Intégrales doubles 4

bonjour alors dans cette vidéo je voulais reprendre le question du la mesure d'un volume d'un volume compris sous une surface mais en le voyant un petit peu différemment parce que là la manière dont on l'a vu dans les dents les dernières vidéos dans les vidéos précédentes c'est celle que je trouve la plus intuitivement la plus claire mais en même temps je suis certain enfin je suis convaincu que c'est très important d'avoir plusieurs façons de voir un même problème donc voilà je vais essayer d'autres mots je vais te montrer une autre manière de calculer à volume c'est pas alors cette nouvelle manière là cette manière que je vais te montrer aujourd'hui c'est parfois comme ça qu'on introduit la double intégration mais voilà bon fois toute façon tu vas peut-être trouvé que ça revient exactement au même tu as peut-être te dire que c'est exactement la même chose mais bon je je je pense que c'est vraiment c'est vraiment une bonne chose de pouvoir voir les choses de deux manières différentes de plusieurs manières différentes alors là ce que je vais faire c'est que je vais j'ai dessiné ce set ce dessin donc c'est une surface là en jaune surface dans un espace à trois dimensions et puis en verre en bas j'ai représenté son domaine de définition voilà donc ce qu'on va faire c'est essayer de calculer comme d'habitude le volume qu'ils aient compris sous cette courbe sous cette surface pardon et au dessus de ce rectangle qui est domaine de définition donc là je pense que tu avais tu dois être habitué maintenant à visualiser ses volumes en trois dimensions donc c'est en fait la partie de l'espace qui est comprise entre les pointillés bleus ici les quatre pointillés bleus verticaux et puis la surface jaune et le rectangle vert voilà alors bon petit rappel si je me mets ici là j'ai un point par exemple de coordonner xy sur ce domaine de définition donc xy et puis d'altitude 0 je vais calculé sont son image donc sa hauteur ça va être ce point de la surface voilà donc ça c'est le point sept longueurs là en fait cette hauteur là cf 2 x y si la surface ici représentée par l'équation z égale f 2 x y voilà donc cette hauteur là que j'ai dessiné en violet là que j'ai représenté en pointillés violets violet belvaux f2 xy c'est l'image l'image de de ce point ci par la fonction alors maintenant ce que je vais faire c'est que au lieu d'intégrer d'abord selon x et puis après selon y je vais considérer à partir de ce point là par exemple je vais considérer un tout petit élément de surface donc je peux considérer par exemple un élément de surface rectangulaire donc un petit rectangle à partir de là voilà sur le plan xy le plan de l'horizontale donc cette cette dimension là eh ben c'est une petite variation des y donc si je vais l'appeler d y et puis il s'est tu cette dimension là c'est une petite variation des x puisque c'est selon l'acs 6 donc je l'appelle dx voilà alors 7,7 petit rectangle là c'est un second disque que je vais appeler un élément de surface mais je peux l'appeler ds voilà je l'appelle ds un petit élément de surface infinitésimale et je peux même calculer sa surface puisque la surface c'est la base fois la hauteur donc le produit des deux dimensions donc cdx fois d y voilà bien des grecs faut des x puisque cette multiplication là est parfaitement commutative voilà alors ce que je vais faire maintenant c'est que je vais calculer le volume du solide qui est compris entre la surface jaune est au dessus de ce petit rectangle de cet élément de surface que je viens de le décider ici alors en fait je vais essayer de représenter je vais représenter son volume 7 que ça me donne une colonne j'ai une colonne au dessus de ceux de l'élément de surface ds donc je vais le dessiner voilà c'est cette colonne que je dessine en rose voilà donc je la dessine est comme ça et je peux je peux calculer facilement le volume de cette colonne donc c'est ça c'est le haut c'est un parallélépipède donc je peux calculer le volume de ça c'est un élément de volume je vais l'appeler dv et bien cet élément de volume son volume jeu peut le calculer c'est la hauteur donc la hauteur cf de xy fois la base donc je l'écrivais de plusieurs manières c'est d'abord f2 x/y fois la base qui est ds le petit élément de surface je peux aussi aussi l'écrire comme ça des vcf ii xy fois je peux remplacer ds par sa valeur des cds x fois des y et puis comme cette multiplication et commutative peut aussi l'écrire comme sahin dv ce petit volume la cf 2 x y fois d y x dx voilà alors ça c'est trois manières d'écrire équivalente un décrire le volume de cette colonne qui est là au dessus au dessus du petit élément de surface que j'ai dessiné et en dessous de la surface de la surface jaune