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Transcription de la vidéo

alors dans d'autres vidéos on avait vu comment le calcul intégral pouvait permettre de calculer l'air d'une surface d'une portion de plans compris sous une courbe donc ce qu'on avait fait en calculant l'intégrale d'une fonction là là on va revoir un petit peu ça rapidement de manière très intuitive un simplement pour revoir un petit peu l'idée l'idée qui est qui est derrière le calcul intégral alors je vais dessiner à graphique donc les a déjà dessiné mais axe voilà et puis là je vais dessiner une courbe la courbe de représentatif d'une fonction donc par exemple c'est ça fait comme ça et cette courbe last une coupe qui a une équation par exemple c y et ghallef de x ou ai fait une fonction donc ça veut dire que si on donne une valeur à x on peut calculer tout de suite l'image y 2x grâce à la fonction à l'expression de la fonction donc si on prend 1 x ici voilà je vais avoir le y correspondant l'image de ceux de ce x par la fonction f c'est ce point là y voilà alors ça c'est l'axé des abscisses je n'ai pas dit ça c'est l'ex des à petit c'est ça que c'est l'axé des ordonnées alors maintenant si je veux calculé l'air d'une portion de plans comprise sous cette sous cette courbe bon pour fixer les idées je vais je vais placer des bornes des bandes d'intégration ça va être ça donc j'ai cette valeur là à et cette valeur la baie et puis je vais essayé de calculer l'air aqi comprise sous cette sous cette courbe là sous la courbe de f entre les valeurs a et b donc en fait c'est toute cette partie là que je assurant en rouge voilà alors l'idée qui est derrière le calcul intégral c'est qu'on va découper 7 cette surface qui est là en fines lamelles alors si je dessine déjà une lamelle or là je vais me mettre en danseuse point la x je dessinais une lamelle en fait ce sera un petit rectangle c'est une bande une bande de cette surface là et en fait je vais pas exactement la dessiner je vais l'a dessiné par un je vais la remplacer par un rectangle donc ça va être quelque soit pas être exactement cette partie là qu'ils aient compris sous la courbe ça va être un peu plus grand ou un peu plus petit ya plusieurs manières de faire de prendre ces rectangles la voilà donc ça je vais le faire comme ça pour l'instant donc ici gx là du coup cette hauteur là bas c'est y cf 2x et je vais prendre un rectangle ici de cet os de largeur la javel à noter ici la recharge note dx voilà donc je peux facilement calculer ça c'est un rectangle je peux facilement calculer la surface l'air de ce rectangle c'est tout simplement l'air d'un rectangle c'est la base soit la hauteur donc ici la hauteur cf 2 x donc cf 2x et la largeur la base cdx donc ça c'est l'ère du rectangle que j'ai dessiné que j'ai coloriée en rose ici la voix là alors on va maintenant faire si on imagine avoir découpé la surface qui est ici en plusieurs autres là avec d'autres lamelles un an plusieurs bandes comme ça donc on aura une autre ici une autre ici voilà comme ça une autre ici une autre ici voilà et puis là fanara beaucoup donc là on va faire la somme de tous ces rectangles et on va obtenir quelque chose qui est proche de l'air de notre surface mais ça sera pas exactement ça parce qu'on a des petits bouts en moins des petits bouts en plus ici et là voilà donc en fait ce qu'on va imaginer maintenant c'est de prendre des lamelles de plus en plus fines donc de réduire de faire tendre 7 7 bat les bases de nos rectangle vert quelque chose de pratiquement nul donc en fait on va devoir ensuite faire une somme d'une infinité de lamelles de bandes de deux largeurs presque nul et c'est ça qui va donner l'intégrale donc là on voit là on va appeler ça l'intégrale de saab et de f2 xtx et ça c'est exactement mer ce sera exactement l'air de la surface de notre surface voit la surface que j'ai assuré en rouge alors voilà tout ça on l'avait vu dans les dents les la partie sur les intégrales défini c'était peut-être pas la peine que tu que tu revois ça parce que ça tu vas peut-être parfaitement compris si c'est pas le cas retourne voir ses vidéos sur les intégrales définit pas ce que cette idée là c'est celle qu'on va reprendre pour calculer maintenant le volume qu'ils aient compris sous une surface bon alors déjà on va commencer par essayer de bien comprendre ce que c'est qu'une surface alors là on a on est dans le cas où on a une courbe en fait cette courbe c'est l'image par une part la fonction f2 d'une partie de la droite des nombres réels d'une partie de l'ensemble des nombreux réel qui est cette droite là ont parfois c'est pas tout la droite en fait on part de l'ensemble des deux définitions de la fonction ce qu'on appelle l'ensemble de définition c'est en fait c'est l'ensemble des valeurs pour lesquelles on peut exécuter le calcul qui définit f donc en général cf très souvent