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Transcription de la vidéo

une notion fondamentale en physique c'est celle du travail d'une force et dans le cas le plus simple on définit le travail d'une force comme étant tout simplement l'intensité de la force par le déplacement et en fait ça c'est une définition qui n'est valable que dans le cas où la force va dans le direct dans la direction du mouvement donc dans le cas général on va définir le travail le travail d'une force on va définir sa comme étant l'intensité de la force dans la direction du mouvement x le déplacement que le travail d'une force et l'intensité de la force dans la direction du mouvement dans la direction du mouvement du déplacement si on veut multiplier par le déplacement x le déplacement c'est à dire par la longueur d'onde de laquelle on s'est déplacé 1 voilà et en fait c'est une mesure de la contribution de la force au mouvement aux déplacements lui même voilà alors ça c'est la définition en général on va regarder un petit peu ce que ça signifie sur un cas classique donc le cas classique c'est celui par exemple d'un bloc on va prendre une situation n'y a pas de frottement donc on va prendre un bloc de glace qui se déplace sur une surface glacée aussi comme ça on n'aura pas de frottement et en fait on applique une certaine force on tire ce bloc avec une certaine force est en fait une force qui a une direction oblique qui n'est pas dans le onze va avoir un mouvement qui va s'effectuer horizontalement mais la force qu'on applique à ce bloc est une force qui n'est pas dirigée rond horizontalement c'est une force oblique donc c'est un vecteur comme ça et on va dire par exemple que ici la norme de ce vecteur on va prendre des valeurs numériques pour prendre un cas concret donc la norme de ce vecteur l'intensité de cette force et 10 newton donc on tire ce bloc dans une direction oblique avec une certaine force de 10 newton alors ce que je peux dire aussi pour préciser c'est que le déplacement va s'effectuer comme ça et en fait la force et un angle 10 de 60 degrés avec l'horizontale qui est la direction du mouvement alors par exemple je vais matérialiser le déplacement donc disons qu'on se déplace ses danseuses dans ce sens là dans cette direction là et dans ce sens là d'une certaine distance donc c'est un vecteur aussi puisque c'est une distance et une longueur donc on va dire que c'est le vecteur d epuis est donc ce vecteur ici c'est d epuis sa norme pour fixer les idées on va dire que c'est cinq mètres donc finalement ça veut dire qu'on s'est déplacé de 5 mètres dans la direction horizontal et dans ce sens là voilà alors si je veux calculé le travail de cette force je peux pas évidemment tout simplement multipliée la norme de la force par la norme du déplacement on ne peut pas faire dix fois 5 puisque la définition c'est le travail de la force et l'intensité de la force dans la direction du mouvement donc c'est la contribution à la direction du mouvement en fait ce qu'il faut qu'on trouve c'est la composante de la force dans la direction du mouvement donc si on imagine ici par exemple avoir un vecteur 16 de longueur 10 ici puisque c'est ça c'est l'intensité de ma force je vais en fait devoir trouver cette composante là ici qui est la composante de la force dans la direction du mouvement alors bon ça c'est de la géométrie élémentaire pour trouver là la valeur de cette longueur là il faut qu'en fait on projette ce vecteur f sur l' axe du déplacement est en fait bon ben ça suffit de revoir un petit peu les la géométrie élémentaire sept longueurs là en fait c'est dix fois caussinus de 60 degrés et donc le cosinus de 60 degrés c'est un demi donc finalement la composante de cette force selon l' axe du déplacement dans la direction du déplacement c'est 10 fois en 2010 et 5 essais 5 newton alors là je peux maintenant calculé le travail de cette force c'est l'intensité de la force dans la direction du mouvement donc en fait je vais multiplier cette composante par le déplacement donc c'est ça va me donner 5 newton x 5 m qui est l'intérêt la longueur du déplacement donc finalement je vais avoir 25 newton par m ce qu'on appelle alors les newton permettre c'est eux dont les appelle aussi des joues donc finalement le travail de cette force et 25 joule bon tout ça c'est de la révision c'est de la physique élémentaire mais ce qu'on peut voir ici c'est en fait on peut avoir à paraître l'expression générale du travail dgt une force parce