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Intégrales doubles 6

On détermine l'intégrale double avec y=x^2 pour l'un des contours du domaine de définition. Créé par Sal Khan.

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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Didier Blaizeau
    Exercice Intégrales doubles 6 : la surface Z=xy² ne me semble pas bien tracée. En effet les points (000), (100) et (010) n'appartiennent pas à la surface sur la figure proposée.
    (1 vote)
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Transcription de la vidéo

rebonjour alors on va reprendre les choses là où on les avait laissé la dernière fois donc on avait réussi à on avait essayé de calculer le volume qui est dessiné ici et donc on avait réussi à trouver cette cette expression là cette double intégral qui donne le volume donc maintenant il faut qu on la calcule alors je vais monter un petit peu donc ici on va commencer par intégrer ce par rapport à x1 on va intégrer déjà cette expression là par rapport à x en fait c'est parce qu'on avait commencé par faire une somme de 2 petites de colonne selon l'aqsiq c'est comme ça et ensuite on avait additionné les éléments les lamelles de volumes qu'on avait selon l'aqsiq grecque comme ça en fait au départ on a fixé y est on additionne on peut le voir ici c'est plus simple peut-être on additionne tout c'est tout les colonnes au dessus de ses surfaces qui sont ici de ces petits carrés qui sont là et ça nous donne cette expression qu'elle a et puis ensuite eh bien on a fait une somme de toutes ces lamelles selon l' axe y donc on a intégré dans ce sens là selon l' axe y voilà alors bon on va commencer par calculé l'intérieur qui est ici un donc je vais remonter un petit peu donc ça c'est mon volume v que je vais essayer d'évaluer maintenant donc je vais me mettre ici alors le volume donc je vais réécrire sa l'intégrale de y égalisé pour y qui va de 0 à 1 grecque égal zéro à et eric égal à 1 et puis ici alors là en fait je vais calculé l'intégrale entre ces deux valeurs de la fonction xy au carré par rapport à x donc je vais considérer que y est constant il sut donc il faut que je calcule une primitive en fait 2 x et ensuite la multiplierait par y au carré donc la primitive de xc x o car est divisé par deux donc la primitive de x x y au carré cx au carré divisé par deux fois y au carré que je dois évaluer entre ces deux valeurs là donc ça je peux l'écrire comme ça ça me donne l'inde la primitive donc on a dit que c'était x au carré sur 2 x y au carré que je dois évaluer entre eux alors les valeurs x égale racines de y puis x égal 1 et ensuite j'ai mon d y voilà ça donc ce que j'ai calculé en jaune ici c'est cette partie là cette partie là voilà alors je peux calculer ça maintenant donc je vais le faire ça me donne alors je réécris mon signe d'intégrale pour y qui va de 0 1 et à l'intérieur alors quand hicks est égal à 1 l'obtient au carré sur deux fois y au quart est donc j'obtiens alors j'ouvre une parenthèse y au carré divisé par deux - la valeur de cette primitive en racines de y pour x égal à racine des grecs alors quand je remplace x par racine de y donc j'ai des racines de y au carré ça me donne y ait ensuite j'ai donc y faut y aux caresses qui donne y au cube divisé par deux donc finalement j'obtiens ça y occupe divisé par deux voilà et là je vais monde et y qu'il faut pas oublier donc cette parenthèse là c'est cette intégrale qui est là voilà mais bon là on voit que ça se tient tout ça c'est assez cohérent parce qu'en fait quand je fais cette intégrale lab comme j'ai un y ici je vais de toute façon terminé avec un y donc que mes bornes contiennent un y ce n'est pas gênant ça complique absolument pas le calcul alors maintenant je vais calculer cette intégrale à ça c'est une intégrale défini en une dimension donc j'ai une fonction d y il faut que je trouve cette prime d'après mythique de cette fonction de y alors là je peux déjà calculé la primitive alors je vais reprendre le vert la primitive de y aux caresses et y au cube sur trois donc il faut que je prenne la moitié des grecs occupe sur trois ce qui me donne y au cube sur six y occupe sur six as et la primitive de y au carré sur deux - la primitive de y au carré y occupe pardon sur deux alors la primitive de les grecs au cube c'est y puissance quatre sur quatre et là je prends la moitié donc je vais avoir y puissance 4 sur huit voilà et donc ça je doit l'évaluer je dois l'évalué entre les valeurs y égal zéro et y égale donc ça c'est finalement l'expression que j'obtiens de bons volumes alors maintenant je vais pouvoir le calcul est effectivement alors quand je remplace y par un ici j' y occupe donc ça fait 1 au cube sur six a fait un 6e - alors ici ça fait 1 puissance 4 donc un sur huit donc j'ai un 6e - 1 8e voilà et puis quand je remplace y par 0 ces deux quantités là sont nuls donc finalement ça c'est la valeur de mon