c'est tout tout tout l'ensemble de nombreux réel parfois il faut enlever un point parfois on se restreint segment mais enfin bon on part 2 de l'ensemble des nombreux réel ça c'est le cas dans d'une dimension donc puisque c'est une ligne enfin l'ensemble des nombreux réel peut être représentée par une ligne donc on va ensuite agir sur cette ligne alors le cas de la surface elle le même cas mais en deux dimensions donc le domaine de définition lui des trains une droite une portion une partie de la droite ça va être une partie du plan ou bien le plan en entier donc en général au lieu d'écrire y égale f 2 x qui veut dire que à chaque point de la droite on associe une valeur y chaque point x on va associer une valeur y est bien là on va avoir le même genre de choses mais ça va être quelque chose qui va s'écrire comme ça ça aide c'est une fonction de d'un point du plan donc un point du plan ça 2 coordonnées x et y voilà donc on va donner cette fois ci les coordonnées d'un point et on va pouvoir calculer son image par la fonction s est en fait l'ensemble de des points de l'espace qui vont qui vont vérifier dont les coordonnées x y z vont vérifier ça ça va donner une surface alors on va aller regarder ce que c'est qu'une surface avec un logiciel qui tracent des surfaces beaucoup plus joliment que ce que je peux faire voilà alors l'âge et racines surface alors je te donne pas l'équation de cette surface c'est pas très important mais voilà c'est la celac 6 l'ex des abscisses l'ex désordonnée y est l' axe des cotes z voilà l'axé z donc c'est la hauteur en fait ici donc si on regarde vue de dessus on voit la projection de la surface sur le plan xy qui donne exactement le domaine de définition de la fonction f alors après je peux regarder bon c'est vraiment une cette ce domaine de définition transformé alors voilà on dirait une une feuille de papier un peuplier courbet voilà c'est assez joli à regarder on peut la retourner dans tous les sens voilà donc ça c'est un exemple de surface et c'est l'image de ce quart est du plan ici du plan x y ou par une certaine fonction qui a une équation je vais pas la donne et ça sert pas à grand chose et donc notre fonction en fait elles associées à chaque point donc si je prends un point du plan ici par exemple celui ci eh bien je vais pouvoir calculer l'image de ce point du plan par la fonction f qui va me donner un nombre z que j'ai placé sur l'axé code donc ça va me donner un point de cette surface par exemple si je prends ce point du plan ici eh bien je vais avoir son image qui va être là quelque part voilà c'est pas évident a placé mais ça va être un point de cette surface voilà alors maintenant je vais reprendre un peu ce qu'on a fait je vais essayer de détendre le raisonnement qu'on a fait dans notre calcul baer ici au calcul du volume compris sous une surface donc je vais déjà commencé par dessiner je vais pas pouvoir dessiner aussi bien qu'avec le logiciel mais bon je vais essayer de faire quelque chose donc là je vais dessiner mais séméac ce alors j'ai l'acsa celle axes des aides là je vais dessiner la kz2 y est l' axe des x voilà donc je vais leur donner les noms ce sera plus simple x y et z voilà donc la celle originaux là aussi c'était leur rideau voilà alors maintenant je vais dessiner une surface 1 du mieux que je peux c'est pas quelque chose de très joli voilà quelque chose comme ça voilà donc je peux là je suis un peu pourquoi voilà c'est une c'est une surface ça comme une feuille de papier qu'on aurait plié que situé au dessus de du plan horizontal elle a une équation qui est z égal fdx y voilà donc c'est exactement ça je prends un point du plan et je calcule la hauteur correspondante qui est l'image paref dupe de ce point du plan de coordonnées x y donc si je prends un point du plan par exemple celui ci l'a ici eh bien je vais pouvoir calculer sa hauteur qui sera l'image paref de ses coordonnées x y las de cette app 6 et 2,7 ordonnée et la hauteur ça sera ce point là voilà alors maintenant si je regarde ça par-dessus ce qu'on a fait tout à l'heure si je regarde ça vu de haut donc selon l'axé z je vais voir la projection de cette surface sur le plan x y est bon ça peut avoir une forme assez quelconque à ça dépend des cas là je vais prendre une forme assez simple en fait je vais supposer que c'est un rectangle ça va me donner en fait le domaine de définition et là je vais supposer que c'est un rectangle donc je vais tracé la projection j'ai tracé ce rectangle cette domaine de définition je vais dessiner ici voilà voilà donc là c'est le domaine des définitions de la fonction je le jure comme ça légèrement voilà alors je vais essayer de calcul et maintenant le volume de ce taux cette portion des spas 5 et la de cette forme solide qui hélas compris sous la surface alors pour faire sa ba je vais exactement prendre l'idée de qu'on a mis en oeuvre