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Calcul de l'intégrale de surface d'un tore 2

Calcul de l'intégrale de surface d'un tore 2 . Créé par Sal Khan.

Transcription de la vidéo

dans la vidéo précédente on s'était fixé comme objectif de déterminer l'air de cette surface paramétrer l'air de se tord pour ça on a dit qu'il fallait calculer cette intégrale de surface et on a commencé par calcul et les dérivées partielles d'autres fonctions vectorielle paramétrer cette fonction m maintenant on est prêt pour calculer ce produit vectorielle qui nous donnera un vecteur ensuite on aura besoin de la norme de ce vecteur et on pourra enfin calculer cette intégrale double qui nous donnera bien sur l'air de notre surface alors on va commencer par calcul et le produit vectorielle de ces deux vecteurs et tu vas voir c'est toute une aventure c'est sans doute notamment pourquoi on ne fait pas souvent de calcul d'intégrale de surface alors on s'y jette le produit vectorielle de la dérive et partielle de la fonction airs par rapport aux paramètres s et de la dérive et partielle de la fonction airs par rapport aux paramètres tct galles et c'est pas mal parce que tu vois ça nous fait une petite révision sur le produit vectorielle donc ça c'est égal à quoi eh bien c'est égal aux déterminants je vais prendre pas mal de place c'est égal aux déterminants de quoi et bien sûr cette première ligne on va écrire nos vecteurs unitaire donc le vecteur y le vecteur j et puis le vecteur cas et sur les deux lignes suivantes eh bien on va écrire les composantes de x y et z de nos deux vecteurs donc on va commencer ici - à voies sinueuses de thé sinus tu es moins à caussinus de thé sinus tu es à caussinus de s et enfin pour notre deuxième vecteur paie plus à caussinus tu es caussinus du thé - b plus à caussinus de s sinus t et enfin ici on a zéro donc le produit et vectorielle de ces deux vecteurs et bien c déterminant de cette matrice est juste pour te rafraîchir la mémoire le déterminant de cette matrice c'est c'est égal à alors d'abord on a dix fois on barre cette ligne on part cette colonne fois le déterminant de cette matrice là le déterminant de cette matrice là qu est ce que c est bien c'est ce terme fois ce terme - ce terme fois ce terme alors on veut faire ça on a d'abord y fois le déterminant de cette matrice donc ce terme fois ce terme est bien ça fait zéro ensuite on a moins ce terme fois ce terme sauf que ce terme est négatif donc sa foi ça c'est négatif - quelque chose de négatif et bien c'est positif on a donc le vecteur ivoire à caussinus tu es x b plus à caussinus tu es simus 2 t voilà pour ce premier terme ensuite on a moins parce que oublie pas un on doit changer de signes - le vecteur j ai ensuite on raye cette ligne on raye cette colonne et en à foix le déterminant de cette matrice matrice composé de cette colonne là et de cette colonne ici alors qu'est ce que c'est bien ce terme fois ce terme - ce terme fois ce terme la même chose se tait 12.0 ça fait zéro ensuite on a moins ce terme fois ce terme n'a donc moins à caussinus de s x b plus à caussinus tu es caussinus tu t es on voit tout de suite qu ici on a moins 1 fois moins donc ça se transforme en plus et enfin notre dernier terme eh bien on a plus je vais écrire ça à la suite parce que j'ai plus de place plus tard on rails cette ligne on braille cette colonne et on cherche le déterminant de cette matrice ici donc se taire une fois ce terme - ce terme fois ce terme ça va être un petit peu plus long d'abord ce terme fois ce terme moins par mois c'est positif on a donc jeu ouvrir décroché on a donc à foix sinus de tréfois sinus de alors là c'est important de ne pas faire d'erreur x b plus à caussinus s fois sinus de thé tout ça - ce terme fois ce terme ce terme est négative donc ça à fois ça