volume exprimés en unités de volumes bien sûr alors je vais quand même exprimé cette cette différence de fractions sous forme d'une seule fraction donc le dénominateur ce je vais prendre ça va être 24 donc là il faut multiplier par 4 donc ces 4 - ici trois donc 4 - 3 sur votre 4 c'est à dire 1 24e voilà donc c'est quand même pas mal parce que on arrive à calculer le volume d'un insolite de ce genre là qui est quand même assez compliqué et le résultat c'est que en fait quand on l'exprimé en unité de volume bas ce solide là son volume c'est un 24e alors là on ce qu'on avait fait je reviens petit peu trop ce qu'on a fait c'est qu'on a d'abord un deck intégré selon deux par rapport à x et puis ensuite on a intégré par rapport à y tenons donc on ad'abord additionner les volumes de nos colonnes ici dans la direction des x et puis ensuite on a additionné dans la direction d y tout nu les lamelles qu'on avait obtenu alors que j'aimerais bien c'est voir ce qui se passe quand on fait les choses dans l'autre sens c'est à dire quand on additionne d'abord nos colonnes dans la direction d y donc on intègre d'abord par rapport à y ait ensuite par rapport à x alors je vais faire un peu de place donc je vais effacer tout ça voilà alors donc j'avais cette valeur là hein je la remets ici ça assez 1 et puis on avait vu aussi que le volume de la colonne qui est situé au dessus de ce cet élément de surface qui est là et bien cf 2 x y faut des x des grecs donc ça je peux l'écrire on peut l'écrire avec effectivement l'expression de f donc c'est xy carré dx d y voilà alors je vais faire comme tout à l'heure je vais il s'est vraiment très important d'arriver à de commencer par essayer de visualiser ce qui se passe dans le plan horizontal pour bien comprendre comment comment seront constitués les bornes du domaine de définition alors je vais faire les axes vers faire le dessin tout à l'heure voilà donc ici g l'accès y est lâché l'ex dx alors je vais placer la valeur 1 je sais que x va de 0 à 1 donc on avait déjà dessiné sa un jeu refait le même dessein voilà ça c'est cette frontière qui est ici et puis la frontière qui est là bas c'est un segment de par bouts de paraboles donc je vais le tracé comme ça ici c'est la valeur pardon ça c'est la valeur 1 y égal 1 voilà et donc je vais dessiner un bout de paraboles voilà à peu près d'équations y égale x au carré je peux l'écrire ici y égale x au carré voilà alors je vais reprendre mon petit élément de surface donc sa set je veux le refaire le parallèle cette cette surface là toute cette surface là c'est le domaine de définition de la fonction le domaine que je considère donc c'est ce que j'avais assuré ici on joue alors je vais reprendre mon petit élément de surface qui est ici donc ça veut dire que ça par exemple c'est une valeur x et puis 7 cette dimension là c'est une petite variation dx donc ça c'est des x et cette variation là pour que là j'ai un point une hauteur et y voilà et donc cette cette dimension là c'est une petite variation des y de l'ordonner donc c'est la note d y voilà alors maintenant je vais intégrer ça donc je vais faire l'additionner tous et tous évolué mais qui sont saisis tout les volumes de tous ces colonnes qui sont là mais je vais le faire non pas comme non pas par rapport à x d'abord comme j'avais fait tout à l'heure mais par rapport à y donc en fait ça va revenir additionner en fait tous les rectangles qui sont comme ça empilés les uns sur les autres comme ça voilà jusqu'à ce que j'arrive à je bute sur la cour d'un donc voilà le problème ça va être comme tout à l'heure d'arrivée à déterminer cette cette borne laquelle est cette borne là quand je suis ici au point x comment est ce que je peux exprimer cette borne là alors je te laisse un petit peu réfléchir alors tout simplement c'est la borne c'est quand on bute sur la courbe donc on bute sur l'image de x par cette fonction-là donc cette cette valeur-là ici c'est x au carré voilà alors maintenant je vais pouvoir faire l'addition donc de tous ces volumes 1 je vais les dessiner ici c'est comme ça ils sont comme ça en fait je vais additionner tous les volumes qui sont là voilà comme ça donc j'ai intègre d'abord par rapport à y puisque c'est celle ed y que je fais que je juge ajoute celle et des grecs que j'ajoute donc j'ai pu écrire je vais prendre cette formule là mais je vais l'écrire plus tôt comme ça xy carré d y x dx est donc je vais d'abord intégré par y donc je vais prendre l'intégrale alors là je dois faire attention il faut que je trouve les bonnes borne donc c'est ce qu'on a c'est le travail qu'on a fait ici y varie de on part d'ici c'est y est égal à zéro quand je prends une valeur de x y commence à 0 et puis il va jusqu'à x au carré donc la borne inférieure c y égal à zéro et la borne supérieure c y et gala x au carré voilà alors je vais garder la couleur mauve pour des x voilà donc maintenant ce qu'il faut que je fasse et que