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Exemple d'une intégrale sur un contour fermé au sein d'un champ conservatif

Exemple de calcul d'une intégrale sur un contour fermé au sein d'un champ conservatif. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

alors dans cette vidéo on va essayer d'appliquer les outils qu'on a eu on a défini dans la vidéo précédente pour calculer une intégrale curviligne alors je vais essayer de calculer cette intégrale curviligne comme ça le long d'un chemin fermé c'est je vais définir ce que c'est tout à l'heure de cette expression là alors seixo carey plus y au carré fois dx +2 xy fois d y voilà et puis le chemin c'est le long duquel je fais l'intégration c'est ce chemin là qui est défini par un système d'équations paramétrique qui est x de thé alors x 2 tc caussinus de thé et y doter ses sinus de thé voilà et on prend t qui va varier entre 0 et 2 pi t varie entre 0 et 2 pi donc ça je pense que maintenant tu sais ce que c'est en fait c'est un cercle unitaire de centre l'origine du repère et de rayons donc voilà donc cette intégrale là on sait la calculer on l'a déjà fait dans d'autres vidéos maintenant ce que je voudrais faire c'est essayer de simplifier le processus de calcul de cette intégrale là en utilisant ce qu'on a vu dans les dernières vidéos alors la première chose évidemment que tu dois dire c'est oui mais ça correspond pas du tout à ce qu'on a fait jusqu'à maintenant puisque il n'y a pas de vecteurs là dedans donc ça peut pas être représenté comme un chant vectorielle scalaires un déplacement dr donc il est possible que tu saches pas du tout comment partir de cette expression là alors on sait justement pour ça que je trouvais que cet exemple là était intéressant parce que la première chose qu'on va faire c'est montrer qu'en fait ça c'est une autre manière de définir un autre une intégrale d'un champ vectorielle le long d'un chemin alors la première chose à faire pour s'en rendre compte de ça c'est c'est déjà de commencer par écrire un vecteur position alors donc là ça c'est ce qu'on a fait dans les dents toutes les vidéos précédentes on peut définir le vecteur position air de thé comme étant alors x de thé je n'ai même pas écrire les expressions précise de ce que ccx de thé y de thé donc le vecteur position cx de thé dans le sens du vecteur e-plus y de thé dans le sens du vecteur j'y vois là et puis à partir de saab comme d'habitude on peut calculer la dérive et des airs sur des tdr sur d'été ça va être des x la dérive et 2x par rapport à tes donc dx sur d'été dans le sens du vecteur y plus d y sur d'été dans le sens du vecteur j voilà ça c'est ce qu'on a fait à chaque fois dans toutes les vidéos et puis ensuite on peut en déduire une expression de la différentiel dr tout simplement en multipliant par tous par dt alors là quand on fait ça attention normalement il faut passer aux limites et tout ça mais là on va simplement considérer que d'été est un nombre très très petit 1 du coup on va pouvoir écrire que en multipliant tout par d'été on va ici ça va simplifier donc on va obtenir des x dans le sens du vecteur rire puisque cdx sur d'été froides étaient donc les dt simplifie plus d y fois le vecteur j de la même manière ici en multipliant par des télés d'été simplifie voilà alors là peut-être que tu vois déjà quelque chose qui se dessine ici un en fait maintenant si on définit le vecteur f chant vectorielle f comme ça f2 xy on va définir de cette manière là c'est x au carré plus y au carré dans le sens du vecteur i + 2 x y dans le sens du vecteur j'y vois là et dans ce cas là ben là peut-être que tu vois du coup en fait on peut très bien et si on calcule le produit scalaires f je vais le faire ici f scalaires dr ça va être le produit de cette des deux composantes selon le vecteur y plus le produit des deux composantes selon le vecteur j ça va être du coup alors x au carré plus y au carré x p x ça assez le produit de cette composante fois cette composante plus de x y fois d y ça c'est cette composante x 7 con opposante voilà du coup effectivement là ce qu'on voit c'est à paraître cette expression là sous forme d'une d'un produit scalaires de f d'un champ vectorielle fois un déplacement donc finalement l'intégrale curviligne con qu'on doit calculer c'est finalement je vais la réécrire de ce polar écrire sous la forme classique à laquelle on est habitué c'est l'intégrale curviligne le long du chemin c'est de f scalaires dr voilà alors là il faut que tu retiennent ça quand on te donne une si tu vois une expression comme ça une intégrale turbine inah kaloga calculé comme ça de sorte d'une forme différentiel en fait eh bien tu peux toujours te dire que cette partie là ça va être la composante selon les x de notre de ton chant vectorielle cette partie là ça sera la composante selon les y donc selon le vecteur j2 ton chant vectorielles et puis cette partie si c'est la composante selon eex de ton vecteur déplacement des airs et celle là c'est la composante