L'intégrale dans un champ de vecteur dépend de l'orientation du contour

alors on va refaire ce qu'on avait fait dans plusieurs vidéos on va commencer par définir ici une fonction vectorielle de position qui va définir un chemin donc c'est un chemin que je vais noter c est en fait il est défini par cette fonction vectorielle de position r2 t on va le faire de manière tout à fait général cx de thé dans la direction du vecteur e-plus y de thé dans la direction du vecteur j'y vois là et on va préciser que tu es varie entre le paramètre t varie entre a et b voilà donc ça on avait vu que ça décrivait un chemin dans dans une courbe dans le plan x y donc je peux la dessiner d'ailleurs alors tracé mais axe voilà ça c'est l'axé des x ça c'est l'ex d y qui sont chacun porté par un vecteur unitaire ici c'est ici c'est j alors pour la valeur est égale à redire que par exemple je suis ici tu est égal à je suis là et quand je fais variété et bien je décris une courbe qui peut être par exemple ressembler à ça et j'arrive ici à ce point là quelles extrémités finale qui est le point qu'on atteint pour la valeur t et galbées voilà alors donc dans ce cas là le sens de parcours on va de cette extrémité pour le port a obtenu pour la valeur des galas jusqu'à cette extrémité obtenu pour la valeur t et galbées donc on se déplace dans ce sens là alors pour te rappeler rapidement pour définir un chemin de cette manière là en fait on parle de cette fonction vectorielle ici par exemple pour la valeur est égale à on a un vecteur qui est comme ça voilà c'est le vecteur r2 à qui une extrémité tous les vecteurs parts de l'origine donc on regarde juste l'extrémité finale et l'extrémité finale arrive en ce point est en fait quand la variable t varient et bien le vecteur varie aussi mais ils terminent toujours sur ce chemin son extrémité finale est toujours un point de ce chemin donc par exemple on a aussi le vecteur r2 b qui va être ce vecteur là comme ça voilà bon enfin je vais pas trop insister là dessus ça c'est de la révision l'a fait dans plusieurs vidéos lorsque je vais faire c'est prendre la même courbe mais parcourues dans le sens inverse alors ça aussi on l'a déjà fait donc je vais l'appeler ici celle là ça va être moins c'est et je vais la définir par une fonction vectorielle aussi mais je vais la définit alors je vais garder la lettre r je change de couleur donc qui aura pas d'ambiguïté la fonction vectorielle associés à ce chemin - ces jeux-là définir à partir des mêmes fonctions x2 t y de thé mais en faisant un changement de variables en fait un changement du paramètre tu es donc ça va être ça x de a + b - tu es dans le sens du vecteur y plus y de a + b - tu es dans le sens du vecteur j ça c'est ce qu'on avait vu dans les deux dernières vidéos et bien ça dès que cette fonction vectorielle elle va décrire un chemin qui va être acquis va avoir exactement la même forme que ce chemin là mais parcourues dans le sens inverse sont alors je peux le dessiner aussi je vais essayer de faire les choses à la même échelle à peu près voilà mon axe d y c'est l'acte et x donc ça c'est l'ex dx axes et l'axé y voilà alors quand je suis mauvais pas précisé mais t il faut que je le précise t varie ici aussi entre les valeurs a et b donc quand je suis athée égal à est bien là coordonnées x cx de a + b - as tu dire x 2 b et l'accord donné y sait y de a + b - as tu dire y 2b donc finalement quand est égal à aa je suis au même point je suis en ce point là que je vais placer ici puisque je suis au point de coordonnées x 2 b y de b donc ça c'est pour tes égal à et ensuite quand je varie eh bien tu peux revoir les vidéos en fait je décris ce chemin exactement le même chemin que tout à l'heure mais dans le sens inverse j'arrive à 7,7 ce point-ci pour la valeur est égale b alors pour alerter et galbées ce point là il a coordonné x2 a + b - b c'est-à-dire x2 à et y de a + b - b c'est-à-dire y de a donc on est bien ici au même point de coordonnées x 2 y y de hacker ce point là hein donc voilà finalement pour tes et galbées et bien on est arrivé à l'extrémité finale qui correct quand un site avec l'extrémité de départ du premier chemin donc voilà on se retrouve vraiment avec deux chemins qui ont exactement la même forme s'il faut tu peux penser à une route qu'on parcourt dans un sens et qui est par exemple dans ce sens là mais on peut aussi la parcourir dans l'autre sens c'est ce qu'on fait ici voilà donc dans ce cas là on part de ce point et on arrive à cette extrémité l'a donc là de la même manière on peut