Introduction aux intégrales curvilignes

alors si on est en deux dimensions et qu'on cherche à calculer la surface comprise sous une courbe une portion de plans compris sous une courbe et on a des outils très efficaces qu'on a déjà vu est bon je vais rappeler un petit peu ce que c'est alors c'est je vais faire un dessin donc je traçais mais axe voilà fait un repères habituels orthonormé x/y orthogonale en tout cas et puis là dessus mais j'ai je vais tracer une courbe donc ça c'est la coupe représentative d'une fonction que j'appelle par exemple f1 donc c'est la courbe d'équations y égale f 2 x voilà et puis admettons que je cherche à calculer la surface de la portion de plans comprise sous la courbe entre la courbe l'axé des abscisses et puis les droites d'équations on va dire de entre ces deux valeurs là x est égal à et x et galbées voilà eh bien je te rappelle ce que le raisonnement qu'on m'avait fait c'est que on s'était placé un point entre a et b évidemment ici par exemple et puis à partir de donc ça c'est une abscisse données à partir de cette app si cela on avait fait une petite augmentation donc une variation de l'abc ce alors habituellement les variations de l'ap 6 on les appelle les variations en abscisse on l'aveyron les notes delta x avec un delta majuscule mais là on fait ce qu'on va faire c'est prendre une variation vraiment très très très très petit infinitésimale et dans ce cas là on va l'appeler des x donc cette variation la cette distance qui est ici c'est une distance que j'appelle des x qui est infinitésimal et puis ensuite en fait je vais calculé l'image de ce point qui est ici sur la courbe cf 2x et donc je vais calculer la hauteur la leyre de ce rectangle ici de base de hauteur f 2 x ici ça cf 2 x kehl à ce point là cf 2 x et 7 la bassée dx donc l'air de ce rectangle c'est simple à calculer cf 2 x x dx la base soit la hauteur alors ensuite ce qu'on fait c'est que en fait on a ici on a un rectangle c'est une bande infiniment main st ici est donc ce qu'on imagine c'est recouvrir toute notre surface avec des bandes de ce genre là infiniment mince et ensuite on va donc on avoir une infinité puisqu'elles seront infiniment mince en fait on fait tendre ce dx vers zéro donc on obtient vraiment quelque chose d'infiniment minces tandis que des x et un infinitésimale et donc on a on va se retrouver avec une infinité de rectangles infinitésimaux comme ça qu'ils vont recouvrir toute notre surface et on va du coup pouvoir les additionner et le fait de les additionner ça revient à faire ce qu'on avait appelé une intégrale en fait c'est une intégrale défini qui va de a à b voilà et donc cette quantité qui est là qui représentent donc une somme d'une infinité de rectangles infinitésimaux et bien ça nous donne exactement l'air de la surface qui est comprise sous la courbe entre les valeurs a et b donc de toute cette surface là que je lâche sûrs voilà donc ça c'est vraiment l'idée de base qu'on a utilisées aussi dans d'autres cas pour calculer des volumes de compris sous des surfaces enfin on a utilisé cette cette technique l'a assez souvent alors là ce qu'on va essayer de faire ses calculs et des des surfaces là ici on a quelque chose en fait qui se passe dans un plan on va se mettre maintenant dans un espace à trois dimensions et on va essayer de calculer des surfaces beaucoup plus compliqué que ça en fait on va du coup d'une certaine manière étendre cet outil de l'intégration à des cas beaucoup plus une classe de problèmes beaucoup plus large alors ce que je vais faire la manche je vais garder ça en fait du coup je vais me mettre dans un espace à trois dimensions donc je peux par exemple imaginer que j'ai renversé aplatissait fin j'ai basculé cette taxe y donc du coup je vais obtenir quelque chose qui va être en perspective alors ça va être je vais essayer de le tracé comme ça alors ici je vais avoir la kz2 y la celac ce des x et puis ici je vais avoir l'axé vertical des décotes l'ex des aides voilà on peut l'appeler comme ça c'est l'ex des aides donc