If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal

Exemple 2 (partie 2) sur les intégrales curvilignes

Seconde partie du calcul d'une intégrale curviligne sur un contour fermé. Créé par Sal Khan.

Vous souhaitez rejoindre la discussion ?

Vous comprenez l'anglais ? Cliquez ici pour participer à d'autres discussions sur Khan Academy en anglais.

Transcription de la vidéo

alors je reprends la situation qu'on tel qu'on l'avait laissée dans la vidéo précédente on se proposait de calculer leur latéral de des murs de cette espèce de bâtiments qu'on a construit ici donc les murs ce sont ceux qui ont pour base ce chemin fermé qu'on a ici donc c'est ce qu'ont tour que j'ai tracée ici en rouge et en bleu vert donc je suis je pars d'ici je suis un arc de cercle anti horaire je suis un arc de cercle de rayon 2 j'arrive ici ensuite je tourne à gauche je suis' ce bouddha de lax désordonnée jusqu'à l'origine ensuite je retourne à gauche et je suis le long de lax eu un segment de droite le long de l'axé des abscisses jusqu'à revenir à mon poids initial voilà et donc ça c'était le contour de mes murs 1 sur la sur le plan x y et puis le toit de mon bâtiment et bien il est donné par cette surface là qui est et qui a pour équation z égale x plus y au carré donc c'est une surface qu'on avait essayé de dessiner ici c'était pas très joli mais bon voilà alors on avait d'abord exprimer notre ère latéral de cette manière là alors je l'écris ici l'air latéral on avait exprimé sous une sous la forme d'une intégrale curviligne c'était l'intégrale le long du chemin de notre chemin c'est le chemin total ici de la fonction f2 xy x la différentiel ds qui est un petit variations infinitésimales du trajet qu'on fait sur le chemin de la suisse qu'on appelle l'abscisse curviligne alors ici comme c'est un chemin fermé puisque on part d'un endroit et on revient c'est à ce même endroit on appelle ça un chemin fermé donc on avait on l'avait noté comme ça avec un petit rôle intégral curviligne sur un chemin le long d'un chemin fermé voilà alors la première chose qu'on avait faits s'est décomposé notre chemin puisque le chemin ici est fait en fait de trois parties on l'avait décomposée en trois parties donc cette intégrale curviligne ans l'avait écrite comme ça c'est l'intégrale le long du chemin c'est un qui est celui que j'ai dessiné en rouge de la fonction f 2 x y ds plus l'intégrale le long du chemin c'est dehors le chemin ces deux je vais le faire revers ici c'est celui là cette partie là ça c'est ce que le chemin que je vais appeler ces deux donc plus l'intégrale le long du chemin ces deux de la fonction f 2 x y x ds plus la dernière partie de notre chemin qui est celle là c'est ce segment de droite là que je vais appeler ces deux donc plus l'intégrale le long du chemin ces deux de la fonction f 2 x y x ds voilà alors on avait donc ça c'est le premier travail qu'on avait fait ensuite on avait réussi à calculer la partie la plus compliquée en fait à prioriser la plus compliquée c'est cette partie là l'intégrale curviligne le long de ce chemin c1 on avait calculé ses quatre plus de pi ce que j'ai noté ici donc cette partie là elle vaut 4 plus de pie et en fait on avait réussi à calculer ça en trouvant une et kouassi l'une systèmes d'équations paramétrique qui décrit notre chemin c1 voilà alors maintenant il nous reste à calculer les deux des deux autres partis donc l'intégrale curviligne le long du chemin c2 et l'intégrale curviligne le long du jeu du chemin ces trois ça cc3 pardon évidemment ici ce chemin là c'est passé 2 cc3 donc ici ça c'est l'intégrale curviligne le long du chemin c3 voilà donc il faut qu'on arrive à calculer ces deux intégrales curviligne et pour faire ça il faut qu'on arrive à décrire ce chemin par une équation par un système d'équations paramétrique alors on va déjà le faire pour le chemin ces 2 1 alors pour faire ça on va regarder le chemin lui même donc je pars en fait je veux tout ce passe le nom de lax désordonnée donc là coordonnées x de toute façon elle doit être égale alors je gardais le cool vers la coordonnées x ici elle doit être égale à zéro toujours et puis pour la coordonnées y