Représentation vectorielle d'une intégrale de surface

dans la vidéo précédente on a vu comment construire un vecteur unitaire normale à une surface et on peut maintenant utiliser ça dans notre intégrale de surface en espérant que ça nous aide à simplifier sa au moins que ça nous donne un indice sur comment calculer ça et sur les différentes façons de représenter ces intégrales de surface alors on peut commencer par remplacer n par cette expression dans cette intégrale de surface donc ça c'est égal à l'intégrale de surface du produit scalaires 2f et de haine donc on remplace n par cette expression n'a donc le produit vectorielle nos dérivées partielles donc produit vectorielle de la dérivées partielles de r par rapport à hue et de la dérivées partielles de r par rapport à v sur la norme de ce même produit vectorielle sur la norme de ce produit vectorielle fois ds alors ds on a vu ça dans les vidéos précédentes ds c'est en fait la norme du produit vectorielle des dérivées partielles de notre fonction à valeur vectorielle de position fois des u dv alors là j'ai écrit des u dv mais on pourrait très bien écrire dvd eu ou encore des as avec à un petit morceau de l'air dans le plan ou uv ou encore dans le domaine de huê devait et maintenant qu'on intègre par rapport à huer avait et bien on a plus et si une intégrale de surface on n'a plus une intégrale de surface on a une intégrale double sur le domaine sur le domaine de hu et v alors tu as sans doute remarqué qu'on a une belle simplification ici un puisque on divise par la norme de ce produit vectorielles et on multiplie par la norme de ce produit vectorielle donc comme c'est un scalaire et bien on peut simplifier ça puisque ça revient au même que de multiplier ou 2 / 1 donc il nous reste on peut simplifier tout ça il nous reste donc l'intégrale double sur le domaine du plan aux uv du produit scalaires de f et de ce produit vectorielles et se produit vectorielle c'est un vecteur d'ailleurs on a vu dans la vidéo précédente que c'est un vecteur normal donc le produit scalaires 2f et de ce produit vectorielle puis on a des eu des v et on verra dans les prochaines vidéos que ça eh bien c'est en effet comme ça qu'on peut calculer ce type d'intégrale de surface quand on a la paramétrisation d'une surface on peut exprimer une intégrale de surface comme une intégrale double en termes de huê vais mais je peux aussi te présenter une autre façon d'exprimer une intégrale de surface est en fait ici il s'agit simplement il s'agit simplement d'exprimer cette partie d'une façon un petit peu différente et j'espère que ça te permettra de bien saisir ce que ça représente alors je verrai clear ce que ce que j'ai encadré en utilisant une notation un petit peu différente d'abord la dérivées partielles de r par rapport à eux c'est la dérive et partielle du vecteur airs par rapport à eu et on m'a le produit vectorielle de cette dérive est partielle et de la dérivées partielles de r par rapport à v et donc ça c'est la variation de notre fonction airs par rapport à une très petite variation du paramètre v pareil ici mais par rapport à us est une variation du vecteur de position par rapport à une très petite variation de u et on multiplie ça on multiplie sa part des u dv et des huées des v ce sont des scanners n'est ce pas ce sont de très petites quantités mais ce ne sont pas des vecteurs donc on peut les inclure dans notre produit vectorielle par exemple si on a si on a le produit vectorielle 2a et 2b x un scalaire par exemple ce cas là x et bien ça c'est égal à x fois le vecteur à le produit vectorielle 2x a et b ou encore c'est égal au produit vectorielle 2 à 1 et 2 x x b et avec la même idée on peut réécrire cette expression est ce qu'on va faire c'est qu'on va regrouper les termes qui concerne une ensemble et les termes qui concerne v ensemble donc on à la dérive et partielle des airs par rapport à une fois des huées et donc c'est le produit vectorielle de ça et de la dérivées partielles de r par rapport à v x dv donc ça c'est un vecteur et ça c'est un autre vecteur alors maintenant peut-être que ça et ça ça a l'air de deux notation différente mais en fait cette notation là et bien c'est