j'additionne en fait j'obtiens d'edel tranches fines des lamelles fines de ce solide dans la direction parallèle à laax y alex d y maintenant je vais tout les additionner donc je vais faire une intégration dans le sens de y 2x maintenant pardon donc maintenant je vais 2 intégrée par rapport à x donc c'est ce que je note avec ce symbole là et je vais il faut que je détermine les valeurs les bornes d'intégration donc ici x varie de 0 à 1 ça y'a pas de problème là dessus donc je vais intégrer entre x égal à zéro et x égal à 1 voilà alors et un petit truc dont il faut se rappeler c'est que on doit calculer un volume donc on doit obtenir une valeur numérique à la fin ce qui veut dire que les bornes de la dernière intégration doivent être fixées par contre parce que sinon on obtiendrait quelque chose de variable donc ce serait pas un nombre donc si on doit calculer un volume c'est-à-dire une valeur numérique il faut absolument que la les bornes de là deux deuxièmes intégration de la dernière intégration soit des valeurs fixe donc ça ça veut dire que si tu termines ton calcul de ton raisonnement avec ici une dernière intégration dont les bornes sont variables tu t'es forcément tromper quelque part et pour éviter les erreurs je te conseille vraiment de faire ce petit travail là de faire sept dessins le dessin de ce qui se passe du domaine de définition en fait et ensuite de d'additionner elle et les éléments d'abord selon x et ensuite seulement y coule un verre ça ça n'a pas d'importance mais en gardant un ordre dans lequel tu fais ta sommation quand tu fais ce travail là bas tu tues si tu commences par additionner selon y vas tu as tu additionne et là tu te bute sur la courbe et c'est là où tu peut déterminer quelle est la borne de ton intervalle d'intégration de la même manière si tu des termes si tu commences par intégrer par rapport à x et bien tu va additionner horizontalement des rectangles étuve à un certain moment au but et sur la courbe et c'est là où tu vas pouvoir déterminer quelle est la borne la borne inférieure ou supérieure de ton de ton intégration bon alors maintenant quand on faire ça on va on va calculer ce volume la valeur numérique de ce qui correspond à ce volume et puis on va voir enfin espérons qu'on trouve la même chose que tout à l'heure alors je vais commencer par calculer ce qui est en verre ici donc ça c'est une intégrale par rapport à y donc je vais considérer que x est une constante donc je vais ici il faut que je trouve une primitive de y au carré et ensuite je multiplierais par x donc une primitif des grecs au carré bassée il y occupe sur trois donc en fait l'intégrale qui est ici cette intégrale là eh bien c'est la primitive donc c'est y au cube sur 3 x x pas que j'oublie ce x qui est là et ça je dois l'évalué entre les valeurs 0 et y x au carré pardon donc je peux même écrire ça comme ça y est gallix au carré et y égal 0 l'a ensuite binger je veux pas que j'oublie le reste donc l'intègre ça entre x égal à zéro et x égal à 1 par rapport à x voilà donc ça alors je vais écrire ça c'est mon volume et puis alors maintenant bon je vais calculer ce qu est ce qui est ici quand x était quand y est égal à ixxo carré y au cube va être égal à ixxo carrés occupe donc ça va faire x puissance si ce que je multiplie par x encore des avoirs x puissance est divisée par 3 donc là j'ai x puissance 7x puissance 7 / 3 et puis quand y est égal à zéro et bien cette valeur là et nulle donc là en fait j'obtiens uniquement la valeur x puissance est divisée par 3 donc ça je dois l'intégrer pour x qui va de 0 à 6 à 1 voilà par rapport à x donc ça ça va être encore une fois mon volume alors bon là je tiens une fonction il faut que je calcule la primitive de cette fonction puissance donc à la primitive de x puissance est cx puissance 8 sur 8 donc ça me donne alors là je vais le faire en violet ça me donne x puissance 8 sur 8 x 3 donc sur 24 que je dois évaluer entre 0 et 1 donc quand hicks est égal à 1 j'obtiens un sur 24 et puis quand hicks est égal à zéro j'obtiens 0 donc finalement mot volume c'est un vin sur 24 et ben ça va on trouve exactement le même résultat que tout à l'heure tu peux regarder la vidéo précédente donc voilà encore une fois on on expérimente le fait que intégré par rapport à x d'abord et après par rapport à y ça revient exactement même que intégré d'abord par rapport à y ait ensuite par rapport à x voilà je pense que dans tous ses calculs il faut faire attention calcule bien sûr la seule petite difficulté c'était probablement calculer cette valeur là pour y égal à ixxo carré donc ça si tu veux je peux le jeu peut le faire rapidement à côté en fait c'est x au carré puissance 3 x x sur trois donc ça ça me donne x puissance x au carré puissance 3 ça fait x puissance deux fois 3 donc x puissante 6 x x / 3 donc effectivement on retrouve bien x puissance est divisée par 3 voilà bah on a terminé pour aujourd'hui à bientôt