va ce qui se passe c'est que je commence à la valeur 2 je pars à la valeur 2 et je vais me déplacer jusqu'à la valeur zéro donc pour tes gants on peut commencer avec une valeur de thé égal à zéro quand tu est égal à zéro je suis au point date 6 2 et puis je me déplace jusqu'à 0 donc si je fais de y égale à 2 - t en fait quand et varie entre 0 et 2 je vais effectivement avoir décrit mon chemin puisque je pars du point pour des galas 0 on m'a dit que je partais de ce point là nous y égal 2 du point de coordonner 0,2 donc c'est bien celui ci où je veux être et puis quand tu es est égal à 2 je suis au point de coordonnées x égal zéro et d'ordonner y égal 2 - 2 c'est à dire zéro donc je suis bien ici donc voilà ça c'est un système d'équations paramétrique qu'il décrit tout à fait le chemin c'est d'eux dont jeu dont je m'occupe ici voilà alors maintenant je vais remonter un petit peu on va calculer l'intégrale curviligne le nom du chemin c'est de la fonction f donc je vais l'écrire ici cx plus y au carré x ds voilà alors là on m'avait je vais rappeler l'expression qu'on avait déjà calculé dans l'épreuve plusieurs dans les vidéos précédentes et qu'on a utilisé la dernière fois c'est l'expression de ds en fonction de dtn c'était racine carrée de dx sur d'été au carré plus d y sur d'été au carré x d'été le to x d'été donc il faut qu'on calcule la dérive et 2x par rapport à tes et la dérive et de y par rapport à tes donc ça je vais le faire ici en verre d y dx par rapport à tes labeyrie v2x par rapport à thé xx nuls donc la dérive et 2x par rapport à tes nuls aussi et puis la dérive et de y par rapport à tes alors je vais remonter un petit peu ce que j'ai peur de sortir de l'écran voilà dérivée de y par rapport à tes c'est la dérive et de cette expression là par rapport à tes donc ça fait moins 1 - 1 donc ici je peut réécrire mon dsds va être racine carrée 2 0 au quart et plus - 1 au carré fouad était donc en fait ça fait 0 0 car et ça fait zéro + - au carré ça fait 1 donc finalement dsi ci est égal à des t1 ds est égal à d'été donc là j'ai tout ce qu'il faut pour réécrire cette intégrale curviligne en fonction de la variable tes sous forme d'une intégrale simple défini en fonction de la variable tu es donc je vais prendre l'intégrale porter qui va de 0 à 2 2 alors x c zéro et puis y au carré ces 2 - t donc je vais avoir deux montées au carré fois ds qui donc était gala d'été donc là on a vraiment une intégrale tout à fait facile à calculer tout à fait normal bon là il ya plusieurs façons de trouver une primitif de 2 - théo carey tu peux appliquer la formule des fonctions puissance mais là ce que je vais moi je préfère le faire dans un cas comme ça s'est développé donc je l'obtiens l'intégrale de zéro à deux portes et qui va de 0 à 2 2 alors je développe ça ça fait 4 - 4 t plus tu es au carré fois tu étais donc là on a vraiment immédiatement les délais primitive qui saute aux yeux donc la primitive de quatre c4 t la primitive de - 4 t alors là primitif de thé c'était au carré sur deux donc je vais avoir ici - de thé au carré - 2 théo carré puisque je dois x - 4 ensuite la primitive de thé aucun de tes au carré c'était au cube sur trois donc ici g t au cube sur trois est sage c'est la primitive donc de 4 - 4 tu es plus tu es au carré tu peux vérifier en dérivant si tu veux est donc sage doit l'évaluer entre les valeurs 0 et 2 alors pour tes galles 0 ça va ça nul et 1 to click tous les termes ici vont s'annuler donc j'ai uniquement calculé pour tes gars 2 donc 4 x 2 ça fait 8 - deux fois t hawk arrêté au carré ça va faire deux occases ça va faire 4 x 2 ça va faire moins ça va faire 8 donc ici j'ai moins 8 et puis tu es au cube sur trois quand elle est égale à deux ça fait 2 occupe c'est à dire 8 / 3 donc plus 8/3 donc finalement ici on trouve 8 hier 8 hier donc ça veut dire que l'ère de ce mur ici un ce mur que qui est là que j'avais assuré en espèces d'orange là qui est derrière et bien ça sa surface mesure 8 hier donc cette partie là c'est 8 hier voilà alors maintenant il nous reste à calculer ce troisième terme qui correspond à la surface de ce mur qui est là donc je vais je vais descendre je vais