ça c'est l'origine du repaire ici j'ai l'accès y l'ag lax dx et là j'ai lax des z voilà ce qu'on peut faire c'est imaginer la même chose au départ c'est à dire que faut vraiment il a essayé de voir de visualiser le fait que j'ai basculé lax y en fait ici on voit en perspective mais je vais d'abord me concentrer sur ce qui se passe dans ce plan là ce que je peux avoir dans ce plan là xy alors je peux avoir une courbe aussi n'importe laquelle alors je peux dessiner n'importe quel type de courbe là dedans qui se passe dans le plan x y mais en général quand on fait quand on prend une courbe dans le plan xy on appelle ça on peut appeler ça un chemin en fait c'est un une courbe qui va relier qui va partir d'un point est arrivé à un autre point du plan de ce plan horizontal qui est ici alors de manière générale quand on veut parler d'une courbe dans ce plan là pour que pour traiter le cas le plus général possible on va utiliser une équation paramétrique alors je vais définir un chemin qui va être défini de cette manière là x c'est une fonction d'un paramètre txt g de thé la fonction de l'appel g et y c'est une autre fonction que je vais appeler h de ce même paramètres t voilà donc ça c'est une un système d'équations paramétrique qui va me définir un chemin dans le plan dans le plan x y alors je peux préciser que tu es varie entre a et b entre deux valeurs a et b voilà alors je vais maintenant essayer de dessiner ça donc par exemple si je prends le prend pour tes gars là pour tes gars à je vais avoir un point que je vais noté à qui va avoir comme coordonnées ben x son app si ça va être j'ai 2 à 1 g2a et sont ordonnées ça va être h 2a voilà donc ce point là je peux plus le budget de placer ici dans le plan donc c'est par exemple je veux dire qu'il est là donc ça en fait cette coordonner la sas et l'abscisse donc c'est g2a et puis sont ordonnées ici ça c'est la valeur h 2a et puis ensuite je peux avoir un autre point b qui est celui qui correspond à la valeur t et galbées donc je vais avoir un autre point ça va être son habsi savage et de baies et sont ordonnés ça va être hd et voilà donc ça me donne disons que je vais le placer ici là voilà alors là en fait pour chaque valeur de b je vais avoir un point en fait c'est ça l'équation barrette paramétrique c'est ça à chaque valeur de t on construit on m'associe un point de ce plan x y donc ça va me donner en fait une courbe dans le plan qui va aller de a jusqu à b donc ça va être quelque chose que je peux dessiner comme ça par exemple alors on dit que cette courbe est un chemin qui va de a jusqu à b parce que en fait ce qu'on fait c'est que à partir de la valeur tes gars là ont fait augmenter jusqu'à la valeur b à chaque fois on obtient un point du plan donc ça décrit un chemin qui va de a jusqu à b effectivement voilà alors tu dois de demander pourquoi j'ai placé un axe vertical ici puisque pour l'instant j'ai uniquement regardé ce qui se passait dans le plan x y donc effectivement on va se servir maintenant de cet axe horizontal en fait on va supposer qu'on a une fonction maintenant en fait à chaque point du plan on associe une ombre une valeur et donc on va en fait avoir devoir considérer une fonction alors on va dire que c'est une fonction d'équations z égale f 2 x y donc à chaque valeur chaque point du plan horizontal donc chaque valeur de x et de y on associe une valeur une troisième valeur que donc je vais placer selon l' axe d aide et ça en fait on l'a déjà vu ce cas là ça va nous donner une surface en fait thomas à pouvoir tracer une surface qui représentait par cette équation là donc je vais essayer d'en dessiner une je vais faire quelque chose d'assez simple voilà comme ça disons voilà ça c'est une portion de cette surface qui est dans l'espace 3d à trois dimensions au dessus de notre chemin quelque part au dessus de notre chemin alors ce qu'on va imaginer maintenant c'est faire monter une clôture par exemple on peut voir ça comme ça monter un mur à partir de que le long de ce jeu une clôture en courbe du goût