juste pour indiquer la dérive et partiel c'est-à-dire on a une fonction de notre fonction air est une fonction de plusieurs variables et on la dérive par rapport à une seule variable ici et donc ça ça nous indique comment est-ce que notre vecteur varient quand on a une très petite variation de u mais ça aussi d u ici c'est la même chose c'est une variations infinitésimales de eu donc là et là c'est la même chose avec de notation un petit peu différente alors certes ce n'est pas très rigoureuse que je fais là hein mais au moins ça te donne l'intuition de pourquoi est-ce qu'on peut écrire cette intégrale de surface différemment donc on a dit que ça et ça c'est la même chose donc on peut simplifier sa et même chose ici à on divise par une quantité et on multiplie par cette même quantité donc ça s'annule et alors qu'est ce qui nous reste et bien il nous reste seulement ça alors est ce qu'on va faire comme on a perdu ce qui nous indiquait que c'est une variation de r dans la direction de u eh bien on va écrire indice une attention à ne pas confondre ça avec le r1 d'issue qu'on a ici ici c'est la dérive et partiel mais cette notation ici et bien c'est juste une différentiel sait de combien r varie dans la direction du ce n'est pas à la dérive et partielle de r par rapport à eu ici ici c'est la dérive et partielle des airs par rapport à us est en effet comment air varie par rapport à une très petite variation de u1 c'est le ratio de la variation de r par rapport à une variation de u mais ici c'est simplement une variation de r dans la direction de u et donc il nous reste le produit vectorielle de ça et même chose par rapport aves asselah différentiel air dans la direction devait alors on va essayer de visualiser ça on a une surface on a une surface et on a une très petite variation de r induite par une très petite variation de u alors attention hein je te rappelle ce n'est pas ici le taux de variation de r par rapport à u mais simplement la variation de r induite par une très petite variation de l'ue donc c'est une variation de air sur la surface et puis ça ici ça c'est une petite variation de r induite par une variation devait donc c'est aussi une petite variation de air sur la surface et quand on fait le produit vectorielle de ces deux vecteurs et bien on obtient un troisième vecteur donc quand on fait le produit vectorielle de ces deux vecteurs on obtient un troisième vecteur normale à la surface et sa norme et on a vu ça quand on a appris le produit vectorielles et bien c'est l'ère du parallélogramme construit sur ces deux vecteurs donc la norme de ce produit vectorielle la norme de ce produit vectorielle c'est égal à l'air c'est égal à l'ère du de ce petit parallélogramme et on peut aussi voir ça comme le vecteur normal unitaire froid ds parce que ça ça ce qu'on a ici c'est un petit peu comme ds si tu veux c'est la version vectorielle de ds et ds ici c'est une herse et un scalaire ici on a un vecteur normale à la surface et sa norme cds donc ce qu'on peut faire c'est appeler ça alors laissant un petit peu ce qu'on peut faire c'est appeler ça je vais l'appeler à la suite ici on peut appeler ça ds avec une flèche ici pour indiquer que c'est un vecteur et pour bien faire la différence avec l'autre vecteur qu'on a ici qui est une aire d'accord donc ce qui est encadré la se simplifient simplement en ds le vecteur ds et donc on peut aussi réécrire notre intégrale de surface donc l'intégrale de surface sur la surface ls du produit scalaires 2f et de alors au lieu d'avoir le vecteur normal unitaire fois ds ce petit morceau d'air de la surface on peut appeler ça le vecteur ds donc on peut appeler ça des ss comme ça donc ce sont deux choses différentes j'insiste ça c'est le vecteur c'est ce vecteur d'accord qu'on a appelée ds avec une flèche hockey et ça ça c'est un scalaire fois le vecteur normal unitaire et donc voilà ici et donc voilà ici trois façons différentes décrire ce type d'intégrale de surface et turtur les rencontrera dans différents contextes mais ces trois façons des différentes décrire la même intégrale de surface et c'est celle ci qu'on utilisera le plus quand on voudra résoudre ce type d'intégrale de surface