regarder ça en fait le vecteur r2a c'est donc ce vecta sera ce vecteur là un jeu le tracé en pointillés ça c'est le vecteur r2a et puis le vecteur air de b et bien c'est celui là ce vecteur xi r2 à terminaux points de coordonnées x b y paie et puis ce vecteur la r2 b terminent au point de coordonnées x y a voilà alors maintenant ce qu'on va faire c'est se donner un champ vectory alors je vais te définir un champ en vectoriel tout à fait général donc c'est quelque chose de ce genre là une fonction vectorielle des points du plan donc des coordonnées x et y je vais la définir comme ça c'est une certaine fonction scalaires dépendant des parties des coordonnées x et y dans le sens du vecteur y plus une autre fonction scalaires cul ou des variables x et y dans le sens du vecteur j'y vois là donc ça tu peux te représenter ce que ça veut dire à chaque fois que tu choisis un point du plan d'eau par exemple ici ce point là il a une certaine corps une certaine apsys et une certaine heure donnée on calcule paix avec ses valeurs de x et de y qu avec ses valeurs de x et de y en obtient une combinaison linéaire des vecteurs iiji donc on obtient en fait un vecteur qui est le vecteur associés à ce point là alors par exemple il va être comme ça donc le jeu peut faire ça je vais faire ça au hasard un dans tous les points de mon plan donc là par exemple j'ai des vecteurs comme ça voilà bon je pourrais en dessiner aussi dans l'autre dans les autres cadres on ne sait pas c'est pas très important parce que de toute façon nous qui va nous intéresser c'est uniquement les vecteurs qui vont s'appliquer au point de notre courbe donc en fait par exemple en ce point là je vais avoir disons un vecteur qui est comme ça on se pointent ici je vais avoir par exemple un vecteur comme ça voilà j'ai dessiné au hasard mais je sais ce que je veux te faire comprendre c'est que on a ce champ vectorielle donc qui associé à chaque point du plan un vecteur mais nous on va s'occuper uniquement des vecteurs qui sont associées au point de notre chemin donc par exemple là comme ça et puis là ici quand j'arrive à bg un vecteur qui est comme ça voilà alors on va maintenant regarder ce qui se change etc tauriel dans le cadre avec notre autre chemin puis là je vais tracé uniquement les vecteurs qui sont qui partent qu'ils sont associés au point de mon chemin donc là j'ai par exemple celui là sont les mêmes que qui si évidemment donc en ce point là je vais avoir un vecteur comme ça en ce point si je vais avoir un vecteur comme ça en ce point là genre est un vecteur comme ça hein voilà et puis en ce point là bon je peux leur ajouter j'aurai un vecteur disons comme ça ici aussi un voilà alors maintenant je vais me poser un peu la même question que ce qu'on a fait dans la vidéo précédente avec des fonctions scalaires quand je fais l'intégrale curviligne d'un de ce champ vectorielle le long de mon jeu d'un chemin est ce que cette intégrale de curve il y va dépendre du sens dans lequel on parcourt le chemin alors en fait concrètement ça veut dire est ce que cette si je fais cette intégrale curviligne le long du chemin c'est de f scalaires dr est ce que je vais obtenir le même résultat que si je fais l'intégrale curviligne le long du chemin - c'est un donc c'est celui là le même parcouru dans le sens inverse du chant vectorielle scalaires dr alors voilà ça c'est la question qu'on va se poser donc pour l'affronter je vais commencer par rappeler un petit peu ce que c'est que cette expression là en fait donc en fait ce qu'on va faire c'est en chaque point de notre chemin par exemple si je me mets ici je vais avoir un vecteur comme ça et en fait ce qu'on va faire c'est le produit scalaires de ce vecteur f cette force f enfin de ce vecteur f par le petit élément de déplacement sur le long de la courbe que j'appelle des airs voilà alors si tu te souviens ce que c'est que le produit scalaires et bien c'est ça correspond à calculer l'intensité de la norme de mon vecteur dans le sens du déplacement des airs normes du vecteur f dans le sens du des plaies du déplacement dr x à l'intensité du déplace à la longueur du déplacement je vais faire un petit je vais faire un petit dessin peu plus gros en fait je vais vous mais sur cette partie là parce que ce sera un peu plus clair je vais le faire ici donc il disons que voilà ça c'est la partie ici de ce chemin est donc j'ai regardé ici un petit et les uns un point particulier de ma courbe en ce point là j'ai un vecteur f qui est comme ça et un petit élément de déplacement des airs