qui suivra ce chemin là et en fait on va la faire monter tout droit jusqu'à la surface qui est qui et au dessus donc par exemple alors si je vais je vais faire un dessin par exemple ce point là il va arriver ici on va dire ce point qui est ici je vais le faire il va être là par exemple le point qui est là sera ici et puis le point b extrémités du chemin on va dire que lé là donc si je dessine je vais voilà le l'intersection de notre clôture avec la surface donc vraiment imaginer que je fais monter tout droit verticalement c'est une clôture à partir de ce chemin et là je vais tracé l'intersection avec la surface qui est en haut donc ça va donner quelque chose que je peux dessiner qui va être comme ça c'est à peu près ça et donc là le problème qu'on va se poser c'est de calculer la non pas on va pas se passer dans un plant parce que là il ya aucun plan qui contient ce cette clôture 1 convient de construire donc on va essayer de calculer la leyre de cette clôture alors je vais je vais essayer de la tracer de manière un peu plus joli donc ça c'est derrière ça se voit pas ici voilà et quelque chose comme ça donc ça je vais le hachuré ça c'est devant c'est une partie qui est devant la ici on a la partie qui cette partie là je vais assurer aussi voilà je plaide prendre une couleur un peu plus forte pour ça voilà ce que je sais pas si tu arrives à voir le mur dont on doit calculer la surface voilà c'est un mur en fait c'est on est dans un cas comme celui ci comme celui de l'intégral sauf que ce ne se dompte ont pas c'est pas un segment de droite c'est un chemin curviligne gemain courbe donc c'est un petit peu plus compliqué mais sinon c'est vraiment un peu le même problème tordu disons rendu courbe voilà donc là on va essayer maintenant de calcul et de trouver des techniques pour mesurer l'air de semur curviligne et que j'ai tracée ici alors attention ici ça a l'air d'être plat le jeu l'intersection avec la surface n'est pas plan puisque la courbe et n'est pas plat ni 6 1 c'est un petit peu difficile à dessiner mais bon voilà alors comment est ce qu'on peut faire ça on va garder la même idée que ce qu'on a utilisées ici dans le cas de l'intégrale défini en une dimension dans le cas de aussi de la mesure de volume c'est à dire que on va regarder des éléments infinitésimaux est en fait ici ce que je vais faire c'est commencer par me placer un tout petit alors je vais prendre une couleur qui va être voilà un peu visuel celle là je vais me placer ici par exemple donc là je suis une certaine on va on appelle ça une abside curviligne c'est à dire que en fonction delà du paramètre t on définit l'endroit où on se place sur la courbe de cette manière là assez s2 t&c l'abscisse curviligne bon enfin ça c'est pas très important ce que je vais faire c'est que à partir de 7,2 ce point ici de 7,6 curviligne ici je vais prendre une toute petite variation de thé qui va en fait me faire avancer un tout petit peu sur ce chemin donc en fait qui va me donner une toute petite variation de l'abc sur vigne donc voilà je vais me retrouver avec en fait un tout petit une toute petite variation de ce chemin donc ça je vais l'appeler dsds parce que c'est une petite variation de l'abc ce club ligne est en fait à partir de ce point ici je vais maintenant monter je vais calculé en fait je vais reprendre exactement le même principe que là je vais aller regarder l'image de ceux de cette extrémité la demont de ma petite base en fait c'est comme une petite base ici cds et je vais donc ça ce point là ça cf 2 x y qui correspond à ce point là et puis du coup je vais quelque pouvoir calculer la hotel à la surface de ce rectangle là qui est un rectangle infinitésimale aussi que je h sur anvers là donc je peux calculer la surface de ce rectangle là alors je vais le faire envers cf de xy et la hauteur de mon rectangle x ds du pied par ds qui est la base de ce petit rectangle la voilà donc comme ça c'est exactement le même principe que ce qu'on a utilisée dans le cas de l'intégrale défini à une dimension 1 