et puis en fait quand on voit bien que ça maintenant tu dois commencer à être familiarisé avec cette idée là quand tu prends tout petit élément de surface donc vraiment me infinitésimale donc quand tu fais tendre cet élément de surface vers zéro donc quand tu fais tendre les dimensions d y ait des x vers zéro en les rendant infinitésimale et bien en fait cette cet élément ce parallélépipède cet élément de volume va tendre vers le volume compris sous la surface jaune au dessus de ce petit élément de surface donc voilà on va avoir une excellente approximations à ce point là donc en fait ce qu'on va faire après c'est additionner tous ces éléments de volume pour c'est vers ça il ya plusieurs façons de faire alors la première c'est on va on va essayer de les additionner en fait selon les xo alors en fait si on additionne dans dans la longueur des x dans le sens des x en fait comme si on imaginait de deux de fer des lames ldd de lamelles un peu épaissie donc on aurait un rectangle une surface ici une surface là une surface à une surface là on additionnerait comme ça le long le nom de lac 6 donc en fait on ferait une somme le long de l'axé x donc une somme à une intégration selon x1 alors pour faire ça on va pouvoir prendre cette expression là par exemple c'est peut-être là l'ami la plus appropriée parce que je vais le faire en jaune cette fois ci si je prends celle-là cette expression là bas je vais avoir d'abord la variable d'intégration en premier donc ça sera plus clair je pourrais prendre celle là aussi un ce serait tout aussi tout à fait correct aussi mais simplement bon c'est moins clair parce qu'on a c'est comme c'est l'ordre dans lequel on intègre et quand même moins clair ici ici quand on regarde cette expression là on peut imaginer que ça peut nous faire comprendre que d'abord en intègre en intègre selon x et après selon y donc je vais prendre cette expression là et ça me donne alors j'intègre je fais une somme de tous ces règles de tous ces colonnes selon l'aqsiq ce donc j'intègre pour les valeurs entre les bornes alors x varie de a à b donc je vais écrire ça comme ça j'intègre pour x qui va de a jusqu à b cette expression là donc je vais l'écrire comme ça f x y x dx et puis d y pas de double il eu des grecs voilà ça ça va me donner j'ai fait exprès de se garder ce code couleur parce que ça c'est mon intégration par rapport à x a en fait ça me donne l'a77 lamelles la lamelle épaissi dans le sens des x donc une partie de ce volume une tranche de ceux de ce volume un peu épaisses comme ça dans ce sens là voilà alors maintenant ce que je peux faire c'est intégré selon selon y c'est à dire que l'ag gcc lamelles comme ça ces lamelles comme ça là c'est étrange je vais pouvoir les additionner le long d'aidé y parce que ici j'ai une lamelle qui commence là j'en ai une autre ici j'en ai une autre l'arbre la journée une infinité comme ça donc je vais les additionner donc ça ça revient à faire une intégration donc je vais intégrer alors là c'est y la variable d'intégration alors je l'avais gardé le rose donc c'est la variable d'intégration ça y est je vais intégrer entre y qui varie de sead est donc entre y égale c est y égal des voix là et là on retrouve l'expression qu'on avait déjà vu en double intégral et quand on effectue cette intégrale à bien on obtient la valeur du volume de cette compris sous cette surface jaune alors on aurait pu faire ça différemment puisque là ce qu'on a fait c'est qu'on est parti de cet élément de surface et on les a additionné dans le dans la direction des x donc en fait on aurait pu on a déjà fait on a déjà vu cette distinction là dans les autres vidéos mais on aurait pu partir de cet élément est additionné plutôt dans l'autre sens c'est à dire additionnez dans ce sens a donc créé en fait un voeu additionner ses colonnes comme ça c'est parallélépipède dans le sens de y donc un faire une intégration d'abord par rapport à y donc dans ce cas là on aurait pris cette expression là un autre aurait pu était tout à fait valable aussi mais celle là était plus pratique parce qu'on voit que là on à l'intégration la variable d'intégration qui y en premier donc dans ce cas là on aurait intégré d'abord cette expression là par rapport à y est y varie entre cd donc on aurait eu l'intégrale de y qui va de ses jusqu'à d2f 2 x y f2 xy des y et puis le dx qu'il faut pas oublier et là on aurait obtenu du coup un une tranche de ce volume dans le parallèle à laax d y ait ensuite on aurait pu l'additionner ces tranches de volume infinitésimale dans le sens d y donc une tranche là une tranche là une tranche là une tranche la tranche la ainsi de suite une infinité de tranche et ça ça revient à faire une intégration ou la variable