Intégrales doubles 2

bonjour si tu as vu la vidéo précédente je pense que maintenant tu as une certaine intuition de ce que c'est qu'une double intégral et de la manière dont on peut calculer un volume compris sous une surface alors là on va le faire avec une fonction précise qu'une surface précise comme ça ce sera sûrement un peu plus concret alors je vais prendre une surface dans un espace à trois dimensions donc donc cette surface ça doit être présentée par l'équation z égale x/y au carré donc ça veut dire que c'est la cette surface et l'ensemble des points de coordonnées x y z des points de l'espace qui vérifie cette équation mollahs donc si on prend un point du plan de coordonnées xy sa hauteur ça sera z voilà alors bon set fonctionner les définitions domaine de définition et c'est tout le plan mais là on va se restreindre à une partie plus petite du plan pour pouvoir calculer un volume sous cette surface alors je vais prendre pour comme ça je vais prendre un domaine qui sera un domaine de définition qui sera l'ensemble des points du plan xy tels que x est compris entre 0 et 2 et y conte sera compris entre 0 et 1 voilà donc ça c'est un rectangle ça c'est y pardon qui y compris entre 0 et 1 donc on va avoir un rectangle sur le plan horizontal dans l'espace à trois dimensions de plans xy et on va regarder l'image de ce domaine de définition qui sera une surface dans l'espace à trois dimensions alors là je les prépare et on va la regarder avec un logiciel cette surface voilà alors ça c'est la gelée j'ai tracé c'est cette surface l'adéquation z égale xy au carré donc on a ici le plan ça c'est le plan xy donc en fait là ça c'est l'ex dx ça ici celui qui est derrière ces l'accès y l'échelle est reportée de ce côté là parce que c'est plus facile à voir donc ça c'est l'accès y est puis lax des aides c'est celui là l'axé vertical l'échelle de la même manière et reporter ici et donc on voit bien que x c'est exactement ce qu'on voulait x varie de 0 à 2 6 6 0 5x égal 1 x égale 1.5 et xc gâte 2 et puis y varie de 0 à 1 25 050 75 et et puis du coup z ben ça on n'a pas défini nous puisque nous ce qu'on voulait c'est la sas le rectangle je vais le regarder je vais tourner voilà je regarde à l'envers je vais faire comme ça voilà ce qui est dessiné en couleur là c'est le rectangle duquel on parle donc c'est le domaine de définition et donc on calcule son image l'image de ce domaine des définitions par la fonction et ça nous donne ça voilà cette surface là alors ce qu'on va faire ce qu'on se propose de faire là c'est de calculer le volume qui est compris entre autres le plan horizontal donc le plan xy ici d'équations z égal 0 1 le planquer altitude nul et puis la surface donc on peu ce qu'on peut la regarder dans tous les sens donc c'est toute cette partie là qu'on va calculer tout le volume qu'ils aient compris sous 7 cette feuille de papier un sou de cette surface donc là ça c'est le dessus voilà on va regarder tout ce qui est dessous on va la regarder attentivement voilà donc doit calculer le volume de toute cette partie de l'espace voilà alors on va revenir sur notre calme un travail alors je vais essayer de tracer notre volume ne sera pas aussi jolie que ce qu'on a vu de ce qu'on vient de voir mais bon c'est quand même pas inutile d'apprendre un tracé c'est ces surfaces alors là je dessine mais axa c'est là que des icsa selex dz et là je vais dessiner lax d y voilà alors maintenant je vais placer donc ça c'est x c'est l'ex dx à celle axes d y est ça c'est l' axe d edge et le prolonger un petit peu voilà ça c'est la kz des z alors on avait dit qu'on se restreignaient à ce domaine là donc ça je vais le noter tué le tracé envers donc ici je veux dire que sa c2 et ça sur l'accès des heures d y ça c'est un donc on va tracer on va s'occuper de ce rectangle qui est l'art je vais le tracé rectangle voilà voilà donc ça c'est notre domaine de définition maintenant je vais essayer de tracer lac où la surface au dessus de ce domaine de définition donc déjà ce que je peux placer c'est le point l'image de ceux de ce coin là qui était le point le plus au delà de la surface et on va le mettre ici donc ensuite là on a notre notre rectangle qui et qui fait quelque chose comme ça donc je vais il faut que j'aie jusqu'en haut voilà et puis là ça descend pratiquement en ligne droite si je me souviens bien