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Premier exemple d'intégrale curviligne

Exemple concret d'utilisation d'une intégrale curviligne. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

la dernière vidéo sur les intégrales curviligne était vraiment très abstraite on avait utilisé une fonction f sans définir quelle était cette fonction n'avait utilisé aussi des fonctions jets h tout ça sans donner aucune définition précise de ses fonctions expression précise de ses fonctions plus tôt donc là ce que je voudrais faire c'est un exemple plus concret en prenant une fonction dont on connaît l'expression un chemin aussi dont on connaît l'expression donc voilà alors je vais commencer on va prendre la fonction f qui est défini comme ça f2 xy ses x x y donc ça ça va décrire une surface dans l'espace à trois dimensions projet j'ai tracé le graphique de ceux de cette surface donc on va regarder ça tout à l'heure et puis on va aussi prendre un chemin dans le dans le plan xy dans le plan d'altitude 0 et ce chemin lever le gel définir comme ça par une équation père et parametric donc fait la plaie c'est c'est un système d'équations paramétrique alors x ça va être caussinus de thé et y ça va être sinus de thé voilà moi ça c'est le système d'équations paramétrique qui décrit le chemin c'est dans le plan xy d'aptitude 0 alors évidemment il faut il faut préciser quels sont les quais les l'intervalle des valeurs de t1 donc on va dire que tu es varie de 0 jusqu'à 10 on va exprimer sans gradient jusqu'à puis sur deux voilà en degré ça serait 90 degrés mais ici on parle en radiant donc seppi sur deux ou alors peut-être que tu as déjà compris ce qu'était ce chemin là mais je vais dessiner rapidement pour qu'on voit de quoi on parle alors je vais dessiner donc le plan x y c'est le plan de base donc ça c'est l'accès y ça c'est l'ex dx alors maintenant on va essayer de visualiser le chemin donc déjà l'extrémité de départ c'est celle qui est obtenue pour la valeur t et gagnent 0 donc quand est égal à zéro x est égal à caussinus 2 0 ça ça fait 1 et puis y est égal à sinus 2 0 qui fait zéro donc pour tes égal à zéro notre point il est ici hein donc ça c'est un donc ça c'est l'endroit où on est canton quand la variable t est égal à zéro et puis on va regarder l'extrémité finale donc elle est obtenue pour tes égale pis sur deux donc c'est x c'est caussinus de pi sur deux ça ça fait zéro et y ses sinus de pi sur deux ça fait 1 donc pour tes égale pis sur deux on est ici ça c'est un donc ça c'est l'endroit où on est pour tes égal pis sur deux donc c'est l'extrémité finale de notre chemin et en fait d'un set c'est ce système d'équations paramétrique va décrire en fait ce premier cadran du cercle ce premier quart de cercle pardon une portion de cercle dans le premier cadran c'est le premier quart de cercle si on prend par exemple tu es égale pis sur quatre est bien les coordonnées du poing seront racines de 2 sur 2 et racines de deux sur deux donc on sera ici est que en fait à chaque valeur de thé donc si je prends une valeur de t je ne sais pas disons par exemple puis sur six jeux seraient à peu près là et ensuite puis sur 4 je serai là puis sur trois je serai là voilà donc petit à petit quand et varie entre 0 et pis sur deux je me je me déplace sur cette portion de cercle voilà alors maintenant ce qu'on va imaginer de faire c'est de dresser de prendre cette cette ligne de base ce chemin de base pour dresser une clôture jusqu'à atteindre cette surface là ce qu'on a fait dans la dernière vidéo de manière très générale ici on va le faire avec ce chemin et avec cette surface qui est ici alors j'ai préparé un j'ai tracé le graphique de la surface ici fff qui représentait la fonction f la voilà alors ça c'est deux fois la même vision jeu juste tourner me regarder ça dans des angles différents donc pour être clair ça c'est dans les deux cas c'est la surface d'équations z égale f2 xy égal en fait c'est x y donc ça c'est cette surface là ici mais c'est aussi celle là voilà alors sur 7 sur ce graphique là sur cette vue là l'acce dx il est ici c'est ça la kz dx est en fait il va de 1 à 2 donc 1 c'est là à peu près et donc ça c'est un et sa c2 et puis ici c'est la kz2 y qui part comme ça