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Relation entre les théorèmes de Green et de Stokes

Où l'on comprend que le Théorème de Green est juste un cas particulier du théorème de Stokes. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

dans la vidéo précédente on a introduit le théorème de stoxx est ce qu'on va faire dans cette vidéo c'est voir si c'est cohérent avec ce qu'on a vu jusque là alors je vais commencer par destinée à me faire un petit dessin donc je représente mon espace donc avec l' axe des aides on a ici lax dx et enfin la kz2 y avec bien sûr l'origine ici et on a une région une région dans le plan aux x grec n'a une région que j'appelle air et bien sûr cette région est délimité par un contour cette région est délimité par un contour qui en fait représente un chemin et ce chemin sens et le sens de ce chemin c'est le sens contraire le sens contraire des aiguilles d'une montre on appelle ce chemin c et puis on a aussi un chant vectorielle on a le champ vectorielle f qui est égal à alors la composante dans la direction d y est bien c'est une fonction paie une fonction de x et de y donc on a dit dans la direction du vecteur y plus la composante des gis même chose c'est une autre fonction 7 x 2 x et de y aussi dans la direction du vecteur j et puis on n'a pas de composante associés aux vecteurs cas donc ce champ vectorielle dans ce domaine ressemble peut-être à quelque chose comme ça je dessine ça au hasard et si on sort de cette région dans la direction des aides c'est à dire si on va vers le haut et bien ce champ vectorielle est exactement le même donc par exemple ce vecteur ici au fur et à mesure qu'on va dans la direction des aides et bien ce vecteur est le même c'est un vecteur parallèle à ce vecteur là et c'est la même chose pour eux tous ces vecteurs à ces vecteurs sont donc parallèle au fur et à mesure qu'on monte dans la direction des aides cd&v qu'on a des vecteurs parallèles à ceux du plan ou xy et 6 es 2 0 et bien on est dans le plan aux x y à partir de là on peut se demander ce que le théorème de strokes nous dit à propos de l'intégrale curviligne du chemin fermé de ce champ vectorielle donc de f ce call rdr et le théorème de stoxx nous dit que ça c'est égal à ça donc cette intégrale curviligne va être égal à l'intégrale de surface mallory si notre surface c'est quoi et bien c'est cette région c'est cette région c'est en fait une surface plate donc c'est une surface plate dans le plan aux x y donc en fait c'est égal à l'intégrale double sur cette région qui est dans ce cas notre surface du produit scalaires du rotationnelle de f parraine fois ds alors ici ds et bien c'est un tout petit morceau de notre surface de notre région donc on va écrire à la place de ds on va écrire des as maintenant qu'est-ce qu'on va écrire pour rotationnelle de f scalaires n alors d'abord ce qu'on va faire c'est on va s'intéresser aux rotationnelle du chant vectorielle f et on sait que ça c'est égal aux déterminants d'une matrice ou sur la première ligne eh bien on a nos vecteurs unitaire donc le vecteur unitaire y j et k sur la deuxième ligne on a les dérivées partielles donc ta dérivées partielles par rapport à x la dérivées partielles par rapport à y est enfin là dérivées partielles par rapport à z et ça ça vient juste de la définition du rotationnelle 1 on a déjà vu ça dans d'autres vidéos ça nous indique dans quelle mesure ce champ de vecteurs fait pivoter quelque chose et enfin sur la troisième ligne on a les composantes alors d'abord la composante associés aux vecteurs i c'est cette fonction paix qui est une fonction de x et de y ensuite la composante associés aux vecteurs jc cette fonction qu aussi une fonction de l'x de y et puis on n'a pas de composante associés aux vecteurs cas donc on a zéro et saas est égale à la alors la composante associés aux vecteurs hisser la dérivées partielles 2,0 par rapport à y donc c'est 0-1 - à la dérive et partielle de cul par rapport à z et que ben ce n'est pas du tout une fonction de z donc là dérivées partielles de cul par rapport à z co-60 je vais écrire ça hein pour ne pas qu on s'embrouille donc la composante associés et c'est là dérivées partielles 2,0 par rapport à y donc c'est zéro - à la dérive et partielle de cul par rapport à z bien qu n'est pas une fonction de z donc c'est aussi 0 - la composante associés aux vecteurs j donc c'est la dérivées partielles 2,0 par rapport à x bien co-60 - là dérivées partielles de paix par rapport à z paix ce n'est pas du tout une fonction de z donc c'est zéro et enfin en a plus la composante associés aux vecteurs cas donc ça c'est la dérive et partielle de cul par rapport à x ça rappelle toi sur cette deuxième ligne ce sont simplement les opérateurs des dérivées partielles d'accord donc c'est la dérive et partielle de cul par rapport à x et bien ça c'est pas 01 puisqu'on sait que qu est une fonction notamment de x 2 x et de y - là dérivées partielles de paix par rapport à y est là non plus ce n'est pas héros puisque paix et bien une fonction de y notamment et donc le rotationnelle de f se simplifie en cette expression là maintenant qu'est-ce que le vecteur n qu'est-ce que le vecteur normal unitaire bien ici on est dans le plan ou xy donc le vecteur normale est orienté vers le haut vers dans la direction de lax des dents dans la direction de cas et sa norme c'est un donc dans cette situation ce vecteur normal unitaire c'est juste le vecteur cas donc l'eau rotationnelle de fc ça est le vecteur normal unitaire dans ce cas et bien c'est égal aux vecteurs unitaire cas maintenant que se passe-t-il quand on fait le produit scalaires du rotationnelle de f par cas c'est à dire le produit scalaires de sa part ça eh bien il nous reste uniquement il nous reste uniquement ce qu'on a ici donc dans notre cas le rotationnelle de f par n et bien c'est juste la dérivées partielles de cubes par rapport à x - là dérivées partielles de paix par rapport à y est c'est un super résultat parce que quand on utilise le théorème de stoxx dans ce cas particulier et quand on a une surface plate comme ici on est une région dans le plan au x y et bien ça revient à utiliser le théorème de green ça c'est juste le théorème de green donc le théorème de green est en fait un cas particulier et du théorème de stoxx quand on a une surface plate dans un plan comme on a ici alors on n'a toujours pas prouvé le théorème de stocks sains mais au moins on a montré que le théorème de green et le théorème de stock ce sont cohérents et puis j'espère que cette formule là commence à représenter quelque chose pour toi puisque maintenant on sait notamment notamment grâce à l'exercice qu'on a fait dans la vidéo précédente 1 que c'est en fait d'effets de rotation d'un champ vectorielle qu'il y a dans ce domaine