bon là ça c'est le dessus et je vais essayer de le rassurer donc se mettre en jaune ce qui est le dessus delà de la surface voilà cette partie là c'est le dessus et puis en dessous ça fait quelque chose comme ça voilà donc je vais agir et maintenant le dessous c'est tout ça en toute cette partie là voilà c'est le dessous de la surface ah bon c'est vrai que quand on voit les surfaces dessiné par le logiciel on se dit que c'est pas besoin de les faire à la main enfin c'est quand même un très bon exercice donc je te conseille quand même de de continuer à dessiner les choses à la main ça t'aidera à visualiser les surfaces alors on va quand même rejeté un coup d'oeil à l'image du logiciel pour toi tu sûr que de bien comprendre ce que c'est alors voilà je vais essayer de me mettre à peu près comme je lé fais sur mon dessin voilà voilà à peu près comme ça donc là ici inquiets pas décidé c'est l'ex des aides l'ag l'ex dx et l'ajax des idées y donc j'avais effectivement là l'image du coin gauche donc ça c'est le dessous 1 et puis ici j'ai pas une ligne droite comme ça comme je lé fais effectivement et la voilà bon on fait on se rend compte un sais c'est que c'est le dessin est pas aussi jolie que ça mais ça va c'est quand même à peu près fidèle à ce que c'est alors je reviens sur le dessin alors je pourrais te donner directement les techniques de calcul pour calculer le volume de 7 de ce solide la de cette partie de l'espace mais bon je trouve que c'est quand même vraiment bien insisté sur le côté intuitif de la méthode alors je vais reprendre un peu la même je la même chose que ce qu'on a vu dans la vidéo précédente en fait je vais commencer par fixée une valeur de y donc je fixe cette valeur de y ici et je vais regarder l'image de ce segment ce segment là à y font fixée en fait ça revient à trouver une à prendre une lamelle du solide 1 donc si je fixe la valeur de y je trouve une lamelle du solide donc je vais me mettre en fait je vais là dessus elle a dessiné cette lamelle donc ça va être quelque chose comme ça et puis là voilà on va dire ça quelque chose comme ça on va se retrouver à devoir calculer l'air de cette surface là par exemple alors pour calculer l'air de cette surface là mais je vais faire comme je fais d'habitude c'est à dire que je vais me mettre sur la xi si un axe dx je vais prendre une valeur de x ici et je vais je vais tracer un rectangle un rectangle comme ça de base dx de base des x ça c'est exactement ce qu'on a fait dans les autres dans la vidéo précédente donc si je veux calculé l'air de ce rectangle bas c'est tout simplement f2 xy c'est cette hauteur là à cette hauteur là c'est la hauteur de l'image de ce point du plan l'image ce point du plan et la coordonnées x y ce sont ni son image ces aides cf de xy donc c'est ce qui est donné par c'était cette expression là donc là cette hauteur là en fait c'est xy au carré donc si je veux l'air de rectangles c'est xy au carré fois la base qui est des x donc là j'ai l'air de ce rectangle alors maintenant comme dans la vidéo précédente je vais imaginer de prendre des rectangles de base vraiment pratiquement nulles et d'additionner tous les rectangles et ça va me donner l'air l'air coût total sous la courbe ici sous la courbe bleue donc quand je fais ça en fait je cette somme de tous ces rectangles c'est ce que je fais en faisant l'intégrale je vais le faire en bleu sera plus facile plus visuel donc je fais l'intégrale 2 0x varie de 0 à 2 donc ici je fais l'intégrale de 0 à 2 2x y dx et ça me donne l'air de cette surface ici qu'ils aient compris sous la courbe voilà alors maintenant je vais continuer le même raisonnement on me mettant maintenant en main en regardant ce qui se passe quand je fais variés y jusqu'à maintenant j'ai fixé y est j'ai fait varier x maintenant je vais regarder en fait ce qui se passe quand je fais le contraire c'est à dire je fais variés y donc là je vais épaissir malam elle alors je veux lui donner une petite épaisseur voilà c'était paix soeur là ça va être des y donc je donne une épaisseur à lamelles j'obtiens un volume un fait donc je vais pouvoir calculer le volume de cette lamelle simplement en multipliant par des y voilà alors maintenant je vais faire une somme je veux imaginer que ces volumes sont ces lamelles sont extrêmement fine un pratiquement du d'épaisseur pratiquement nulles et