d'intégration ça sera cette fois-ci x donc ça ferait une intégrale pour x qui va de a jusqu à bdx qui va de a jusqu'à baie de cette valeur là est la variable d'intégration ici cdx et on obtient 7 cette expression là et on a vu que ça c'était exactement la même on avait déjà vu ça et là c'est cohérente puisque ces deux manières de faire doivent donner le même volume 1 la mesure du même volume alors il ya une autre façon d'écrire sahin qui on retrouve très souvent dans les dents les lui de physique surtout bon moi c'est pas à quelque chose que je je trouve que c'est quand même important de retenir plutôt ses expressions là en fait ce qu'on voit souvent dans les livres de physique c'est qu'on part de cet élément ds ici voilà est en fait ce qu'on fait c'est une intégrale sur tout le domaine puisque le domaine c'est un domaine en deux dimensions ici donc on fait effectivement une intégration dans une direction et puis une intégration dans l'autre direction ce qui revient à faire une intégration sur tout le domaine de définition de la fonction donc c'est ce qu'on retrouve est très souvent écrit comme ça dans l'élite dans les livres de physique ont fait une double intégral sur le domaine des sas et le dôme jeu j'appelle le domaine de définition comme ça donc ça ça veut dire que comme c'est une double intégral sur ce domaine c'est à dire que ce domaine est un domaine deux dimanches ensemble dehors à deux dimensions et ensuite on intègre sa donc la fonction f2 xy par rapport à l'élément de surface ds ce qui veut dire que ont fait en fait une somme effectivement c'est ce que j'avais ça revient à utiliser cette formule là hein l'élément de volume c'est f de xy fois ds est en fait quand on intègre ce volume surtout on fait une somme de tous ces volumes sur le domaine et bien on obtient cette expression là alors c'est une expression qui est un peu trompeuse se trouvent parce que elle a l'air très beaucoup plus simple comme ça beaucoup plus simple que celle ci mais elle elle est un inconvénient pour moi c'est que elle et elle montre - comment est-ce qu'on va calculer effectivement l'intégrale moi je trouve que c'est quand même une bonne chose d'avoir une expression qui que non seulement on comprend mais qui en plus permet de calculer effectivement ce qu'on cherche à calculer alors voilà je tenais à te montrer quand même cette manière d'écrire qu'on retrouve tu vas sûrement la retrouver très souvent elle est pratique quand on doit pas calculer mais quand on doit calculer en fait ça laisse un peu d'ambiguïté en fait cette formule là elle revient elle vient de cette expression ici qu'on m'a la selle la ds égale des x fois d y ou des grecs fois dx c'est ça qu'on pourrait remplacer et là on retrouve on se rapproche de ses expressions là alors il ya quelque chose que je trouve un peu ambigu là dedans quand on va calculer c'est que quand on a procédé de cette manière là où de cette manière là on a été très ordonnée dans notre manière d'ajouter nos éléments de volume d'ajouter les colonnes ces colonnes de volume parce que là quand on a fait quand on a établi cette expression là on ad'abord additionner les éléments les colonnes dans ce sens là donc dans la direction des x et puis ensuite on a additionné les les tranches obtenu comme ça dans la direction d y est dans la seconde manière dont on a fait dans le sens inverse mais c'était là aussi une manière ordonnée d'aller additionner tous ces éléments de volume alors que quand on écrit comme ça est feinte double intégral sur le domaine des deux f de xy ds et bien on laisse un peu d'un big 8 d'ambiguïté sur comment est-ce qu'on va effectivement faire cette somme de tous ces éléments de volume voilà alors la raison pour laquelle les physiciens utilise beaucoup cette notation c'est que parfois ils n'ont pas nécessairement des coordonnées cartésienne donc quand on parle d'un domaine on va s'affranchir de la question de comment est-ce qu'on leur présentait ce que c'est ce qu'on utilise des coordonnées cartésienne des coordonnées pop polaire ou d'autres coordonnées donc voilà c'est quelque chose qui est plus plus générale effectivement et puis de la même manière parfois on va faire cette double intégrale non pas sur un domaine rectangulaire comme ça mais sur une surface quelconque donc ce moment là on écrira ça comme ça double intégral sur aezs la surface s de f2 xy ds voilà enfin on va s'arrêter là donc ce qui est important c'est de d'avoir en tête ces trois manière de décrire une double intégral et puis surtout je pense que c'est ce qu'on vient de voir ici ça te donne une autre encore une autre manière intuitive de comprendre comment est-ce qu'on calcule des zélés des volumes et donc de comprendre cette double intégral