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Théorème de Stokes - une approche intuitive

Une approche intuitive du lien existant entre le rotationnel d'un champ de vecteurs le long d'une surface et l'intégrale curviligne le long de la frontière de cette surface. Créé par Sal Khan.

Transcription de la vidéo

on a ici différentes versions de la même surface donc on a cette même surface qui est représenté dans cinq situations différentes et j'aimerais qu'on s'intéresse ici à l'intégrale curviligne du produit scalaires de f par dr l'intégrale curviligne du produit scalaires de f par des airs ou f et bien c'est le chant vectorielle qui est représenté un rose sur chacune de ces situations et aux tu vois bien qu'on a cinq chambres de vecteurs différent et on est uniquement la partie du champ vectorielle qui est sur la surface alors on aurait aussi pu avoir la partie de ce champ vectorielle en dehors de la surface 1 mais nous ici on va se concentrer sur ce qu'il se passe sur la surface donc le champ vectorielle pourrait être défini dans tout cet espace en trois dimensions pareil ici mais nous on se concentre sur ce qu'il se passe sur la surface et évidemment on voit bien qu'on a cinq champs vectorielle différentes il rappelle toi alors je t'ai dit qu'on allait s'intéresser à cette intégrale curviligne donc le chemin qui nous intéresse le chemin qui nous intéresse et bien c'est le contour dans le sens contraire des aiguilles d'une montre de notre surface donc c'est sur le contour dans le sens contraire des aiguilles d'une montre de notre surface qu'on va évaluer le produit scalaires de f par dr et je vais dessiner des flèches comme ça pour indiquer le sens de ce chemin voilà c'est le sens contraire des aiguilles d'une montre et ça va être la même chose dans chacune de ces situations à partir de là j'aimerais qu'on réfléchisse à en quoi ce produit scalaires sur ce contour sur ce chemin va varier selon chacun de ces exemples sachant que la seule différence entre chacune de ces situations c'est le chant de vecteurs f on va commencer par cet exemple quand on regarde cette portion du chemin cette portion du contour on voit que le champ de vecteurs va exactement dans la même direction que notre chemin qu'est ce que ça veut dire ça veut dire que de cette partie du contour on va avoir que des valeurs positives du produit scalaires de f par dr on va avoir que des valeurs positives du produit scalaires de f par dr qu'on additionne puisque on calcule une intégrale ensuite quand on continue le long du contour kong remonte long de notre surface comme ça eh bien on voit que le chant vectorielles et orthogonale est perpendiculaire à cette portion du chemin qu'est ce que ça veut dire eh bien ça veut dire qu'on ne va rien obtenir du produit scalaires de f par dr sur cette partie du contour le produit scalaires de f par dr et bien c'est zéro ensuite quand on est tout en haut ici le chant vectorielle va dans la direction opposée de celle du chemin notre chemin bas de droite à gauche le chien vectorielle va de gauche à droite donc on a des valeurs négatives du produit ce cas-là r2f par dr et quand on en fait la somme on a aussi quelque chose de négatif et si le chant vectorielles et constant et on dirait bien que c'est le cas ici et si la longueur de cette portion du chemin c'est la même longueur que cette portion du chemin eh bien ces deux valeurs ça nulle si on ajoute cette somme positive et cette somme négative eh bien ça fait zéro enfin quand on descend par là le long de la surface comme de l'autre côté le champ vectorielles et orthogonale à ce bout de chemin donc on a aussi 0 et donc dans ce cas l'intégrale curviligne du produit scalaires de f par des airs avec le f le chant vectorielle décrit comme dans cette situation ici est bien c'est probablement 0 donc dans cet exemple dans cet exemple il se pourrait bien que l'intégrale curviligne du produit scalaires de f par dr soit égal à zéro allez on passe à l'exemple suivant ça commence pareil ici donc on voit plus très bien les flèches mais le champ de vecteurs va bien dans cette direction donc d'abord sur cette portion du contour sur cette portion du contour on voit que le chant vectorielle va dans la même direction que le chemin donc on va avoir des valeurs positives du produit scalaires de f par dr ensuite quand on remonte le long de la surface eh bien le chant vectorielles et orthogonale au chemin donc ça n'ajoute rien on a zéro le long de ce bout de chemin mais alors là qu'est ce qu'on remarque tout