ici dans le calcul de l'air de cette surface d'abord je vais commencer par fixée je vais fixer par exemple y donc si je fixe une valeur de y par exemple ici voilà donc sur le domaine de définition ça veut dire que je vais sélectionner une ligne un segment de droite qui est celui ci puisque je fixe y mais je garde x variable et donc là en fait je peux regarder la portion de deux plans ça c'est un plancher je vais prendre le plan perpendiculaire au plan horizontal qui passe par sept les cette droite là donc je vais le dessiner ça va me donner en fait une une lamelle ça va me donner une lamelle voilà qu'est celle là voilà donc cette lamelle là je vais je vais la hachure et je peux calculer son air parce que finalement je me retrouve ici on peut le regard on le regarde dans cette vue dc1 donc selon l'acs six grecs on va on va se retrouver exactement dans cette situation là dans la situation qu'on connaît de l'intégrale en une dimension donc on va pouvoir calculer ça assez facilement quoi je peux rapidement rappelé comment je peux faire je vais fixer une valeur de x par exemple ici donc je vais le faire en bleu fixe une valeur de x ici là je vais tracer un rectangle je traçais un rectangle ll62 de base vraiment très très fine ce sera une bande très très fine donc de base pratiquement nulles et je vais calculer la leyre de ce rectangle dont claire de ce rectangle on sait que c'est f 2 x y puisque ça c'est la hauteur du rectangle c'est la hauteur de l'image de ce point qui est là ça ce point là à coordonnées x y donc son sa hauteur cf de xy et donc ça c'est bien la hauteur du rectangle que j'ai dessiné en bleu et je multiplie sa part la base qui est des x voilà alors si je fais ça alors j'ai pas donné je vais donner les valeurs qui sont les bornes du domaine de définition le domaine de définition ici c'est on va dire l'ensemble des points des points d'apsys comprise entre 0 et à et d'ordonner y comprise entre 0 et b voilà donc là aussi je veux additionner je me retrouve dans cette situation d'une suisse tu es additionner l'air de un très grand nombre de rectangles une infinité de rectangles de base pratiquement nul je vais faire ça pour les valeurs de x qui varie entre 0 et a donc ça va me donner cette intégrale là alors je vais garder la couleur orange comme ça donc c'est l'intégrale de zéro à a2 f2 xy il faut mettre une virgule dx c'est exactement en fait ça va me donner la chair de toute la surface ici que je vais assurément orange toute cette surface là c'est elle est donnée par cette intégrale voilà alors maintenant on va procéder exactement de la même manière mais qu'on va plutôt maintenant donner une épaisseur en fait on a cette lamelle là c'est vraiment une lamelle lamelles delà du solide du solide qui est compris sous la surface et on va lui donner une épaisseur à cette lamelle cette épaisseur là bas je vais l'appeler d y puisque c'est une petite variation des y donc je vais maintenant épaissir malam l on lui donnant cette heure en lui donnant une une largeur vraiment me infinitésimale mais quand même une largeur que j'appelle des y donc ça va me donner une lamelle un peu épaissie comme ça je la dessine et si j'imagine ce d y vraiment très très petit et bien finalement je vais pouvoir calculer le volume de cette lamelle là le volume de cette lamelle ça va être tout simplement l'air de la base x la hauteur donc je vais pouvoir de dire que c'est l'ère de la base fois la hauteur donc la base c'est la surface orange fois la hauteur qui est d y voilà donc là en fait j'ai calculé le volume de cette fine lamelle que j'ai dessiné avec enfin la phase est hachurée en orange et l'épaisseur est assurée en violet voilà alors maintenant exactement comme ce qu'on fait ici quand on additionne une infinité de fines de très très fine bande de bande de largeur pratiquement nul et bien ici on va additionner une infinité de ces lamelles d'épaisseur pratiquement nulle et en fait quand on fait ça on va le faire pour toutes les valeurs de y qui varie entre 0 et b donc on fait l'intégrale 2-0 ab de ce volume là donc ce qui correspond à faire une somme d'une infinité de tout petits volumes tout petit élément de volume voilà essabah ça nous donne exactement le volume qu on cherche le volume de tout le solide qui est compris sous notre surface voilà bon c'est on va s'arrêter là je ne voulais pas j'espère que j'ai prêté trop confus là dedans c'est pas du tout une discussion rigoureuse mais je voulais te donner une intuition un petit peu de ce qu'est ce 2 comment est ce qu'on faisait un calcul de volume et donc comment est-ce qu'on calcule et nacrées dans une intégrale double c'est ce qu'on appelle ici une intégrale double et tu vas voir en fait que on va on va préciser ça dans les prochaines vidéos et tu vas voir en fait que c'est assez facile de calculer des volumes avec cette technique des doubles intégral