qui est comme ça donc ça cf et ça c'est dr alors quand je fais le produit scalaires en fait je vais donc regarder la contribution de 2 f dans le sens du déplacement donc en fait ça conserver un projeter un projeté cette ce vecteur là sur le vecteur d air sur la droite qui porte le vecteur d r donc en fait ce produit scalaires et mesure la contribution enfin le combien f contribuer aux déplacements air déplacement dr pardon si tu es pas convaincu par tout ça retourne voir les vidéos sur le produit scalaires alors là on peut remarquer une chose c'est que la projection de f sur la droite qui portent des airs va dans le même sens que dr donc en fait ici le produit scalaires va être positif par contre quand on parcourt ce chemin dans l'autre sens donc là je peux faire exactement le même dessin mais dans l'autre sens ici en ce point là même que tout à l'heure j'ai un vecteur f qui est toujours le même il est orienté comme ça parce que le vecteur f associés à ce point dépend uniquement de les coordonnées des coordonnées de ce point ne dépend pas de la valeur de t ils dépendent et des coordonnées x et y donc ça c'est le vecteur f est par contre ce qui se passe c'est que le vecteur ds cette fois-ci stamps donc un déplacement infinitésimale de ce long de ce trajectoire mais cette fois ci on le fait dans l'autre sens donc ici le dfdr c'est cet élément là il est dirigé dans l'autre sens voilà c'est ça qui va tout changer parce que ici quand je fais la projection sur la droite qui portent des airs eh bien on voit que elle va dans le sens inverse donc ici on va avoir un produit scalaires négatif voilà donc ça c'est une différence importante et en fait ça ça fait penser que probablement ces deux quantités la c2 intégral curviligne elles sont opposées l'une de l'autre donc en fait on va avoir et galles cette intégrale le long du chemin c'est va être l'opposé de l'intégrale le long du chemin - c'est donc voilà ça c'est quelque chose qu'on peut essayer de montrer maintenant on va on va essayer de le montrer par le calcul donc on va d'abord calculé cette intégrale le nom du chemin c est ensuite calculé l'intégrale le long du chemin - c voilà alors on va commencer par calculer cette intégrale là alors je vais faire un petit peu de place donc le première chose à faire c'est d'exprimer des erreurs dans notre cas ici cr donc des airs on va l'écrire comme ça alors je vais changer de couleur dr eh bien ça va être des airs sur des td d'abord dr / d'été c'est la dérive et de r par rapport à tes donc c'est exprime de thé dans le sens du vecteur y qu'il a dérivé de x par rapport à tes plus y prime de thé dans le sens du vecteur j ça c'est la dérive et de y par rapport à t1 donc ça c'est ce qu'on a vu déjà dans plusieurs vidéos du coup on va pouvoir écrire que des herbes tout simplement x d'été donc là différentiel dr s'adonne exprime de thé d'été dans le sens du vecteur y plus y prime de thé d'été dans le sens du vecteur j'y vois là alors maintenant on va pouvoir calculer ce produit scalaires de f par br puisqu'on a exprimé de deux vecteurs dans le mêmes repères en fait on a des composantes selon le vecteur y est selon le vecteur j donc on va pouvoir calculer ce produit scalaires donc je vais le faire ici c'est le produit des composantes selon le vecteur y plus le produit des composantes ce nouveau vecteur j je rappelle à chaque fois donc cp2 xy fois exprime de tdt plus le produit d désordonnée on va dire qui est qu de xy fois y prime de thé d'été voilà donc maintenant c'est intégral alors je vais leur écrire ici l'intégrale le long du chemin c'est de f scalaires dr et bien c'est l'intégrale le long du chemin c'est de cette expression là alors je vais la réécrire en simplifiant un certain nombre de choses déjà puisqu'on est sur notre chemin n'est sur ce chemin là donc les coordonnées x et y ce sont en fait des fonctions de thé cx de thé et grecs de thé donc ça a déjà fait plusieurs fois dans les vidéos précédentes je vais faire ce changement là donc je vais avoir l'intégrale de p 2 x 2 t y de thé x exprime de thé voide était plus qu là je vais faire pareil je vais remplacer x et y par x 2 t et y de thé puisque je suis sur le chemin fois y prime de thé d'été voilà alors là j'ai une expression où il n'y a plus que la variole ou la seule variable c'était donc je vais pouvoir maintenant nommer les bornes de l'intégration donc on a parcouru le chemin c'est qui va de la valeur qui commence à la valeur est égale à et qui termine à la valeur t et galbées donc on va intégrer pour tes qui va