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Calcul de l'intégrale de surface d'un tore 1

Calcul de l'intégrale de surface d'un tore 1 . Créé par Sal Khan.

Transcription de la vidéo

dans une des quelques vidéos précédentes on a vu qu'on pouvait faire la paramétrisation d'un tort c'est à dire une surface comme par exemple une bouée ou un donut et on obtenait alors une fonction à valeur vectorielle de position cette fonction on l'a appelé air et c'est une fonction de deux paramètres s était ne t'inquiète pas on va revenir sur ce que st a et b représente et on a vu que ça c'est égal à b plus à foix caussinus de s alors encore une fois on a déjà vu tout ça dans une vidéo un peu plus tôt sur la paramétrisation d'un tort donc si tu ne te rappelles pas je t'invite à regarder à nouveau cette vidéo x sinus de thé voit le sinus de thé fois le vecteur unitaire dans la direction des x qui est le vecteur y plus des plus à foix caussinus de s encore caussinus tu es fois cette fois caussinus de thé caussinus de tréfois le vecteur unitaire dans la direction d y qui est le vecteur j ai enfin plus à foix sinus deux aces alors je vais garder la même couleur pour tous les termes en est ce donc à foix sinus tu es fois le vecteur unitaire dans la direction des aides qui est le vecteur cas et pour que ça ça définissent un tort et qu'on ne fasse pas plusieurs fois le tour du tort comme ça eh bien on veut que s soit compris entre 0 et 2 pi et on veut que tu es soit aussi compris entre 0 et 2 bis maintenant on va essayer de se rappeler tout est ce que tout ça vient alors on a un tort alors je fais de mon mieux pour dessiner en donnant tort aux grosses bouées comme tu préfères voilà quelque chose qui ressemble à peu près à un tort et se tord est en quelque sorte le produit de deux cercles on a d'abord un cercle qui est une section de ce tort alors cette section peut être n'importe où sur le tort d'accord ensuite on a le cercle qui en quelque sorte rolly tous ces cercles autour du tort comme ça maintenant ah c'est le rayon de chacune de ces sections de chacun de ces cercles tout autour du tort et bbc la distance entre le centre du tort et le centre de chacun de ces cercles cette distance la cbc le rayon du grand cercle qui passe par le centre de toutes ces sections ensuite on a deux paramètres s était d'abord rss nous indique la rotation autour de ces tranches autour de ces sections du tort ça nous indique où est-ce qu'on se situe sur ces cercles et s c'est un angle donc comme on l'a écrit ici y compris entre 0 et 2 puis ensuite on a ttc la rotation sur ce grand cercle là ça nous indique où est-ce qu'on est autour de ce cercle là d'accord alors dit toi qu'on peut définir la position de n'importe quel point du tort en spécifiant un ace et un thé et c'est pour ça qu'on a choisi s était comme paramètre pour notre paramétrisation et si je revois tout ça maintenant c'est parce qu'on va utiliser ça pour calculer une intégrale de surface qui nous donnera l'air de cette surface l'air de se tord cette surface là c'est sigmar cette surface la has et sigma et elle est définie par cette fonction à valeur vectorielle de position paramétré par un site et qui est donc air fonction de hesse et de thé nos deux paramètres dans la vidéo précédente on a vu que l'ère de cette surface est donné par l'intégrale de surface donc c'est l'intégrale double sur cette surface alors attention ici un ce sigma majuscule ce n'est pas pour une somme mais pour surface donc c'est l'intégrale double 2d sigma de plein de petits dés sigma sont des petits bouts ou plutôt l'air de petits bouts de notre surface un rappel toi cd sigma ce sont des très petites portions de notre surface et c'est une intégrale double ici parce qu on fait la somme de tous ces traits petits dés sigma dans deux directions on va dans cette direction du tort et puis on va aussi dans cette direction là d'accord c'est pour ça qu'on a une intégrale double et donc ça ça nous donne l'air de se tord on a aussi vu que si on voulait multiplier des sigma par une valeur par exemple s'il y avait une chance qu'à l'ère associé à ça et que tu voudrais prendre en compte eh bien on peut rajouter cette valeur ici un ici on a simplement multipliée par 1 quand on en est là on est content parce qu'on a exprimé notre idée mais ça ne nous permet pas de calculer quoi que ce soit 1 donc on ne peut pas aller bien plus loin c'est pour ça qu'on a réfléchi à ça dans la vidéo précédente