que en fait quand on écrit ici ce 5 newton qui est la 5e newton qui est là ça en fait bon dans le cas général on a une force qui fait un angle un certain angle teta ici c'était 60 degrés mais dans le cas général c'est un angle d attaque avec la le sens du avec la direction du déplacement donc dans ce cas là ce qu'on obtient ici c'est la norme de la force cette valeur qu'on a trouvé ces cinq newton dans le cas général c'est la norme de la force fois le cosinus de l'angle que cette force fait avec le déplacement avec la direction du déplacement donc l'expression général de cette composante selon la direction du déplacement c'est la norme de la force x le cosinus de l'angle et puis ce qu'on a ici là ce 5 m ça c'est la norme du déplacement c'est ce qu'on a vu ici donc c'est la norme du vecteur d qui est le déplacement donc finalement là on obtient une expression générale du travail ça c'est le travail d'une force qu'on peut réécrire comme ça c'est la norme du vecteur d la norme du déplacement donc la valeur du déplacement x la norme de f la norme de la force x le cosinus de l'angle que forment les deux vecteurs f aider voilà alors là si tu n'es pas familiers avec le produit scalaires tu vas pas forcément 30 compte de ce que c'est que cette expression là mais dans ce crash dont s'engage à les revoir les vidéos sur le produit scalaires parce qu'en fait cette expression là et bien c'est tout simplement le produit scalaires de la force f par le le vecteur d le déplacement d donc voilà ça c'est le produit scalaires un tu peux aller regarder les vidéos sur produits scalaires qu'entreprend le produit scalaires de deux vecteurs on obtient il on le définit exactement de cette manière là donc ça c'est le produit scalaires est bon effectivement c'est un nombre c'est un scalaire s'est passé plus le résultat du produit scalaires n'est pas un vecteur c'est un scalaire donc on obtient finalement un nombre qui est une mesure de la contribution de la force à au mouvement bon encore une fois si tu est pas familier avec le produit scalaires va regarder les vidéos là dessus l'idée c'est que on prend la force qui est une force constante d'une certaine intensité en fait on la projette sur le vecteur d pour déterminer la composante delà de cette force dans laxe du déplacement et ensuite on multiplie ces deux grandeurs et ça ça me donne le produit scalaires des deux vecteurs fcd donc voilà on a finalement la définition générale du travail dgt une force c'est le produit scalaires du vecteur force par le vecteur déplacement alors maintenant je vais prendre je vais regarder un cas un peu plus compliqué que ça marche ça tu vas voir que c'est exactement la même idée hein en fait je vais définir un champ vectorielle dans le plan xy donc je vais défiler on va voir ce que c'est précisément en fait je vais définir un vecteur qui va dépendre des coordonnées x y et ça va être tout simplement une certaine fonction scalaires paix disons qui dépend des coordonnées x et y multiplier par le vecteur hic est un vecteur unitaire de notre repère plus une autre fonction scalaires que j'appelle cul qui dépend des coordonnées x et y aussi dans la direction du vecteur gic et le deuxième vecteur de notre base du plan voilà ça c'est un chant vectorielle ça s'appelle un champ vectorielle un champ vectorielle dans le plan dans le plan xy dans le plan x y ou aussi on peut dire dans le plan on peut dire aussi dans r21 je vais pas trop rentrer dans les notations mathématiques mais bon voilà alors qu'est ce que c'est que ça en fait ben je vais dessiner je veux on peut se faire une idée de sa honte dans petit dessin on a je vais représenter leur père de notre plan enfin les axes il repère de nous plan donc ça c'est l'accès y est ça c'est l'axé des x donc on a ici nos deux vecteurs ça c'est le vecteur je prends ici un vecteur unitaire y ait ici un vecteur unitaire j alors ce qui se passe c'est que à chaque fois que je prends un point de ce plan donc je prends d'un point de coordonnées x et y donc des valeurs précises de x et y non évidemment il faut que je me restreignent aux régions du plan ou les fonctions pq sont définies sont bien définis mais bon là pour simplifier on va supposer que ces deux fonctions pq sont définis par tous dans le plan donc si je prends n'importe quel point du plan j'ai dessiné surtout le premier cadran mais on peut imaginer ça aussi ça serait la même chose ailleurs dans le plan donc je prends une certaine valeur de x et une certaine