en haut sur cette portion du contour et bien le chant vectorielle est à nouveau dans la même direction que le chemin donc on va encore avoir des valeurs positives du produit scalaires de f par dr et enfin en redescendant le long de la surface comme de l'autre côté le champ vectorielles et orthogonale à ce bout de chemin donc ça n'ajoute rien on a zéro et tu vois que dans cet exemple ces deux bouts de chemin ne s'annulent plus et donc notre intégral curviligne sur ce chemin dans cet exemple là va être positive et quelle est la différence entre f dans cette situation-là et f dans cette situation là et bien ce champ vectorielle change de direction et c'est pour ça que la partie du haut ne s'annulent plus avec la partie du bas autrement dit on a un effet de rotation on imagine que ce chant vectorielle décrit la vitesse d'un fluide par exemple de l'eau et si on place si on place une brindille dans l'eau et bien chacune des extrémités et de 16 points 10 va être emporté dans une direction différente ce qui fait que la brindille va se mettre à pivoter à tourner sur elle-même donc on a bien un effet de rotation ici qu'on n'a pas dans ce champ vectorielle là puisque regarde si on place une brindille temps ce fluide disons que c'est de l'eau ici bien la brindille va être emporté par l'eau dans cette direction là mais sans tourner donc dans ce deuxième exemple on a une intégrale curviligne positive et on dirait bien qu'on a une rotation qu'on a une rotation positive on a un effet de rotation positif ensuite que se passe-t-il dans l'exemple suivant et bien sur cette portion du chemin le chant vectorielle va dans la même direction que le chemin donc on va avoir des valeurs positives de notre produit scalaires ensuite quand on le monte le long de cette portion du chemin le chant vectorielle est toujours à peu près dans la même direction que le chemin donc on va encore avoir des valeurs positives toujours pareil en eau sur cette portion du chemin le chant vectorielle va dans la même direction que le chemin donc on a encore des valeurs positives et enfin quand on redescend sur cette portion du contour et bien le chant vectorielle va toujours dans la même direction que le chemin donc le produit scalaires de f par dr va encore prendre des valeurs positives donc dans cette situation l'intégrale curviligne du produit scalaires de f par dr est encore plus positive encore plus positive et alors rappelle toi on a dit que ce chant vectorielles et dans tout l'espace un donc c'est possible qu'il se passe des choses complètement différentes en dehors de la surface mais tout ce qui nous intéresse ici eh bien c'est ce qu'il se passe sur la surface et puisque le champ vectorielle tourner comme ça sur la surface eh bien il suit le contour de la surface et c'est pour ça qu'on a une intégrale curviligne encore plus positive et donc on dirait qu'on a plus de rotations par rapport à ici on dirait que on a plus de rotations et on dirait que plus de rotations amène à une intégrale curviligne encore plus positive ensuite on passe à l'exemple suivant quand on est en bas le champ vectorielle va dans la même direction que le chemin donc on a des valeurs positives du produit scalaires ensuite comme dans le premier cas quand on remonte le long du contour le champ vectorielles et perpendiculaires au chemin donc ça n'apporte rien à l'intégrale curviligne et ensuite quand on est en haut on a quelque chose d'un petit peu différente d'abord quand on va jusque là est bien le chant vectorielle va dans la direction opposée et du chemin donc ici c'est des valeurs négatives mais avant la fin de ce bout de chemin et bien le chant vectorielle change de direction donc on a un petit peu de valeurs positives à la fin la fin et enfin quand on descend et bien le chant vectorielles et orthogonale au chemin donc ici ça n'apporte rien non plus comme de l'autre côté à l'intégrale curviligne donc la différence entre cette situation et cette situation d'ailleurs on peut aussi comparer ces deux situations là mais la différence entre ces deux situations c'est qu'ici cette partie du champ vectorielle change de direction donc on a un petit peu de valeur positive ici donc on peut dire que l'intégrale curviligne dans ce cas là va être moins positive que celle là mais plus positive que celle là on peut aussi dire on peut aussi dire qu'on a un peu de rotation ici on a un peu de rotation le champ vectorielle change de direction c'est à dire si on place une brindille si on place une brindille ici en disant que