alors maintenant on fait exactement lorraine le même raisonnement en fait là on a des petits rectangles infinitésimaux qui vont recouvrir notre mur ici et puis on va pouvoir les aliments à une infinité 1 et on va devoir les additionner alors la variable ici c'est que on a une certaine valeur on a une certaine valeur tu es ici on va partir de thé et gala a jusqu'à tes égal à b donc finalement on va faire une intégrale pour tes qui va de la valeur a jusqu'à tes et galbées de ces petits rectangles ici voilà donc on obtient une quelque chose qui ressemble à une intégrale des films et alors tu vas te dire comment est ce que je peux faire pour calcul pour nous servir de cette expression puisque c'est pas comment la calculer iliad était il ya des x et des grecs et des est sans fin c'est ça pas l'air du tout évident à calculer donc donc en fait il faut qu'on travaille encore un petit peu pour rendre cette expression la ex plus explicite pour le calcul alors bon il ya une première chose c'est que quand on écrit f2 xy là on peut facilement faire intervenir la variable t puisqu'on se situe sur ce chemin donc nos variable x et y en fait elles vont dépendre de la variable t alors là comme je vais avoir besoin de je vais avoir un petit peu besoin de place pour des manipulations algébrique donc je verrai écrire ça ici on doit calculer l'intégrale bourthes et qui va de a jusqu'à b2f de xy ds alors là je vais pas écrire f2 xy je vais remplacer x par sa valeur sur le chemin donc c'est une valeur c'est d'une fonction de la variable tu es donc ici je vais écrire non pas x mais x2 t1 on pourrait écrire g de thé on peut l'écrire directement comme ça cg de thé parce que ça c'est notre x et puis pour la valeur y bah je vais la remplacer aussi puisque je sais qu'on est sur ce chemin donc la valeur y c'est aussi l'image du pointe et d'un certain pointé par la sangle à la fonction h donc voilà je vais écrire ça comme ça et puis la gse ds alors c'est déjà pas mal parce qu'on a fait intervenir la variable tu es dans cette expression de f ici maintenant il faudrait qu'on arrive à faire apparaître la variable tu es aussi dans cet élément dsi si un bon je suis pas du tout en train d'essayer de faire un raisonnement rigoureux mathématiquement rigoureux je te donne juste un petit peu l'intuition du raisonnement qu'on est en train de faire alors donc on va essayer d'exprimer maintenance eds en fonction de la variable t alors pour ça je vais en fait je vais retrouver dessiné le plan xy mais je vais le dessiner vue de haut pour que ce soit plus facile donc je vais le faire ici voilà ça c'est l'accès y ça c'est l'ex dx donc ici c'est y ici c'est x donc pour la valeur la valeur d égal à dieu je suis à peu près on va dire ici ça cx2 à ses jets d'oeufs a plutôt celle apsys du point a donc on va se dire qu'on est là donc ça c'est h de g ça c'est h-2a oui c'est ça et puis du coup en fait la courbe elle fait quelque chose comme ça voilà est ici là je suis âgée de b et la c h 2b voilà donc ça c'est le point b et ça c'est le point a donc voilà ça c'est notre chemin dans le plan xy alors ici baissé pour la valeur t et galbées j'aurais quand même leur écrire est assez pour la valeur t égal à voilà alors ici on avait matérialisé un petit élément ds le faire ici mais je vais prendre une autre couleur un peu plus vive cet élément la ds en fait on avait vu que c'était un tout petit changement de l'ap 6 curviligne toute petite variation de la speed l'abscisse curviligne je vais faire un peu plus grand convoi voilà donc la tis curviligne on peut dire que c'est en fait un tout petit déplacement sur le chemin qui est l'âme donc on part de ce point là on regarde un tout petit déplacement sur le chemin et on appelle ça des aces c'est un déplacement infinitésimale sur le chemin on va appeler on va le dire comme ça c'est un déplacement infinitésimale sur le chemin voilà alors est ce qu'il ya une manière de relier 7,7 variations infinitésimales sur le chemin ce déplacement à faire infinitésimale sur le chemin à des