Exemple d'utilisation du théorème de Stokes - partie 4

pour terminer notre problème il nous reste à calculer et le rotationnelle de f puis ce produit scolaire et enfin on pourra résoudre cette intégrale double on continue donc avec le rotationnelle du champ de vecteurs f et je me rappelle du rotationnelle comme étant le déterminant d'une matrice sur la première ligne on a les vecteurs unitaire y j et k et puis en fait tu peux voir le rotationnelle ici le rotationnelle de f comme le produit scalaires de l'opérateur gradient paref donc sur la deuxième ligne on a les composantes de l'opérateur gradient la dérivées partielles par rapport à x dérivées partielles par rapport à y la dérive est partielle par rapport à z est sur la troisième ligne on a les composantes ne de notre champ vectorielle qui est ici donc moins y au carré x z ok donc ce vecteur rotationnelle c'est égal à la composante associés aux vecteurs hisser la dérivées partielles de z au carré par rapport à y alors z c'est une constante par rapport à y donc là dérivées partielles de z au carré par rapport à y c-zéro - là dérivées partielles de x par rapport à z même chose xc d'une constante par rapport à z donc ça dérivées partielles par rapport à z co-60 ça commence bien ensuite on a moins le vecteur j ai la composante associés aux vecteurs jc il a dérivé partiel deux aides au carré par rapport à x et bien c'est aussi 0 - là dérivées partielles de moins y au carré par rapport à z c'est zéro et enfin on à la composante associés aux vecteurs cas c'est la dérive et partielle de x par rapport à x et bien c'est un - là dérivées partielles de moins y au carré par rapport à y alors là dérivées partielles de moins y au carré par rapport à y c'est moins 2 y on a moins donc on a plus deux y est donc notre vecteur rotationnelle c'est simplement en plus deux y3k que ça ça s'annule on peut substituer ça dans notre intégral double que je verrai écrire donc on à l'intégrale de 0 à 1 puisque air va de 0,1 l'intégrale de 0 à 2 pi d'état va de 0 à 2 pi et ensuite pour rotationnelle de f on a trouvé un plus 2 y alors plutôt que d'écrire deux y on va utiliser nos paramètres puisque si je me rappelle bien on m'a dit que y cr x signe cet état voilà y cr x signe cet état donc on peut remplacer ça ici à la place de y on va avoir r fascinus teta fois le vecteur cas scalaires hergies plus r k et puis nos différentiel dette et à dr alors ce vecteur là uniquement une composante pour le vecteur cas la composante des jc 0 donc quand on fait le produit scalaires par ce vecteur là eh bien on va avoir zéro et puis aucun de ces deux vecteurs n'a de composantes pour le vecteur y est donc ça c'est réglé donc on s'occupe juste des composantes du vecteur cas et donc ce produit scalaires et bien ce produit scalaires c'est simplement ère fois ce qu'il ya entre parenthèse ici c'est à dire r + 2 r au carré sinus état et puis je verrai écrire ce qu'il ya autour et je vais choisir deux couleurs différentes pour les termes en tête-à et les termes en air donc d'état avec l'intégrale qui va de 0 à dépit puis l'intégrale de 0 à 1 dr il nous reste plus qu'à résoudre cette intégrale double alors d'abord la primitive de ça par rapport à l'état est bien crt tu as un considère comme une constante la primitive de sinus d'état et bien c'est moins caussinus l'état donc moins de r au carré caussinus d'état et 7 primitive est prise entre 0 et depuis on a toujours là toujours l'intégrale 0 à 1 dr alors quand tu es tu à vos deux pis quand tu es tavaux dépit on a 2 pi r ensuite caussinus de deux pays c'est un donc moins de r au carré - cette expression quand et à vos héros dont care x 0 c zéro caussinus 2 0 c'est un donc on a moins de r au carré alors déjà ici les moins se simplifient ça se transforme en plus on a moins de zéro car et +20 carré ça se simplifient ça s'annule il nous reste seulement cette intégrale se simplifie en l'intégrale de 0 à 1 2-2 puis rdr donc la primitive de ça et bien c'est pierre o car est prise entre 0 et 1 quant à airvault 1 eh bien on a pris moins quand air vos héros et bien on a moins 0 et là je crois qu'on mérite un vrai roulement de tambour puisqu'on a passé beaucoup de temps sur ce même problème ça ça nous donne 10 et je crois que ça mérite aussi et qu'on revoie à ce qu'on a fait dans les quelques vidéos précédentes on voulait résoudre cette intégrale curviligne et au lieu de faire ça directement ce qu'on sait faire et je sais que je t'encourage à faire pour que tu puisse comparer avec le résultat de cette vidéo est donc au lieu de résoudre cette intégrale curviligne directement nous on a utilisé le théorème de stock ce qui nous dit que c'est la même chose que cette intégrale de surface sur une surface lisse par morceaux dont le contour et ce chemin ensuite on a donc résolu cette intégrale de surface tu vois tout ce qui défilent ici et après pas mal d'efforts et après même beaucoup d'efforts on a obtenu pis