c'est de l'eau et bien à cette brindille va pivoter puisque le champ vectorielle change de direction mais partout ailleurs on n'a pas beaucoup de rotations seulement dans une petite région de la surface alors qu'ici et bien on a une rotation sur une partie plus importante de la surface et on a dit qu une rotation plus positive entraîné une intégrale curviligne plus positive alors ici on à cet effet de rotation qui contiennent une plus petite partie de la surface on va donc avoir une intégrale que vim un petit peu moins positif que dans ce cas ici et dans ce champ vectorielle on voit qu'on a un effet de rotation ici si on dit qu'on a la vitesse de l'eau et qu'on place une brindille ici on voit que la brindille va pivoter ont pivoté sur elle même maintenant si on regarde un petit peu plus haut on voit que le chant vectorielle change à nouveau de direction il suffit donc on a un autre effet de rotation mais dans la direction opposée donc on peut peut-être imaginer que ces deux effets de rotation s'annulent et en effet c'est cohérent parce que tu regardes on dirait bien que l'intégrale curviligne sur ce chemin vous héros comme dans le premier exemple même si on a des effets de rotation il s'annulent et quand on est sur ce bout contours et bien le chant vectorielle va dans la même direction que quand on est sur cette partie du contour donc l'intégrale curviligne l'intégrale curviligne sur ce bout de chemin va être positive ensuite elle va falloir 0 quand on monte il va falloir 0 quand on monte ensuite quand on est sur cette partie du chemin est bien le chant vectorielle change de direction et va dans la direction opposée à celle du chemin donc là à l'intégrale curviligne va être négative sur cette portion du chemin et enfin quand on redescend l'intégrale curviligne vaut zéro donc on a la même chose que dans le premier cas parce que les effets de rotation s'annulent le champ vectorielle a changé de direction deux fois donc l'intégrale curviligne l'intégrale curviligne du produit scalaires de f par d'hier vaut probablement aussi 0 et si j'ai fait tout ça c'est pour te donner l'intuition de pourquoi est ce que quand on a un effet de rotation plus important sur la surface eh bien pourquoi est ce que dans ce cas on a une valeur plus importante de cette intégrale curve il est peut-être qu'avec ça ça tu as traversé l'esprit que que peut être cette intégrale curviligne sur ce chemin qui est le contour dans le sens contraire des aiguilles d'une montre de notre surface donc l'intégrale curviligne du produit scalaires de f par dr eh bien peut-être que ça c'est égal à la somme des effets de rotation sur la surface donc ça peut être égale à une intégrale l'intégrale de surface sur la surface des rotationnelle des rotationnelle de f des rotations l2f mais alors on ne s'intéresse pas à n importe quel rotationnelle de f parce que peut-être qu'on a des effets de rotation dans notre champ vectorielle en dehors de la surface 1 puisqu'on sait que notre champ de vecteurs n'est pas réduit simplement à la surface mais nous on s'occupe uniquement de ceux sur la surface un des effets de rotation sur la surface donc pour ça on va avoir le produit scalaires du rotationnelle de f par le vecteur normal unitaire n et on multiplie tout ça par la surface fois ds et ça ça nous permet de dire que plus on a défait de rotation plus la portion de la surface sur laquelle on a un effet de rotation est grande plus la valeur de notre intégral curviligne est grande et on a notamment vu ça quand on a comparé ces trois situations un rappel toi et on peut aussi écrire que ça c'est égal à l'intégrale de surface du rotationnelle du rotationnelle 2f qui est un vecteur qui nous indique comment est ce qu'on pivote 1 mais comme je les dis juste avant on veut seulement prendre en compte ces rotationnelle quand il concerne la surface pour ça ce qu'on peut aussi faire c'est prendre le produit scalaires du rotationnelle de f par ds donc si on fait la somme sur la surface de comment est-ce qu'on pivote sur cette surface eh bien peut-être je dis bien peut-être que ça nous donne la valeur de l'intégrale curviligne du contour de cette surface et je peux déjà annoncer mais même si je n'ai rien prouvé ici ça t'évitera une attente trop pénible et puis tu en as sans doute déjà une bonne intuition avec cet exercice ici que c'est en effet le cas et cette idée que ça c'est égal à ça et bien c'est le théorème c'est le théorème de stoxx c'est le théorème de stock ce qu on explorera dans les prochaines vidéos