de a jusqu à b voilà alors je peux même faire une petite simplification qui est pas mal c'est qu'en fait je peux factoriser d'été donc je vais avoir quelque chose comme ça donc là ça ça s'en va puisque le factories voilà c'est exactement la même chose simplement ça mérite de regrouper ces éléments là une seule fonction qu'on va intégrer par rapport à tes voilà alors bon ça c'est une expression qui est compliqué à écrire comme ça mais en fait elle est tout à fait calculable on a déjà vu plusieurs fois puisque c'est une intégrale simple défini a calculé entre deux valeurs a et b alors maintenant on va faire la même chose le même calcul mais le long du chemin - c'est donc je vais je vais rappeler la paramétrisation donc je vais reprendre sa le copier ça voilà donc ça c'est la paramétrisation du chemin - c'est un donc la première chose que je vais faire ici c'est calculé levêque la différentiel dr donc j'ai d'abord dr je calculais d'abord dr / d'été la dérive et de r par rapport à tes et là bas il faut que je calcule la dérive et de cette expression là dans le sens du vecteur e-plus la dérive et de cette expression là dans le sens du vecteur j en fait comme dans la dernière vidéo c'est là où les choses vont changer parce que quand je dérive ça je suis obligée d'appliquer la règle des fonctions composé puisque j'ai pas une fonction unique tenté mais d'une combinaison linéaire de tes seins d'une fonction de tes à l'intérieur donc je vais d'abord dérivés a + b - t par rapport à tes ce qui me donne moins 1 et ensuite je vais x exprime de a + b - t et ça c'est dans le sens du vecteur y ensuite lu ça va être exactement la même chose ici quand je vais dérives et y prime je suis obligée d'appliquer la règle de dérivation des fonctions composé donc je vais avoir ici - y prime de a + b - t et ça c'est la composante dans le sens dans le nom du vecteur j voilà donc finalement bon je vais enlever ça donc la dérive et de r par rapport à tc - exprime de a + b - thé dansant des vecteurs i - y prime de a + b - t le nom du vecteur gic voilà donc ça je peut en déduire comme tout à l'heure la différentiel dr alors drc jeu x d'été donc c'est moins exprime de a + b - t fouad été dans le sens du vecteur i - y prime de a + b - t dans x d'été pardon plus dans le sens du vecteur j pardon voilà alors maintenant je vais calculé le produit scalaires f x dr je vais le faire en dessous donc f scalaires dr je vais comme faire comme tout à l'heure je vais multiplier les composantes donc je vais avoir paix de xy fois - exprime de la plus belle - tdt donc ce jeu est décrite comme ça c'est moins p 2 x y voit exprime de a + b - tdt voilà ça c'est le produit des abscisses maintenant je vais ajouter le produit d ordonner donc là ça va être moins qu de xy facteur de y prime de a + b - tdt là j'ai fait exactement ce le produit de cette expression la part plus de x y voilà alors ça c'est l'expression des de ce produit scalaires là en fonction de leurs cordes et coordonnée selon les vecteurs i et gien maintenant si je veux faire l'intégrale le long du chemin - c'est de ça donc ça me donne l'intégrale long du chemin - c'est de ça d'accord alors maintenant bon je peux mettre des parenthèses ce sera plus joli je peux faire un certain nombre de choses comme tout à l'heure comme on est sur le chemin x et y je peux les remplacer par les valeurs correspondantes ici donc là je vais faire ça je vais écrire que c'est alors égale à l'intégrale le long du chemin - c'est de moi alors je garde mes crochets - p 2 x alors ixe et xe de a + b - tu es un x2 a + b - t et 2 y 2 a + b - t voilà x exprime de a + b - t fouad était alors je vais factoriser les dt un jeu les écrire à la fin donc je vais en fait fermer le crochet ici et multiplier tout par d'été ici donc je vais avoir moins qu ii x2 a + b - tu es aussi x de a + b - t et 2 y 2 à + b - thé x y prime de a + b - t voilà hélas donc si tu redéveloppe se retrouve exactement cette expression là alors là déjà je peux j'ai exprimé j'ai une expression qui dépend que de la variable tu es donc je vais pouvoir fixer les bornes de l'intégration donc ça ça c'est une intégrale que je vais calculé pour la valeur t qui va donc de a jusqu à b voilà comme tout à l'heure bon tu dois avoir déjà une idée de ce qu'il faut faire maintenant parce qu'on a déjà fait ça dans la vidéo précédente alors en fait je vais faire un changement de variables je vais ici posée je vais prendre une variable que je vais appeler eu et eu ça va être en fête a + b - t donc en fait c'est cette expression là