selon y de ton vecteur déplacement des airs et ensuite tu peut réécrire ton intégral curviligne en faisant apparaître le champ vectorielle le produit scalaires entre le chant vectorielles et le déplacement des airs voilà donc tu reviens quelque chose que à laquelle tu est familier et donc tu vas pouvoir continuer à travailler là dessus alors là évidemment tu peux mettre en marche la machinerie de calcul mais tu peux aussi te poser une question qui pourrait te conduire à une simplification vraiment assez drastique de tes calculs et cette question c'est est ce que f est un chant conservatif escg ef est un chant conservative ça veut dire en d'autres termes ça veut dire est ce que f et le gradient d'une certaine force que fonction scalaires donc la question qu'on peut se poser maintenant c'est f est-il conservatif est-il conservatif en d'autres termes f et il le gradient d'une fonction scalaires est ce qu'on peut trouver une fonction scalaires dont f sera le gradient voilà c'est ça la question qui est importante parce que si c'est le cas si effectivement f et le gradient d'une fonction scalaires nous on sait que l'intégrale curviligne d'un champ conservatif un chant qui est le gradien qui est le gradient d'une fonction scalaires le long d'un chemin fermé bien ça sera zéro donc on n'aura plus aucun calcul à faire on pourra tout de suite dire que cette intégrale la nuls alors voilà maintenant comment est ce qu'on fait pour voir si c'est fait le gradient d'une fonction ou pas alors je vais tout simplement en fait supposer que j'ai une fonction r je vais remonter un petit peu en fait je vais supposé je vais prendre une fonction f 2 x y et puis dans ce cas là le gradient de fb le gradient de f c'est tout simplement alors je vais l'écrire ici le gradient de la fonction f2 xy c'est la dérive et partielle de grant est de f par rapport à x dans le sens du vecteur y plus là dérivées partielles de f par rapport à y dans le sens du vecteur j voilà ça c'est la définition du gradient de cette fonction ce cas là faut bien comprendre là je je je fais semblant je fais comme si elle existe et je regarde ce que ça va impliquer en fait c'est ça que j'essaie de faire donc là si je veux que le gradient de f soit égal hors jeu remonte un petit peu si je veux que le gradient de f soit égal à montchamp scalaires petit f et bien en fait là dérivées partielles ici par rapport à x de mon grand theft ça doit être x au carré plus y au carré 1 donc là ça me donne déjà une première équation je dois avoir que la dérivées partielles de grand f par rapport à x c'est x au carré plus y au carré et puis une deuxième chose c'est que la dérivées partielles de f par rapport à y ça doit être égale à 2 x y dérivées partielles de grand f par rapport à y ça doit être 2x y voilà et si ça c'est vrai si j'arrive à trouver une fonction f qui vérifie ces deux conditions là ce système d'équations ici eh bien je pourrais dire que mon champ scalaires f petit f et le gradient de cette fonction grand f voilà alors maintenant le tout c'est de trouver et ce grand chef qui va vérifier ses relations là alors je vais remonter un petit peu si je pars de l'expression la dérivées partielles de f par rapport à x et est égal à ixxo carré plus écrit grecque au carré ça veut dire que je peux ensuite faire une intégration par rapport à x donc trouver la primitive par rapport à x de sexe de l'expression x o car est plus y au carré et dans ce cas là et pour faire ça il suffit que je considère que y est une constante donc je vais considérer y comme un nombre donc là ça me donne alors je vais l'écrire ici ça me donne f2 xy c'est toujours une fonction de xy ça va être alors la primitive de xo carré par rapport à x seixo cube divisée par 3 plus la primitive de y au carré qui est un nombre par rapport à x ça va être y au carré fois x1 tout simplement si je dérive y au carep x x par rapport à x et bien le x devient un et je me retrouve avec y aux caresses qui est bien ce que je voulais voilà et puis ensuite bon c'est pas terminé complètement parce que là ce que je peux avoir c'est en fait une fonction n'importe quelle fonction qui contient uniquement la variable y donc ça peut être quelque chose je vais appeler ça comme ça j'ai de y effectivement quand je dérive cette fonction-là g2 y par rapport à x comme y est une constante g2 y sera une constante et du coup ça dérivés sera nul voilà donc je suis obligé de considérer prendre en compte cette possibilité d'avoir ici une fonction de la variable y ça c'est ce que j'obtiens en partant de l'expression de la dérivées partielles de f par rapport à x maintenant je vais faire la même chose à partir de cet express cette relation là dérivées partielles de f par rapport à y ces 2 x y donc ça quand j'intègre par rapport à y donc je vais considérer que x est une constante donc je vais obtenir que f 2 x 2 2 x et y c'est alors la primitive de deux y en fait puisque je considère x comme un nombre donc je vais leur écrire après comme un coefficient