le faire ici alors c'est l'intégrale je vais l'écrire comme ça l'intégrale selon le chemin c3 de la fonction f qui était x plus y au carré x ds alors comme tout à l'heure là le point clé ça va être de trouver une équation paramétrique un système d'équations paramétrique de notre chemin c3 alors ici on va regarder je vais le faire je vais essayer de garder voilà je vais le faire ici alors notre l'accord donné y va être nul de toute façon puisqu'on se déplace toujours sur l'axé des x donc je peux déjà écrire que y est égal à zéro je vais le faire ici y est égal à zéro et puis là coordonnées x alors le point de départ c'est l'origine puisqu'on est ici un et le point d'arrivée c'est 2 le point de coordonnées de zéro donc il faut qu'on trouve une fonction de tes qui varie de 0 qui part de zéro et qui arrive à deux donc on va tout simplement écrire on peut l'écrire comme ça tout simplement x égale t pour tes qui varie de 0 jusqu'à 2 on peut prendre ce système d'équations paramétrique effectivement ça marche puisque si je prends la valeur 0t égal zéro je suis x égal zéro donc je suis ici et quand je prends la valeur est égale 2 je suis à x égal 2 c'est à dire là donc c'est bien c'est un système d'équations paramétrique qui marche très bien on aurait pu prendre aussi l'équation x égal 2 t et faire varier et et entre 0 et 1 tout simplement ça aurait été possible aussi alors maintenant je sais qu'il va falloir que je remplace ce ds il faut que je trouve l'expression de ds en fonction de dt alors ça c'est vraiment l'expression clé qu'il faut connaître c'est celle là c'est cette expression là qu'il faut qui permet de calculer le l'élément ds en fonction de l'élément d'été donc là on va calculer dx je vais le faire ici dx sur d'été ça va être pas très compliqué à faire ça de la dérive et 2x par rapport à tes ben c'est un et la dérive et de y par rapport à tes c'est zéro donc finalement notre déesse si on prend cette expression la nôtre ds mon je vais le faire ici c'est donc racine carrée 2-1 au carré +0 au carré fois d'été donc là encore on obtient une expression très simple de ds en fonction de d'été puisque ds est égal à d'été voilà alors maintenant j'ai tout ce qu'il faut pour repartir ici et transformer cette expression donc je vais avoir finalement l'intégrale pour t là je peux passer à la variable t qui va de zéro jusqu'à 2 de l'est alors je vais remplacer x plus y au carré par son ex l'expression fonction de tes donc xe s'était et puis y c zéro donc finalement j'ai x plus y au carré c'est tout simplement tu es ici et puis ds basse et d'été donc là je trouve vraiment quelle une expression très simple c'est l'intégrale pour tes qui va de 0 à 2 2 tdt donc il faut trouver une primitif de tai chi est tout simplement théo carrés sur deux donc la g t au carré sur deux que je dois calculée entre évalué entre 0 et 2 alors pour tes égal à zéro ça va ça nul et donc il faut que je calcule la valeur de cette expression là pour tes égal 2 donc ça va être deux au carré c'est à dire 4 sur deux donc ça donne 2 donc voilà on va terminer la dernière portion la dernière surface de notre surface la dernière partie de la surface latéral de notre immeuble elles mesurent tout simplement deux donc finalement l'air latéral alors je vais l'écrire ici c'est 4 + 2 alors c'est la somme de tous ces éléments là hein donc 4 plus de ça fait 6 + 8 hier donc je vais écrire ça comme ça c'est 2 pi +6 +8 hier alors je peux faire l'addition de cette addition la c6 ça va faire dix huit sur 3 + 8 sur trois ce qui fait 26 sur trois donc finalement notre ère latéral elles mesurent 2 pi +26 tiers donc c'est des unités de surface 1 donc si notre unité de mesure c'est le maître est bien l'air latéral de notre de notre immeuble qui hélas ces deux pays +26 tiers mètres carrés voilà on va s'arrêter là j'aurais quand même juste faire remarquer pour terminer que on arrive à calculer ddr2 surfaces qui sont assez compliquées indice est quand même une technique qui est assez puissante donc voilà je voulais juste faire remarquer ça dans la prochaine vidéo va s'occuper on va calculer des intégrales curviligne au 6 mai pour des fonctions vectorielle