valeur de y ce qui me donne un point ici par exemple et je peux calculer l'image de ce point par la fonction paie et l'image de ce point par la fonction qu est en fait je l'obtiens du coup une combinaison les linéaires des vecteurs y est j 1 puisque je vais avoir paix de xy ça sera un nombre et q2 xy ça sera un nombre aussi donc j'aurais effectivement une combinaison linéaire de ces deux vecteurs y est j ai en fait du coup c'est rien d'autre qu'un vecteur dans le plan donc en fait à chaque point du plan je vais avoir un vecteur voilà c'est tout simplement ça un champ vectorielle c'est une une fonction vecta valeur vectorielle qui à chaque point du plan associe un vecteur donc là si je me mets ici je respecte heure là si je me mets ici donc avec d'autres valeurs de x et de y j'aurai un vecteur peut-être qu'il sera comme ça voilà si je me mets là j'aurai un autre vecteur comme ça si je me mets ici j'aurais peut-être un vecteur comme ça si je me mets là un vecteur comme ça voilà si je me mets ici j'aurais peut-être un vecteur qui sera comme ça enfin voilà ces scellés à chaque point du plan je vais avoir un c'est un vecteur donc y aura une certaine direction et une certaine norme qui dépend de l'endroit où on est un alors évidemment quand on parle de physique c'est champ de ses champs de vectorielle sont en fait des champs de force on pourrait avoir par exemple le champ gravitationnel où le champ électrique ou bien le champ magnétique par exemple et donc dans ces cas-là ce vecteur f ici ça sera effectivement la force qui s'appliquant à une particule qui est situé au plan au point de corde x et y donc on aura effectivement un champ de force qui s'applique à cette particule dans le plan x y voilà bon ça c'est des exemples empruntés à la physique en mathématiques on n'est pas obligé du supposé que c'est une force c'est tout simplement un vecteur associés à chaque point du plan mais bon c'est quand même pas mal de garder cette idée de champ de force donc on va on va garder cet exemple là pour pour comprendre un peu mieux ce qui se passe et là on va supposer qu'on a dans ce champ vectorielle donc dans le plan x y est soumis à ce chant vectorielle on va placer une particule voilà voilà maître ici par exemple et cette particule donc elle va elle assure cette particule vont s'exercer d'état de force 1 parle selon l'endroit où elle est et en fait bon qu'on pourrait imaginer le cas d'une particule complètement libres 1 dans le plan dont qui suivrait qui se déplaceraient selon les les selon le vecteur force au point auquel elle se situe donc qui suivrait les lignes de chant mais là on va plutôt supposer qu'on a une particule qui est soumise à une trajectoire fixée un don qui se déplace sur un chemin donc par exemple tu peux dessiner un chemin comme ça voilà on va dire que cette particule ne peut se déplacer que sur ce chemin bon puisque c'est un chemin dans le plan je sais qu'on peut le par à maîtriser et le représenter par une fonction vectorielle de position quelque chose qu'on avait appelé dans les vidéos précédentes air de thé par exemple ça c'est le nom qu'on lui avait donné et c'est en fait une certaine fonction scalaires x de thé dans le sens du vecteur e-plus une certaine fonction scalaires y de thé dans le sens du vecteur j voilà ça c'est une manière de décrire notre chemin ici notre courbe qui est là bon il faut pour que ce soit un chemin fini il faut préciser un intervalle des valeurs de thé donc ici on va dire que tu es varie entre 2 valeur fixe a et b voilà donc là on a une représentation vectorielle de notre chemin qui est là est donc en fait si on regarde ce qui se passe quand la particule est ici il ya une certaine vecteur il ya une certaine force qui s'appliquent sur elle et qu'il attire dans cette direction là ça c'est la force qui est donnée par notre champ vectorielle mais comme elle est assujettie à cette trajectoire là elle va se déplacer dans ce sens là hein quand elles arrivent ici il va avoir peut-être un vecteur fort ce qui va être dirigée comme ça avec une certaine intensité et comme elle est soumise à cette trajectoire elle va continuer son déplacement comme ça quand elles arrivent ici c'est pareil peut avoir un vecteur force dirigée dans ce sens là avec une certaine intensité mais elle continue selon cette trajectoire la voilà alors tout ce que je suis en train de faire là ça a pour but de pouvoir répondre à une question qui est fondamentale c'est quel est le travail effectué par