que je vais changer celle là aussi celle là aussi celle là aussi celle là aussi est celle là aussi alors ce que je peux faire déjà ses calculs et des u12 eu avec ce changement de variables c'est moins d'été ça pourtant convaincre il suffit que tu dérive tu écris des la dérive et de hull par rapport à tes donc ses débuts sur d'été ça fait exactement - 1 donc après tu peux x d'été et y obtient exactement cette expression la voilà maintenant je verrai écrire mon intégral curviligne donc c'est l'intégrale le long du chemin moins c'est 2 f scalaires dr et donc je vais les récrés la réécrire en fonction du paramètre eu maintenant alors la première chose que je peux faire c'est calculé déjà les bornes l'intégration un ici j'étais qui varie de a à b il faut que je regarde de combien de 2,2 ou à ouvrir a eu 1 donc on va déjà calculé ça quand tu es est égal à aa eh bien on avait déjà vu ça dans la dernière vidéo us est égal à a + b - a donc c'est égal à b et kanté est égal à b et bien eu est égal a + b - b donc à a voilà maintenant je vais réécrire cette expression là en fonction de la variable eu donc les bornes d'intégration alors uva va aller de b ça c'est ce que la valeur de hughes en tête et gala a jusqu'à la valeur de lui quand est égal à b c'est à dire ah voilà ensuite je vais réécrire cette expression à l'intérieur donc je vais leur écrire comme ça c'est moins p 2 x 2 u y de u là j'ai tout simplement remplacer une à plus d - tepa rue c'est ce que je vais faire partout multiplier du coup paris exprime de eu moins qu de u2 x2 eu par dont x y de u1 parfois y sécu 2 x 2 u et y devenu x y prime de u1 je ferme le crochet et joe a multiplié sa part d'été alors il faut que j'exige que je remplace d'été par sa valeur en fonction des u11 alors ici j'ai des u qui est égal à - d'été ça veut dire que des thés sera égal à moi d damman multiples et 1 to par mois'' par -1 donc ici je vais avoir il faut que je multiplie sa part moins d u donc je vais mettre le moins de vent et ici je vais avoir des voilà donc ça c'est ta part alors là j'ai pas mal avancé j'obtiens une expression qui est une intégrale défini en fonction du paramètre eu maintenant je vais faire je vais essayer de voir quelques simplifications donc la gse - déjà donc je vais pouvoir renverser l'intégrale les bornes de l'intégration et du coup changé le signe donc ça va être l'intégrale de a à b de cette expression là en fonction de déu mais en fait ce que je peux faire aussi c'est factoriser ceux - qui est là donc aussi je factories ceux - je vais avoir un - qui va sortir ici et puis donc là je vais avoir que des plus long qu'en fait je vais leur écrire comme ça ça va être p 2 x 2 u y de eu x exprime de eu plus qu ii x2 eu y de eu x y prime de hull le tout multiplié par d voilà donc là on a obtenu une expression qui est tout à fait calculable en fonction de la variable lui qui varient entre a et b donc je vais reprendre l'expression qu'on avait trouvé pour l'intégrale de ce champ vectorielle le long du chemin c'est alors je vais la reprendre voilà c'est cette expression là hein je vais reprendre cette partie là seulement voilà tout ça je vais l'écrire ici donc je remonte un petit peu ça fait un peu de manipulation je suis désolé voilà donc ici ça c'est l'intégrale le long du chemin ces deux f scal rdr qu'on a exprimé de cette manière là alors si tu regardes c'est qu'on a fait exactement le même raisonnement dans la vidéo précédente avec les fonctions avec une fonction scalaires en fait cette intégrale là c'est exactement la même que celle ci un sans compter le cygne noir en fait si je prends cette expression là et que je me pose une égalité eh bien je vais obtenir exactement cette expression là donc finalement on retrouve le résultat qu'on avait subodoré par l'intuition c'est à dire que l'intégrale le long du chemin c'est de f scalaires dr et bien c'est l'opposé de l'intégrale du sud le long du chemin moins c'est 2 f scalaires dr voilà donc contrairement à ce qui s'est passé dans le cas des fonctions scalaires dans le cas d'une fonction ce cas là on avait vu dans la vidéo précédente que c'est l'intégrale curviligne ne dépendait pas du sens de parcours du chemin par contre dans le cas d'un champ vectorielle l'intégrale que curviligne dépend du chef du sens dans lequel on parcourt le chemin est en fait on a cette relation là entre les deux l'intégrale curviligne dans un sens c'est l'opposé de l'intégrale curviligne dans le sens inverse voilà brassard était là pour aujourd'hui c'était une vidéo un petit peu longue