derrière donc en fait il est comme ça ça c'est la kz2 y et puis là c'est l'axé vertical la xtz voilà donc si je devais regarder la portion de cercle le quart de cercle que qui représente le chemin dont on va s'occuper maintenant je vais il faudrait le tracé i ci dessous un paon part de là ça c'est quand on est pour la valeur est égale à zéro on est ici et puis en fait on ferait un espèce de un cercle sur le plan x y ici c'est pas un espèce de sexe d'un cercle vraiment jusqu'à cette valeur là et ses dessous c'est sous la sous la courbe puisque c'est sur le plan xy qui est là voilà donc en fait on le verrait pas puisque la surface et dessus alors de l'autre côté là sur cette vue là on va voir un petit peu mieux le chemin on a alors je vais comme tout à l'heure ici c'est la kz dx ça c'est l'axé des x lax d y il est là c'est celui qui est là donc ça c'est l'ex d y et puis l'ex des aides c'est celui là voilà alors si je dois placer le chemin ici le nom c'est notre quart de cercle du coup et ben je peux le faire comme ça en fait je parle je vais le faire une autre couleur on va dire qu'ici c'est un ici c'est un donc pour la valeur est égale zéro je suis là et je vais tracé à quart de cercle dans le plan xy qui va être comme ça et j'arrive ici pour la valeur est égale b1 alors le problème donc là c'est ici en fait cette partie là elle dessous ça c'est là c'est ce qu'on voit effectivement et puis l'autre partie est les dessous là aussi on arrive dessous j'espère que tu arrives à visualiser ça alors mais dans ce qu'on va faire le problème qu'on se pose c'est qu'on va monter une clôture à partir de ce donc avec comme base ce chemin qui est là et on va la montée jusqu'à ce qu'on rencontre à la clôture la surface qu'elle a donc ça va être en fait le toit de notre clôture donc je vais essayer de le dessiner alors en fait on va c'est comme si on monte chaque point là comme ça on monte ça jusqu'à jusqu'à rencontrer la surface voilà comme ça ça donne quelque chose comme ça et donc finalement on va se retrouver à voir le haut de notre notre clôture va faire quelque chose comme ça voilà c'est l'ère de cette surface là que je vais du coup je vais essayer de le jouer la jurée un l'air de cette surface qu'on va essayer de calcul et maintenant voilà j'espère que tu rêves avoir un peu de quoi il s'agit alors ici c'est le chemin dont on a donné les équations paramétrique ici c'est ce chemin là et puis la surface donc le sommet de notre clôture c'est la fonction s qui donnait par cette expression la f2 xy égale x ou y voilà alors la dernière fois on a vu ça de manière très générale doit peut-être trouvé ça un peu embrouillé d'ailleurs tellement c'était général mais l'idée de base c'était qu'on avait pris ici un petit déplacement sur notre chemin de base et ensuite on avait regardé la hauteur la hauteur a ici donc c'est en fait l'image de ce point sur la fonction donc cette hauteur là on va pouvoir l'exprimer grâce à la fonction f et puis ensuite on avait calculé la leyre de ce petit rectangle qui étaient là cette bande qui est ici ça cds donc on avait obtenu de cette manière là une infinité de deux petites bandes infinitésimale qui recouvrait toute la surface surface qu'on cherche à mesurer et puis on avait fait une haie d'une intégrale pour calculer pour en fait additionner tous ces rectangles en avait fait une intégrale pour tes qui va de a c'est à dire 7 exprimer cette extrémité là jusqu'à b cette extrémité la voilà donc finalement ce qu'on avait obtenu c'était quelque chose qu'on avait exprimé comme ça hein c'est l intégrale pour tes qui va de le la valeur de départ c'est zéro donc tu es qui va de zéro jusqu'à pis sur deux de f on va écrire directement l'expression de f2 xy fois dsk notre petit déplacement sur le chemin ici un cds qui est là voilà ça c'est un premier pas bon je vais aller doucement comme ça ça sera un petit peu une révision par rapport à la vidéo précédente ce qu'on avait fait c'est qu'on avait réussi à exprimer notre notre petite variation de l'abc ce curve il initie du déplacement sur le chemin eh bien on l'avait exprimé de cette manière la ds c'était la racine carrée un 'think arrêt de dx au carré plus d y au carré c'est à dire qu'on avait exprimé une petite