ce chant vectorielle sur notre particules c'est ça la question centrale de cette vidéo c'est quel est le travail effectué sur la particule par le chant vectorielle par ce champ de force voilà alors la différence avec le cac on a vu tout à l'heure dans ce cas là on avait une trajectoire qui était rectiligne on avait défini le travail de la force f comme étant le produit scalaires de la force par le déplacement ici c'est beaucoup plus compliqué parce que d'une part le trajet n'est pas rectiligne et puis en plus la force qui est appliqué en chaque point n'est pas à constantin varie en fonction de l'endroit où on est donc c'est effectivement plus compliqué alors l'idée centrale pour répondre à notre problème qu'on se pose ça va être d'aller regarder des tout petits éléments de notre chemin donc en fait je vais pour faire ça je vais zoom et je vais vous met sur le chemin donc je vais regarder ou à imaginer que ça c'est une partie toute petite de ce chemin là un zoom de ce chemin et on va considérer là dedans tout peur on va se mettre ici par exemple sur le chemin et on va considérer sur ce chemin tout petit élément de déplacement tout petit comme ça et qui en fait du coup va être pratiquement un segment de droite tout petit segment de droite donc en fait ça c'est un déplacement infinitésimale sur notre chemin que je vais appeler dr ça c'est une idée avec laquelle tu dois être assez familier maintenant depuis que tu as fait du calcul intégral et donc on va regarder quelle est la force ici quand on est ici on a une certaine force puisque la particule qui est ici est soumise aux champs de force au chant vectorielle donc au champ de force donc ici on a une certaine force qui s'applique en ce point là qui est disons comme ça voilà ça c'est la force f2 xy un certain point de coordonnées x y et en ce point là s'applique cette force f2 xy qui est donnée par cette expression là qui dépend des pauses des coordonnées xy du point où on en est voilà donc ici on se retrouve dans une situation on a un déplacement infinitésimale vraiment minuscule qu'on peut assimiler un déplacement le long d'une trajectoire rectiligne et sur ce déplacement on a en a fait on applique une force est ce qu est une force constante ici puisqu'on est vraiment dans un cas infinitésimale donc on va pouvoir calculer ici le tout petit élément de travail effectué par cette force sur ce tout petit élément de déplacement donc on va pouvoir définir un différentiel du travail donc je vais l'écrire comme ça c'est c'est ça c'est un travail infinitésimale sur ce trajet infinitésimale c'est donc le différentiel du travail sur ce différentiel de déplacement et là on va pouvoir définir ce différentiel du travail avec la définition qu'on a utilisé tout à l'heure dans le cadre de la trajectoire rectiligne donc c'était le produit scalaires de la force f par le déplacement des airs voilà des flex le déplacement infinitésimale dr alors ensuite l'idée c'est que là on s'est placé dans un tout petit élément de déplacement mais si on veut calculer le travail totales effectuées au cours du déplacement par le chant vectorielle eh bien on va faire tout simplement une somme d'une infinité de ses déplacements infinitésimaux donc en fait ça correspondra à faire une intégrale donc on va devoir calculer l'intégrale sur le chemin sur le chemin c'est de ces travaux infinitésimaux des w et donc ça c'est l'intégrale sur le chemin que j'appelle ces deux de ses produits scalaires de f par dr donc ça c'est une intégrale curviligne 1 dans les deux cas ce sont des intégrales curviligne puisque c'est l'intégrale le long d'un chemin qui va donner le travail total effectué par le chant vectorielle sur la particule alors bon fit avant tu dois te dire mais cette formule là comment est-ce qu'on peut s'en servir parce que les vraiment très abstraite c'est pas facile de voir comment est-ce qu'on peut sans cesse en servir effectivement faut pour calculer ce travail déjà d'une part on a des effets d un chemin qui est par à maîtriser en fonction de tes on a une fonction af qui dépend des coordonnées x y donc effectivement déjà il faudrait arriver à exprimer tout ça en fonction d'un d'un seul paramètre par exemple t1 alors pour faire ça on va commencer par essayer de voir qu'est ce que c'est que dr alors dans les vidéos précédentes on avait défini la fongs la dérivée d'un vecteur d'une fonction vectorielle comme ça d'air par rapport au temps donc c'était dr / d'été et on avait vu que c'était