et on a vu que ça c' est égal à l'intégrale double sur la région sur le domaine sur lequel nous paramètres sont définis c'est à dire quand est ce compris entre 0 et 2 pi était aussi compris entre 0 et 2 pi donc c'est l'intégrale double sur le domaine de alors la fonction qu'on a ici est donc ici c'est un ça ne change pas grand-chose fois on alors je vais choisir une autre couleur on va prendre du bleu la norme du produit vectorielle de la dérivées partielles d'autres fonctions r par rapport premier paramètre s et de la dérive et par cl d'eux mêmes fonctions r par rapport à l'autre paramètre t fois ds d'été et on a vu tout ça dans la vidéo précédent ce qu'on va faire maintenant c'est qu'on va calculer ça alors on va commencer par calculer ces deux vecteurs là est plus dans la prochaine vidéo on calculera la norme de leurs produits vectorielles et enfin dans la vidéo d'encore après on pourra enfin calculer cette intégrale double tu vois que ça va être tirée par les cheveux enfin ça ne va pas faire de mal alors c'est parti on va commencer par la dérive et partielle de la fonction airs par rapport à s donc ce terme ici alors qu'est ce que c'est eh bien c'est la dérive et partielle de cette fonction à valeur vectorielle de position par rapport à s qu'est ce que ça veut dire eh bien ça veut dire qu'on fixe t on garder constant et on calcule d'adhérer partielle de sa par rapport à s alors ce premier terme d'abord on distribue sinus de t bonds qu'on a signe de tête c'est une constante puisqu'il n'ya pas de s on a donc sinus de thé x b sais tu suis aussi une constante donc quand on dérive par rapport à s eh bien ça disparaît ensuite on a assez nuss de thé fois à ça c'est aussi une constante et la dérive et de cosinus de s par rapport à s et bien c'est moins sinus de est ce donc là dérivées partielles de ce premier terme par rapport à s c'est je vais garder les mêmes couleurs - à foix sinus de thé on avait écrit sembles sinus de thé x sinueuses de s sinus dehez la dérive et de cosinus ds par rapport à sc - sinus de est ce donc là on a notre signe - ici et puis maintenant j'ai écrit sinus d'huez fois évidemment le vecteur unitaire et ça c'est la dérive et partielle par rapport à s de la composante dx de ce premier terme là maintenant on fait la même chose pour la composante et y ici alors on distribue caussinus de thé pareil caussinus de thé c'est une constante puisque on dérive par rapport à s alors là dérivées partielles de beffroi caussinus de thé et par rapport à sc 0 ensuite on va avoir un signe au moins puisque la dérivées partielles de cosinus de sc - sinus 2 es donc on a moins à foix caussinus de thé caussinus de thé alors ça eh bien c'est une constante poids sinus 2 es6 news tu es fois le vecteur unitaire j enfin la composante des aides c'est plus facile à foix sinus du s la dérive et de saha par rapport à s et bien c'est à foix caussinus des stocks plus plus à foix caussinus de s fois le vecteur unitaire cas alors j'espère que je ne t'ai pas embrouiller on ad - ici et là parce que ça vient de la dérivée de cosinus de est ce qui est moins sinueuses de s et puis caussinus de thé et sinus de thé ce sont des constantes maintenant on peut faire la même chose par rapport à tes donc ce terme-là la dérive et partielle de notre fonction à valeur vectorielle par rapport à tct gala alors maintenant dans ce cas-là ce terme entre parenthèses c'est une constante donc on a ce terme fois la dérive et de sinus de thé parlera pas raté qui est caussinus de thé on a donc b plus à foix caussinus de s caussinus tu es fois caussinus de tréfois le vecteur unitaire y ensuite ici même chose ce terme entre parenthèses c'est une constante puisqu'on n'a pas de thé et la dérive et de cosinus de tessé - sinus de thé donc ici on a un signe - fois ce terme entre parenthèses b plus à caussinus deux os x sinus de thé fois le vecteur unitaire t y j ai enfin ce dernier terme eh bien on a pas de t donc c'est une constante donc quand on calcule la dérivées partielles par rapport à tes et bien c'est zéro donc on peut écrire +0 fois le vecteur unitaire des aides qu'un et voilà nos dérivées partielles qui sont des vecteurs deux dérivées partielles sont des vecteurs il nous reste à calculer leurs produits et vectorielle puis à calculer la norme de ce produit vectorielles et ensuite on pourra calculer cette intégrale double mais on va s'arrêter là pour cette vidéo pour en garder un petit peu pour les prochaines