variation ds sur notre chemin en fonction d'une variation donc ça cds qu'on avait exprimé en fonction d'une variation des abscisses qui hélas a cédé x et d'une variations désordonnées qui hélas d y ça c'est tout simplement le théorème de pythagore en fait on avait été encore un peu plus loin puisqu'on avait exprimé cet élément ps en fonction d'eux des dérivées partielles 2x et de y en fonction de tes au fait ça revenait à faire intervenir là dedans apparaître là dedans leu leu l'élément d'été l'élément infinitésimale d'été et en fait on avait fait comme ça on avait x d'été au carré donc ça donnait dx sur d'été au carré plus d y sur d'été au carré est donc là et pour pour pouvoir avoir ça il fallait multiplier partout par d'été aux caresses c'est à dire que du coup on avait ici soit enfin c'était tout ça fois d'été au carré que vous pouvez faire sortir du coût de la racine donc finalement on avait écrit sade de cette manière là le jeu est en train de reconstruire la formule qu'on avait déterminé la dernière fois alors du coup maintenant je peux réécrire cette expression là en remplaçant ds par cette expression là qui fait intervenir la variable t1 donc je vais leur écrire ici donc c'est l'intégrale pour tes qui va de zéro jusqu'à pis sur deux de xy mais comme on veut tout exprimé en fonction de la de la variable t en fait je peux très bien remplacer x par cette expression là et y par cette expression là c'est ce que je vais faire ici donc je vais avoir l'intégrale pour tes qui va de 0 appuyé sur deux de cosinus t ça c'est x x sinus t ca c y et ensuite je vais remplacer ds par cette expression là donc là j'ai racine carrée de alors dx sur d'été je vais leur écrire comme ça dans un premier temps dx sur d'été au carré plus d y sur d'été au carré x des thés voilà alors tu peux encore avoir l'impression de quelque chose de compliqué comme certainement dans là dedans la vidéo précédente mais tu vas voir que tout va se simplifier d'une manière vraiment assez étonnante en fait on connaît tous là dedans on est deux quand même bien avancé puisque caussinus tu es donc là on m'a caussinus t sinus t on à bien la variable tu es ici qui intervient dans l'intégration alors il ya cette expression là qu'il faudrait qu'on arrive à à expliciter un petit peu mieux alors dx sur d'été c'est tout simplement la dérive et 2x par rapport à tes et ça on peut le faire puisque xc caussinus de thé donc dx sur d'été je vais calculer cette expression là 1d x / d'été c'est la dérive et de co2 caussinus t par rapport à tes donc la dérive et d'être caussinus t par rapport à tes on sait que c'est moins sinus t et puis la dérive et et puis d y sur d'été donc des grecs sur d'été je peux l'écrire ici et puis de la même manière je peux calculer très facilement d y sur d'été puisque c'est là dérivées partielles de sinus t par rapport à t1 dérivés de sinus t par rapport à tc caussinus t voilà alors maintenant je verrai écrire ça donc ça me donne l'intégrale pour tes qui va de zéro jusqu'à puis sur deux de cosinus t x s'illuster fois alors je vais prendre cette couleur la racine carrée donc dx sur dtc - sinus tu es donc je vais l'écrire ici - sinus t au carré plus d y sur d'été au carré donc plus caussinus t au carré voilà x d'été alors là on a quelque chose qui s'est quand même un peu simplifié pour par rapport à tout à l'heure je rappelle ici ça c'est ça c'est x ça assez y est ça cds pour rappeler le parallèle avec cette expression qui est ici alors maintenant il ya un petit truc qu'il faut voir c'est ça qui va tout simplifier c'est que on pleurait on peut arranger ça d'une manière assez drastiques puisque - sinus théo carré en fait ses sinus tu es donc ça je vais l'écrire ici hein je vais changer de couleur donc quand j'écris sinus - sinus t au carré plus caussinus t au carré en fait c'est la même chose que sinus t au carré plus caussinus t au carré et ça c'est une des relations de base de la trigonométrie en fait ça ça fait 1 puisque c'est le rayon de ce cercle qui est un sac de rayon voilà donc ça c'est vraiment lui ni une identité de base de la trigonométrie si tu ne connais pas cette relation a effectivement cette expression là peut te te sembler très compliqué mais du coup là on obtient finalement rejet