exprime de thé ça c'est la dérive et de la fonction x2 t par rapport aux tendances j'aurais pu aussi écrire dx sur d'été donc cette dérive et 2x par rapport au temps dans la direction du vecteur y plus la dérive et de y donc y prime de thé dans la direction du vecteur j j'aurais pu tout à fait écrire et des idées y sur des t1 alors je sais pas si tu te souviens mais dans une des vidéos précédentes on avait tiré de cette expression là une expression de la différentiel dr bon on l'avait fait d'une manière assez peu rigoureuse en tout simplement multipliant par d'été donc c'était on l'avait fait en considérant que d'été était un nombre très très petit et on avait obtenu cette expression là du différentiel des airs de la différentiel dr c'est dr c'était exprime exprime de thé x d'été dans le sens du vecteur plus y prime de thé x d'été dans le sens du vecteur j'y vois là alors ça c'est déjà pas mal parce que là on a exprimé des airs en fonction du paramètre t1 donc ça va nous servir et puis alors je vais réécrire maintenant ici l'expression du du champ de force du chant vectorielle f 2 x y en avait dit que c'était p 2 x y dans le sens du vecteur y plus qu de xy dans le sens du vecteur j 1 donc là tu peux peut-être déjà de figurer quelques elle est l'expression du produit scalaires f x dr ici on a un repère du plan qui est fixé donc on a des coordonnées de nos vecteurs et dans ce cas là tu peux aller regarder les vidéos sur le produit scanner dans ce cas là on a une expression du produit scalaires f x dr en fonction des coordonnées en fait c'est tout simplement le produit des abscisses plus le produit d ordonner un donc ici on va pouvoir écrire que f scalaires dr et bien c'est le produit de la composante de f selon le vecteur ifo à la composante de dr selon le vecteur y donc on va écrire ça cette p 2 x y x exprime de tdt plus le produit de la composante de f selon le vecteur gif par la composante de dr selon le vecteur j donc plus qu 2 x y x y prim x d'été voile alors je vais peut-être prendre un code couleur pour te préciser ça ça c'est le produit de cette composante là selon le vecteur il faut à cette composante là selon le vecteur y est ça c'est le produit ce terme de ces termes là pardon jusqu'au incluant le dtc cette composante fois cette composante voilà alors là du coup on peut en déduire une expression du travail je vais l'écrire ici le travail ici ça c'est l'intégrale donc c'est l'intégrale curviligne le long du chemin c'est de cette expression là mais ici puisqu'on est sur le chemin on est sur le chemin donc là coordonnées x et les coordonnées de y vont être celle du chemin donc on va pouvoir écrire que x cx de thé et y sait y de thé donc finalement on va obtenir cette expression là alors je vais écrire ça comme ça c'est p 2 x de tte y de thé x exprime de tdt plus qu ii x2 t y de thé x y prime de thé x d'été voilà donc on doit faire l'intégrale curviligne le long du chemin c'est de toute cette expression là en fait la g ce qu'il faut comprendre entre cette expression là est celle qui est ici c'est que comme on est sur le chemin c'est les coordonnées x et y sont sont celles là un cx de thé y de t1 voilà donc j'ai remplacé tout simplement x par x 2 t et y par y de thé alors bon tu vas te dire ça c'est une expression qui est beaucoup plus compliqué qu'avant ça va être beaucoup plus synthétique mais l'important ici c'est qu'on a réussi à exprimer tout en fonction du paramètre tu es donc finalement on obtient là une intégrale défini en fonction du paramètre tu es donc je vais pouvoir écrire comme ça en fait je peux même je vais pouvoir faire deux choses importantes la première c'est que je vais pouvoir dire que c'est l'intégrale pour tes qui va de a jusqu à b puisque la maintenance et tout est exprimé en fonction du paramètre t et puis je vais pouvoir aussi factoriser ceux d'été qui est là alors ça me donne l'intégrale de p 2 x 2 t y de thé x exprime de thé plus qu 2x de thé x y de thé le to x y prime de thé puis là je ferme la parenthèse et je multiplie le tout par d'été voilà là je pense que tu peux voir que là on a une fonction qui dépend de la variable tait et on intègre cette fonction par rapport à la variable t qui varient entre a et b donc c'est effectivement une intégrale défini simple qu'on va pouvoir calculer alors on fera ce genre de calcul dans la prochaine vidéo là on va s'arrêter là ça a été déjà un petit peu long donc on se retrouve dans la prochaine vidéo pour continuer ce travail