déplacements à des variations infinitésimales de la variable x et de la variable igac alors bon voilà je on est on est vraiment au niveau intuitif en fait pas quelque chose de très rigoureux donc on peut s'imaginer que si on va projeter par exemple c'est les deux les deux extrémités de monde maria sion infinitésimale ds est en fait ici ça ça va être une variations infinitésimales dx ça ça ici c'est quelque chose que je peux appeler dx est une variation infinitésimale de des abscisses et puis de la même manière je peux aussi projeté sur l'axé des ordonnées et j'obtiens cette distance là donc c'est une variations infinitésimales de l'ordonner donc ce que je peux appeler comme je peux appeler d y voilà mais en fait là on peut appliquer le théorème de pythagore et du coup ça nous donne cette expression de ds je vais écrire ici ds c'est donc on peut dire que dsk ray cdx au carré la variations infinitésimales des abscisses plus la variation infinitésimale désordonnée au carré élevée au carré donc on trouve que des aces c'est ça peut s'exprimer comme ça ses racines carrées de dx au carré plus d y au carré voilà alors là on a déjà avancé pas mal parce que on a exprimé ce ds en fonction des coordonnées x et y un des variations des coordonnées x et y donc c'est déjà un pas supplémentaire alors je vais l'écrire ici donc ça c'est égal cette intégrale là elle est égale à l'intégrale porter qui va de a jusqu'à b2f donc de la coordonnées x que j'exprime comme ça c'est g de thé et de l'accord donné y que j'exprime pardon comme sa hache de thé et puis là je vais remplacer ds par cette expression là que j'ai trouvé ici voilà donc cdx carré plus d y carré alors tu dois pas avoir l'impression qu'on a beaucoup avancé parce que finalement cette expression là elle a l'air encore plus compliqué que l'autre donc il faut qu'on travaille encore un peu plus pour arriver à voir ce que ça veut dire alors il ya quelque chose qu'il faut pas oublier c'est que on a une chemin qui est décrit par le désert systèmes d'équations paramétrique et dans ces cas-là on peut en fait dériver on peut calculer facilement la dérive et 2x par rapport à t1 la dérive et 2x par rapport à tes alors je vais l'écrire comme ça si x c g de thé à ce moment-là dx sur d'été dx sur d'été là on fait une manipulation joueurs je vais faire une manipulation de ces quantités infinitésimales donc c'est pas quelque chose de très habituel mais bon on va quand même procéder de cette manière là dx par rapport à tes c'est la dérive et 2x par rapport à tes donc c'est en fait je peux noter comme ça c'est geprim de thé et du coup en fait si je multiplie des deux côtés par d'été bien je vais avoir que des x cg prime de thé x d'été donc j'obtiens une manière d'exprimer jeu dx en fonction d'eux j'ai pris mes deux d'été en fonction des thés en tout cas ces sacs qu'on essaie de faire depuis le début alors maintenant je peux faire la même chose exactement avec y/y ch de thé on m'a dit ça c'est la définition de la variable de la fonction qui définit y en fonction de tes et du coup on peut dire que la dérive et de y par rapport à tes je l'écris comme ça c'est des y sur d'été et bien ch prime de thé voilà et du coup quand je fais la même chose que tout à l'heure je vais multiplier sa part par d'été des deux côtés donc j'obtiens que d y ch prime de thé alors il faut suivre un petit peu ce que je fais effectivement ça tu vois peut-être pas où je veux en venir mais en fait ça ça va nous permettre d'exprimer le cet élément en date de cette variation de l'abc ce curve il en fonction des 2 dt cette fois ci donc maintenant je vais reprendre l'expression de ds qui est ici et je vais essayer de faire un peu de manipulation algébrique pour essayer de faire intervenir la quantité d'été la variation de la variable t alors je vais écrire ds donc ds c'est donc la racine carrée de dxo carême et dx au carré maintenant je vais prendre je vais remplacer par cette expression là donc ça va être geprim de thé x d'été le tout au carré plus d y au carré que je vais