plus beaucoup de place mais je vais quand même le faire ici là on obtient finalement cette expression là l'intégrale porter qui va de zéro jusqu'à pis sur deux de cosinus t x sinus t fois alors cette expression là en fait ça se simplifient puisque à l'intérieur ça vaut un donc finalement ses racines carrées 2 1 donc là on obtient tout simplement quelque chose qui fait un donc je peux l'écrire pour être plus clair cette fois un x d'été donc finalement c'est l'intégrale de zéro happy sur deux de cosinus t sinus tdt et on obtient une intégrale simple défini entre les a calculé entre les valeurs 0 et puis sur deux voilà donc là on a presque terminé je vais me mettre en bas pour le termine pour le faire effectivement voilà je vais je vais leur écrire ici non quand on à l'intégrale de zéro appuyé sur deux de cosinus t x sinus tdt je peux l'écrire comme ça en fait je vais juste intervertir les les termes à l'intérieur donc c'est l'intégrale de zéro happy sur deux de sinus t caussinus tdt s'illuster fois possibilité d'été alors pourquoi est ce que je fais ça tout simplement parce que là je vais faire un changement de variables maintenant je vais poser une de tes la fonction la variable eu ça va être elle va dépendre de la variable thé et je vais la définir comme étant le sinus tu es donc la fonction us et la fonction eu 2 tc sinus t alors du coup si je dérive cette fonction par rapport à t1 donc j'obtiens des u sur d'été ça c'est la dérive et de vue par rapport à tes et bien c'est caussinus caussinus t alors ça c'est important parce que je peux encore manipuler un petit peu c'est infinitésimaux là je peux écrire que finalement d u d uc caussinus tdt alors maintenant je vais essayer de faire mon changement de variables effectivement dans dans l'intégrale qui est là donc je verrai écrire ça c est une intégrale mais ici je vais avoir alors s'illuster cu de thé cu ou à l'écrire c'est u2 t1 et puis caussinus t x d'été bien céder eut cédé eu donc en fait finalement j'ai l'intégrale de une fois des u donc c'est là j'ai plus besoin de faire intervenir la valeur la variable t j'ai tout ça je peux tout simplement écrire que c'est l'intégrale de eu des eu et il faut que je trouve les valeurs les bornes de l'intégration alors ça ça peut se faire simplement ici parce que entre les valeurs 0 épi sur deux cette fonction-là est croissante donc on peut tout simplement regarder quelle est la valeur de hull pour tes égal à zéro donc ses sinus 2 0 ou 2 0 ses sinus de zéro c'est à dire 0 et puis la borne supérieure de l'intégration ça sera celle qui a obtenu pour tes égale pis sur deux donc c'est u2 puis sur deux c'est à dire 6 2 pi sur deux c'est à dire un voilà donc là on obtient vraiment une et une une expression très simple vraiment très simple de notre intégral hors jeu monter plus haut pour voir l'expression des parties de cette expression là qu'on a transformé de cette manière là d'abord puis ensuite on est arrivé à cette expression là et finalement avec ce changement de variables on exprime notre intégral de cette manière là alors là c'est très facile à calculer puisque il suffit de trouver la primitive de u u étant la variable d'intégration donc ça c'est la primitive de us est tout simplement eu au carré sur deux donc là on doit calculer et au carré sur deux entre les valeurs 0 et 1 alors voilà on a terminé ses jeux le faire ici pour huer gallen on a eu au carré c'est un sur deux c'est à dire un demi et puis pour u égal zéro et bien ça fait zéro donc finalement notre intégral s'est elle vaut un demi ce qui veut dire que l'ère de 7 de notre clôture ici dont la base est sur le cercle le quart de cercle qui est ici et le haut sur notre surface d'équations z égale xy et bien cette surface là cette surface là elle mesure 1 2 me alors si c'est des mètres carrés ça sera un demi mètre carré voilà c'est quand même un résultat assez intéressant au mari l'a vraiment calculé des choses assez étonnante avec cette technique la voilà on va s'arrêter là mais comme tu peux le voir c'est cette technique d'intégrale curviligne c'est comme ça qu'on appelle ça est une technique assez puissante qui permet de vraiment de calcul et beaucoup de beaucoup de choses donc c'est quelque chose de très important