ça va d'être négatif moins par mois c'est positif donc plus à caussinus de thé sinus de s&p plus à caussinus de s caussinus te tais et je ferme ce crochet ici et maintenant peut-être que tu comprends pourquoi est ce qu'on ne fait pas souvent de calcul d'intégrale de surface alors voyons si on peut réarrangé un petit peu tout ça ce serait pas mal si on pourrait faire un petit peu de ménage surtout pour ce dernier terme ici qui est très long alors par quoi est ce qu on pourrait commencer eh bien on pourrait peut-être commencer par factoriser des plus à caussinus deux aces alors là je viens de voir j'ai oublié et une parenthèse ici plutôt j'ai mis la parenthèse ici alors que ça devrait être après caussinus tu es voilà donc on pourrait commencer par factoriser par b plus à caussinus de est ce parce que on voit que ce terme à part et de partout on a ici est plus acoustique de s on l'a ici encore on l'a ici et puis encore ici donc on pourrait écrire tout ça on peut réécrire ça c'est égal à ce terme je factories bplus à caussinus de s est ensuite qu'est ce qu'on a je vais ouvrir des crochets et alors c'est parti ce premier terme est bien quand on factories par b plus à caussinus de s qu'est ce qu'il nous reste il nous reste à foix caussinus de s fois ci une sautée fois le vecteur riz et bien c'est parti à caussinus tu es sinus de thé fois le vecteur unitaire rien j'en profite pour le réécrire à la fin puisque on a plus l'habitude d'écrire ça à la fin qu'au départ ici en sachant rien ensuite qu'est ce qu'on a ici il nous reste à caussinus deux os x caussinus de thé x j ou alors je peux aussi écrire plus caussinus de thé à caussinus de s fois le vecteur unitaire j ai ensuite ici qu'est ce qu'on a alors assise mousse de thé sinus de s fois sinus de thé eh bien on va avoir plus à sinus de s est ensuite on a sinus au carré de thé ensuite ici a+ à à caussinus de thé sinus de s fois caussinus de thé donc on aa caussinus au carré de thé donc plus à sinus tu es caussinus au carré de thé alors là bien sûr il me faut des parenthèses fois le vecteur unitaire cas et puis maintenant je fais mon crochet voilà tout doucement on commence à s'y retrouver et peut-être que tu as déjà remarqué qu'on a ici sinus au carré de thé ici caussinus au carré 2 t et si on arrive à avoir si nul ce carré de thé plus caussinus au carré de tessa se simplifient ça fait 1 et en effet c'est possible c'est rien de plus que de l'algèbre ce qu'on fait là d'accord donc si on regarde ces deux termes ces deux termes fois cas qu'est ce qu'on peut faire eh bien on voit qu'on peut factoriser part à foix sinus de s à foicy news us donc on peut réécrire à foix sinus tu es fois sinus au carré de thé plus caussinus au carré de thé fois notre vecteur unitaire cas et ça c'est une de nos identités trigonométriques de base ça on sait que ça vaut 1 donc il ne nous reste plus que à foix sinus ds fois cas pour ce dernier termine pour le sait pour l'instant je trouve qu'on a plus tôt en avance et 1 on a calculé le produit vectorielle de ces deux dérivés 1 c'est à dire ça correspond à cette partie là de notre intégrale de surface alors on a trouvé ça je vais quand même réécrire ça puisque c'est un petit peu brouillon et ont comme ça on va pouvoir s'en servir dans la vidéo suivante donc ça c'est égal à b plus à caussinus de s fois à caussinus de s fois sinus de thé fois le lecteur unitaire y plus caussinus de thé fois à caussinus de s fois le vecteur unitaire j ai enfin ce qu'on a trouvé la plus à foix sinus 2es voit le vecteur unitaire cas et je ferme mon crochet voilà notre produit vectorielle on a bien avancé mais on n'a pas fini on n'a pas encore fini dans la prochaine vidéo on va chercher la norme de ce produit vectorielle ici et puis on calculera cette intégrale double ce qui nous donnera l'air de se tord