en fait donc je dois chercher là prédictifs de 2,6 grec ça c'est tout simplement y au carré donc une primitif de 2 x y c'est x x y au carré plus là aux là encore on est obligé de supposer qu'il peut y avoir une fonction dx11 une fonction uniquement des dx dans laquelle la variable y n'intervient pas et là si tu veux pour te convaincre que tu peureux dérivés cette expression là par rapport à y là tu vas obtenir 2 x y et puis c'est la dérive et de h2x par rapport à y sera nulle puisque h2x est un nombre en fait un x on doit le considérer comme constante donc h2x sera une constante et du coup quand on la dérive ça va donner 0 voilà donc on obtient finalement ces deux expressions là qui sont pas complètement déterminé d'une fonction f 2 x et de grec possible et pour que notre chance vectorielle puisse s'écrire comme le gradient de cette fonction il faut qu'on arrive à déterminer ccg-2 y est h2x donc pour récapituler cette information-là cette information là nous dit que f2 xy doit ressembler à quelque chose comme ça cette information-là la deuxième je vais l'écrire comme ça eh bien elle nous dit que f2 xy de ressembler à quelque chose comme ça alors maintenant ce qu'il faut qu'on fasse se trouver une fonction c'est regarde c'est voir s'il existe si on peut trouver une fonction f ii x2 y qui ressemble à la fois quelque chose comme ça et à quelque chose comme ça hein alors on va prendre les choses petit à petit ici j'ai dans cette expression l'ag y au carré x x que je retrouve ici aussi donc ça c'est bon on va c'est un point commun entre ces deux expressions ensuite dans cette expression là j'ai une fonction qui va dépendre uniquement de la variable x celle cette fonction-là h2x et fit effectivement là j'ai une une fonction x cube sur trois qui dépend uniquement de la variable x donc on peut se dire que h2x et xo cube sur trois donc ça je fais je vais leur écrire ici f 2 x y pour l'instant je peux dire que c'est donc x au cube sur trois ça c'est cette partie là qui coïncide avec cette fonction h2x et puis plus x y au carré qui est cette partie là qu'on retrouve dans les deux expressions et puis il ya ce g2 y ce g2 y qui est là alors ce g2 y on le retrouve pas ici puisque c'est zéro mais en fait une autre manière de dire ça c'est que si on pose que j'ai dû y est la fonction nul eh bien on va la voir dans les deux expressions donc on va dire que ce jeu d y ici c'est zéro et finalement on trouve effectivement une fonction f qui ressemble à ces deux expressions l'a donc cette fonction scalaires f2 xy qui est égal à ixxo cube sur 3 + 6 y au carré eh bien elle va répondre aux conditions qu'on cherche donc on va pouvoir dire que notre champ vectorielle c'est le gradient de cette fonction alors si tu es pas convaincu on peut faire le processus à l'envers c'est à dire que l'on peut prendre cette expression là est calculé son gradient et voir si effectivement ça correspond pas f donc ça c'est une bonne chose à faire de toute façon là on va le faire pour ce que tu peux il est possible que tu sois pas convaincu par ce que j'ai dit mais de toute façon ça nous permettra aussi de vérifier qu'on sait pas tout simplement trompé dans les calculs alors maintenant à partir de cette expression là je vais faire le chemin inverse donc je vais calculer la dérivées partielles de f cette expression lala dérivées partielles de f par rapport à x alors ces jeux des riffs x occupe sur 3 par rapport à x ça me donne x au carré plus la dérive et de xy au carré par rapport à xc y au carré voilà et puis là dérivées partielles de f par rapport à y est bien j'ai alors ce terme là qui va disparaître puisque je dirais je dérive par rapport à y est ce terme là ça va devenir je dois dérives et y au carré par rapport à y ça me donne de six grecs et je multiplie par x qui est un coefficient donc finalement je trouve 2 x y est effectivement là tu vois bien que on retrouve là les expressions de mes deux dérivées partielles donc effectivement f ça c'est la conclusion qu'on peut tirer f et le gradient je l'écris comme ça de grands chefs voilà donc est fait conservatif alors qu'est ce que ça nous dit tout ça ça nous dit tout simplement donc je vais écrire ça hein donc f et conservatif c'est un chant vectorielle conservatif et donc l'intégrale curviligne qui est là qu'on cherchait on cherchait à calculer qui est celle ci ou celle ci est bien finalement on peut dire tout de suite sans calcul supplémentaire que lé nul voilà ça c'est tout simplement parce qu'on sait qu'un chant conservatif intégrer le long d'un chemin fermé eh bien ça donne la valeur zéro voilà donc tu vois c'est quand même important de se rappeler de ces conditions là parce qu'il savait vite beaucoup de calculs si tu veux t'en convaincre tu peux aussi calculer cette intégrale curviligne par la méthode classique c'est-à-dire en remplaçant x et y par leur expression ici calcul en dx10 y est ainsi de suite tu vas voir que tu vas y arriver mais au prix de calculs assez long et assez laborieux voilà