vectorielle de position qui évidemment en fonction de ce seul paramètre et a donc c'est égal à la composante dx est bien ce qu aux sinus têtards dans la direction de plus la composante donc de y signe cet état dans la direction de j ai enfin la composante des aides de moins sinus d'état dans la direction de cas et maintenant on peut passer à l'étape suivante de la résolution de cette intégrale curviligne c'est à dire le produit escale r2f part d'air d'abord on a besoin de dr on a besoin de dr dr c'est égal à dr / dette et à foix des états ça c'est égal à alors la dérive et de saha par rapport à l'état et bien c'est moins sinueuses et à x ou y ensuite la dérive et de sinus teta par rapport à l'état plus caussinus c'est un poil j ai enfin la dérive est de 2 - sinus l'état par rapport à tes tassé - caussinus tête à foix le vecteur cas et bien sûr on oublie pas fouad et état on a tous à foix des taux est maintenant on peut calculer le produit scalaires de f par dr alors on va essayer de changer un petit peu de couleurs ce qu'on va faire c'est qu'on va avoir une couleur pour f donc le produit fiscal and f par dr c'est égal à d'abord la composante dans la direction de y eh bien on a moins y au carré et fois - signe cet état alors déjà les moins ça nul il nous reste y au carré et fois sinus l'état fois sinus et a ensuite la composante dans la direction de j on a plus six fois plus caussinus teta donc plus x x caussinus t pain et enfin dans la direction de cas on à z carré fois - caussinus teta on a donc moins z au carré fois quoi sinus d'état et on n'oublie pas on a tous à foix d'état maintenant si on veut calculer cette intégrale donc l'intégrale curviligne de ce produit scalaires et bien c'est égal à une intégrale simple sur le domaine de teta donc pour teta qui va de 0 à 2 pi mais on n'a pas tout à fait terminée d'exprimer cette intégrale en fonction de tes ta puisqu'on a encore x y z on va donc remplacer sa part des fonctions deux états parce qu'on a ici un ce qu'on a fait lors de notre paramétrisation on a donc que tout ça c'est égal 1 j'écris à la suite un peu pour avoir pas mal de place c'est l'intégrale de 0 à 2 pi 2 y y au carré alors y au carré c'est sinus d'état au carré on assiste état au carré poids sinus têtards on a donc sinus au cube est à + x x caussinus l'état xc caussinus teta on a donc caussinus teta fois caussinus d'état c'est plus caussinus au carré de tête a ensuite - z au carré fois caussinus et alors là ça va être un petit peu plus pas vraiment compliqué mais on va peut-être faire ça à part dans un premier temps on a moins z/os carrière déjà z au carré qu'est ce que c'est z oo carré c'est deux mois un signe c'est à au carré donc 4 - 4 sinus c'est à + sinus au carré d'état maintenant nous on veut moins l occar et donc moins z au carré c'est moins 4 + 4 sinus l'état - sinus carette et à tous à foix caussinus teta on a donc moins quatre caussinus d'état +4 sinus teta fois caussinus titane +4 caussinus d'état sinus d'état et enfin signe - sinus carrés et est à fois caussinus d'état donc moins caussinus teta sinus carré d'état et donc tout ça fois tu es d'état on n'a plus qu'à calculer et cette intégrale et tu vois qu'on vient de mettre en place une intégrale simple défini ce qui était est plus rapide dans ce cas qu'en passant par le théorème de stock mais l'intégrale qu'on a là va être plus longue à résoudre à on va avoir besoin de nos outils de trigonométrie mais on s'attaquera à tout ça dans la prochaine vidéo