remplacer par h prime de thé alors là j'ai oublié j'ai oublié ici c à d y ch prime de tréfois d'été évidemment j'avais oublié de x d'été donc là je remplace des grecs au carré par cette expression là donc ch prime de thé x d'été le tout au carré voilà alors maintenant je peux factoriser ici d'été au carré alors je vais doucement donc je réécris ca est en fait en factories endettée au carré donc j'ai racine carrée 2 alors bon je vais déjà écrire d'été au carré d'été au carré x donc ici j'ai ce geprim de thé au carré plus h green de thé au carré voilà alors je vais fermer la parenthèse ici j'ai oublié de la ferme et voilà alors ici maintenant je peux en fait racine carrée de dt au carré d'as et des t1 donc je vais avoir ici racine carrée de geprim de thé au carré plus h prime de thé au carré et tout ça je dois le x d'été donc finalement c'est quand même là ça y est j'ai bien avancé parce que j'ai exprimé mon élément de ma variations infinitésimales d'apsys curviligne ds en fonction de dt alors je vais revenir sur cette intégrale qui est ici donc ça me donne finalement l'intégrale pour tes qui va de a jusqu à b 2f 2g de thé x h de thé x alors l'élément ds qui est ici donc ses racines carrées de geprim de thé au carré plus h prime de thé au carré x d'été voilà alors ça c'est une expression qui a l'air bien plus compliquée que la précédente informellement quand on la regarde comme ça ici ça avait l'air beaucoup plus simple parce que c'est plus synthétique disons mais là on savait pas comment partir puisqu'on avait des td xd y est ds donc c'était pratiquement pas possible de voir comment est ce qu'on pouvait effectivement calculer cette intégrale là alors que cette expression qui est ici elle est plus complexe à regarder mais c'est une intégrale qui dépend uniquement de la variable tu es donc c'est quelque chose qu'on va pouvoir effectivement calcul est donc cette expression là qui a l'air plus compliqué est en fait beaucoup plus simple parce qu'elle nous ramène en fait à oka d'une intégrale défini d'une seule variable chose qu'on sait faire alors bon là ça a l'air un peu abstrait comme ça dans la prochaine vidéo va faire effectivement calcul d'intégrale curviligne parce que ce qu'on vient de faire en fait ça s'appelle une intégrale curviligne puisqu'on fait l'intégrale le long d'un chemin d'un chemin courbe donc c'est pour ça qu'on appelle ça intégral curviligne alors voilà on va s'arrêter là avant de s'arrêter je voudrais reprendre un petit peu le raisonnement qu'on a qu'on a fait ici on a d'abord regardé une petite variation le long du chemin qu'on a appelée ds et ensuite on a regardé on a calculé la hauteur la hauteur du rectangle qui avait pour base cette petite variation et on a ensuite calculer la somme donc c'était cette intégrale l'aï si la somme de tous ces rectangles infinitésimaux le long du chemin de la courbe donc porter qui va de a jusqu à b et ensuite ce qu'on a fait c'est exprimer nos éléments donc f2 xy en fonction de la variable t ça c'est du coup c'était cet élément là qu'on retrouve ici un cf de xy notre f de xy donc c'est la hauteur de notre rectangle simplement j'ai juste rempli on a juste utilisé le fait que x est défini comme étant est une fonction de la variable t et y aussi une fonction de la variable t et puis ensuite cet élément là c'est cet élément qui est ici ça c'est notre déesse notre variations infinitésimales de la deûle apsys curviligne donc de la position sur le chemin qui est là et on avait exprimé sa à l'aide du théorème de pythagore en décomposant la variation des aces en une variation selon l'axé des x et une variation selon l' axe d y voilà donc en gros c'est ça et on obtient effectivement une intégrale qu'on sait calculer même si elle a l'air compliqué parce que c'est une intégrale défini d'une seule variable qui est la variable t voilà on va s'arrêter là et donc la prochaine vidéo c'est on fera un calcul d'intégrale curviligne avec des fonctions précises ce qui rendra le le cas un peu plus concret que la voilà donc à plus tard