je vais les additionner une infinité je vais les additionner et pour faire ça je vais faire une intégrale pour y qui varie de 0 à 1 parce que ici dans notre domaine y varie de 0 à donc je fais l'intégrale pour y qui varie de 0 à voile à bosser c'est le dessin est pas très très facile à visualiser mais si tu si tu es pas convaincu par cette cette intuition de la méthode regarde la vidéo précédente parce que c'était un peu plus facile à avoir bon alors maintenant il faut quand même qu'on arrive à calculer ce volume ça ça ça c'est le volume v notre volume pour cherche à calculer maintenant il faut qu'on le calcul effectivement quand est ce qu'on va trouver une valeur de ce volume mais en fait on va fonctionner on va partir de l'intérieur et aller vers l'extérieur donc on va commencer par calcul et 7 7 intégrale la l'intégrale de 0 à 2 2x et je vais l'écrire ici l'intégrale de 0 à 2 2x y au carré fois dx est en fait ça on va le faire en exactement comme quand on dérive une fonction de plusieurs variables sur la dérive par rapport à x en fait on considère les autres variables comme constante ici c'est pareil on va intégrer cette fonction-là en considérant que y est une constante donc j'ai pas tu peux imaginer que y est égal à 5 par exemple et du coup ça tu vas tu vas pouvoir sortir la constante ça veut dire que ça c'est l'intégrale de 0 à 2 2x dx voilà sauter on l'a déjà fait dans les autres vidéos et maintenant bas c'est assez facile il suffit de trouver la primitive de la fonction xy et gallix et puis de calculer la différence de ses valeurs entre les deux bornes donc ça en fait je l'écris c'est y au carré fois alors la primitive du ixe et xe au carré sur deux qu'on ne combat évalué entre 0 et 2 voilà donc maintenant je peux réécrire mon volume alors je vais le faire comme ça le volume bas c'est l'intégrale de 0 à 1 de ce que je viens d'écrire ici y au carré x x au carré sur 2 contre 0 et deux fois d y voilà alors j'aurais pu aller un peu plus loin dans ce calcul là un sas et alors ils gates au carré sur deux quand je le cantique c'est égal à deux ça fait deux carrés sur deux ça fait 4 sur deux ça fait deux et puis quand hicks est égal à zéro x o car est sur deux ça fait zéro donc finalement cette parents'' est cet élément la c2 donc cette intégrale ces deux y au carré donc voilà finalement mon volume ben c'est tout simplement l'or je vais continuer le calcul ici c2c l'intégrale de 0 à 1 2-2 y au carré fois d y est j'aurais pu respecter les couleurs le 2 c'est cette cet élément là voilà bien là on a pratiquement terminé parce qu'on est ramené au cas d'une intégrale défini en une seule variable une intégrale simple définit donc quelque chose qu'on sait faire la prévision de y au carré c'est y occupe divisée par 3 donc la primitive de deux y au carré ces deux y au cube divisé par trois et ça je dois le calcul est entre 0 et 1 voilà alors quand y est égal à zéro ça va faire zéro et quand y est égal à 1,2 y occupe ça va faire 2 / 3 donc finalement le volume est égale à deux tiers 2/3 bon ceux celles mesurées en unité de volume ça dépend des unités conques ont choisi en tout cas ce soir c'est donc deux thielles volume c'est donc deux tiers unité de volume alors j'aurai juste revenir un petit peu sur ce passage là parce que quand on a calculé cette intégrale là en fait on arrive avec une fonction de y est c'est tout à fait normal puisque on a au fixe quand on fixe y on obtient une surface mais cette surface est celle que j'avais assuré en bleu dans le dessin ici cette surface en fait elle dépend de la valeur de y donc c'est exactement ce que dit ce résultat ici l'air de la surface en bleu c'est l'intégrale de 0 à 2 2x y dx est en fait c'est une fonction de y puisque ça dépend de la valeur qu'on choisit pour y bah voilà la de la technique pour calculer un volume 1 donc tu vois ya vraiment rien de nouveau par rapport à ce qu'on a fait avec le calcul d'une surface d'un d'une intégrale simple il suffit vraiment de risque d'être attentif et de bien considérer constante les vallées variable qui doivent l'être et puis de bien les considérer variable quand elles sont quand quand c'est le bon moment voilà c'est vraiment la clé parce que sinon il n'y a rien de nouveau et du coup rien de particulièrement difficile voilà toute façon on continuera à travailler là dessus dans les prochaines vidéos