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Exemple d'utilisation du théorème de Stokes - partie 2

Paramétrer une surface. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

dans la vidéo précédente on a mis en place cette intégrale de surface et pour la résoudre on va commencer par faire la paramétrisation de la surface s rappelle-toi la surface c'est la section de ce plan de ce plan y plus z égal 2 délimité par le chemin c'est la base de la surface de toute la surface qui est dessiné ici c'est ce morceau de cylindres ici je vais hachuré donc c'est ce morceau de cylindres là c'est la base notre surface etc et le cerf qu'un cercle unités dans le plan aux x y est tu vois que ce cercle unité est en fait la projection orthogonale de notre surface si notre surface en verre celle qui nous intéresse dans le plan au x y donc en fait les coordonnées x et y des points de notre surface sont en fait les coordonnées x et y des points de ce cercle unités de cette base et z est bien ici on voit que c'est une fonction de y on peut exprimer ça sinon réarrange ces termes on peut avoir z qui est égal à 2 - y et ça ça nous donne la hauteur de nos points et avec tout ça et bien on a tous les points de notre surface alors d'abord on va réfléchir aux coordonnées x et y des points du cercle unités donc ce que je vais faire c'est que je vais dessiner le plan os x y puisqu'on va se concentrer dans un premier temps sur ce plan là donc ici je n'ai accès y ici j'ai la clé x puis si l'origine et dans ce plan on a le cercle unités c'est la base ici ou plutôt en fait c'est l'intersection de cette surface et du plan au x y parce qu'on a dit que cette surface la xe au carré plus grec au carré égal 1 continue vers l'infini de ce côté et de ce côté donc si je dessine cette intersection là dans le plan au x y ça me donne le cercle unités alors je dessine quelque chose qui ressemble plus un cercle possible voila voila ce cercle unités et on va réfléchir à des paramètres qui nous permettent de placer tous les points de ce cercle unités alors on a déjà pas mal fait ça donc je vais revoir ça rapidement le premier paramètre et bien c'est l'angle formé avec l'axé des x donc cet angle là et je vais appeler ce paramètre tête-à tête à nous permet d'aller tout autour de ce cercle donc en fait t'es tu as est compris entre 0 et depuis seulement si on fait uniquement variété tas avec la même longueur de ce rayon qui vaut 1 eh bien on va obtenir uniquement tous les points du contour de ce cercle unités on va avoir seulement les points du contour mais nous on veut aussi les points qu'il y a à l'intérieur de ce cercle donc on doit aussi faire varier le rayon pour ça on veut utiliser un autre paramètre le paramètre r ce paramètre air qui est en fait la longueur du rayon donc pour une valeur donnée de r quand on fait varier et état eh bien on va avoir tous les points de ce cercle là maintenant aussi on fait varier r un petit peu et bien on a un autre cercle etc et c'est donc en faisant varier air entre 0 et 1 eh bien on a tous les cercles qui remplissent ce cercle unités dont care doit être compris entre 0 et 1 on peut aussi voir ça différemment c'est à dire pour un état donné quand on fait varier r eh bien on a tous les points d'un rayon du cercle unités et en faisant aussi variés et état et bien on a tous les rayons de ce cercle unités maintenant on peut utiliser ces paramètres pour exprimer les coordonnées x et y d'abord x et bien x c'est ça si on est ici et bien x c'est cette distance là d'accord donc x ça c'est juste de la trigonométrie de base 1 x c'est égal aux rayons x le cosinus deux états maintenant y y c'est ça ici y cr le rayon x sinus d'état et enfin on a dit que z c'est une fonction de y est donc on peut réécrire ça on peut réécrire z c'est égal à 2 - y donc c'est une fonction de y donc si on remplace ça on à z qui est égal à 2 - y doncker sinus deux états et voilà notre paramétrisation on peut écrire ça sous la forme d'une fonction vectorielle de position que je vais appeler s puisque r on utilise déjà comme paramètre donc s c'est une fonction de nos paramètres air et état c'est égal à la composante dx air caussinus teta fois le vecteur y plus la composante des y&r sinus t ta voix le vecteur j ai enfin la composante des z 2 - r sinus d'état voit le vecteur cas et on continuera sa dans la prochaine vidéo