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Exemple de calcul d'une intégrale surfacique, troisième partie partie

Exemple de calcul d'une intégrale surfacique, troisième partie partie. Créé par Sal Khan.

Transcription de la vidéo

dans les deux vidéos précédentes on à avancer tout doucement sur le calcul de l'air de cette surface paramétrer de ce tort et on a dit que cette terre nous est donnée par cette intégrale de surface donc on a commencé par calcul et les dérivées partielles par rapport à nos deux paramètres s était de cette fonction rsa c'était dans la première vidéo on avait obtenu ces deux vecteurs ici celui ci est celui là ensuite dans la vidéo suivante on a calculé leurs produits vectorielle un ce que j'ai encadré ici et maintenant on veut la norme de ce produit vectorielles et alors on pourra résoudre cette intégrale double et à ce moment là on aura résolu une intégrale de surface et on pourra en être fier parce que c'est quelque chose qu'on ne fait pas si souvent que ça alors le résultats qu'on a obtenus dans la vidéo précédente c'est ce résultat-là 1 c'est le produit vectorielle maintenant on va calculer la norme de ce vecteur alors juste pour rappel au cas où tu n'es plus en tête la norme la longueur d'un vecteur on calcule ça avec le théorème de pythagore dans notre cas ça va être la formule de la distance le théorème de pythagore en trois dimensions donc ce qu'on a ici qu'est ce que c'est alors j'aurais peut-être pu recopier ça ce que je vais faire c'est que j'ai copié collé donc ce qu'on a ici c'est ce produit vectorielle ys je colle ça ici voilà ces deux expressions là c'est la même chose maintenant on veut la norme la longueur de ce vecteur là donc je vais encore coller ça on veut la norme de ce vecteur là on veut normes de ce vecteur là et c'est égal à quoi alors ce terme ici entre parenthèses c'est un scalaire puisqu'il n'a pas de direction donc on peut réécrire sa tél tél b plus à caussinus tu es fois la norme de ce vecteur qu'on a entre crochets ici est la norme de ça et bien c'est la racine carrée de cette expression poids elles mêmes ou si tu préfères c'est la somme de tous ces termes au carré et cette somme à la puissance 1/2 alors pour que ce soit plus clair on va écrire ça donc c'est la somme d'abord de tous ces termes au carré j'ouvre la parenthèse est ce que je vais faire c'est que je vais utiliser des couleurs différentes juste pour que ce soit un petit peu moins monotone donc je vais commencer avec du bleu donc ce terme au carré on a à au carré fois caussinus au carré de s caussinus au carré de s fois sinus au carré de thé donc ça ça correspond à ce terme ici ensuite ce terme là donc on aa au carré plus à au carré caussinus de thé caussinus au carré de thé caussinus au carré de s est enfin ce dernier terme ici plus à au carré sinus au carré de s et bien sûr tout ça c'est à la puissance 1/2 donc ce qu'on a entre parenthèse ici ce que je viens juste d'écrire eh bien c'est la norme de ce vecteur qu'on a entre crochets ici alors est-ce qu'on peut simplifier sa est bien ici on voit qu'on a à au carré caussinus au carré de s et ici aussi on aa au carré caussinus au carré d'as j'aurais pu écrire ça à côté on veut organiser ça mais bon j'espère que tu vois de quoi je parle alors ce que je vais faire c'est que je verrai écrire tout ça pour l'instant je vais m'occuper que de ce terme entre parenthèses un pion s'occupera de ça plus tard donc on peut simplifier on peut favoriser et ses deux ternes par à au carré caussinus au carré d'aces donc pas au carré caussinus au carré de s fois donc il nous reste sinus au carré de thé est ici plus caussinus au carré de thé et ensuite il nous reste un ce terme que je vais écrire au vert plus à au carré sinus au carré us et bien sûr tout ça c'est à la puissance un demi maintenant qu'est-ce qu'on a là on asinus au carré de thé plus caussinus au carré de thé eh bien ça ça fait rien on le sait c'est une identité trigonométriques de base sinus au carré plus caussinus au carré peu importe de quel variable tant que c'est la même variable ici et ici eh bien ça fait donc on peut réécrire tout ça on peut réécrire tout ça c'est égal à hao carré caussinus au carré de s plus ce terme-là à au carré sinus au carré tu es tout ça à la puissance 1/2 et là tu as sans doute remarqué ça je vais dessin d'un petit peu j'ai besoin d'un peu plus de place tu as sans doute remarqué qu'ici un peu factoriser part à au carré alors allons-y ça c'est comme à au carré fois caussinus au carré de s plus sinus au carré de s et bien sûr tout ça toujours à la puissance 1/2 et même chose encore une fois ici caussinus au carré de s plus sinueuses ou carré de l'ess et bien ça se simplifient ça fait 1 donc pour ce terme-là ce que j'avais écrit ici entre parenthèses la puissance 1/2 il ne nous reste plus que ao carrés à la puissance 1/2 autrement dit racine carrée de hao carré et ça c'est tout simplement à est donc ce produit vectorielles et bien c'est juste égal à sa foi a alors je vais dire ça je vais copier ça pour ne pas avoir ré écrire tout ça moi je vais écrire ça ici je vais descendre un petit peu voilà donc ça c'est tout simplement égal à ce terme ce scanner entre parenthèses x a donc je vais tout de suite distribuer là on a à x b donc à b et ensuite on a à x à foix caussinus 2 es donc plus à au carré caussinus deux aces alors c'est bien on a fait une bonne simplification mais voyons à quoi ce que ça nous amène pourquoi est ce qu'on a fait tout ça déjà eh bien ont cherché à calculer on a fait pas mal de calcul à ont cherché à calculer cette intégrale double sur cette région sur ce domaine c'est à dire pour s compris entre zéro et deux pays et était aussi compris entre 0 et des pieds donc on va intégrer ce qu'on vient de trouver on va intégrer et ce qu'on vient de trouver ici sur ce même domaine alors je vais faire ça je vais changer un petit peu de couleurs on veut intégrer ça on veut que s ce compris entre 0 et 2 pieds donc on intègre par rapport à s et on veut aussi avoir tes qui varie entre 0 et depuis on veut aussi tu es qui varie entre 0 et 2 pi d'été et ça c'est ce qu'on intègre on intègre la norme du produit vectorielle des deux dérivées partielles de notre fonction à valeur vectoriel 2d parent donc c'est ce qu'on peut écrire ici alors je vais écrire ça en jeune on a donc ab plus à au carré caussinus deux aces alors je vais juste faire une accolade ici parce que c'est juste un petit peu bizarre soit qui se balade tout seul voilà alors maintenant ça qu'est ce que ça nous donne alors on a déjà vu comment résoudre des intégrales double 1 il ya pas mal de vidéos là dessus mais juste pour rappel ce qu'on fait c'est qu'on part de l'intérieur et on va vers l'extérieur donc on va commencer on va commencer par calculer cette intégrale ici 1 par rapport à s donc ce que je vais faire c'est que je verrai écrire je verrai écrire l'intégrale extérieur d'abord donc l'intégrale de 0 à 2 puis par rapport donc hâté et maintenant je cherche la primitive de sa part rapport as donc d'abord abaisser juste une constante un ton qu'on a à b x s est ensuite on a plus ça au carré caussinus de est ce qu'elle est la primitive ou plutôt une primitif de cosinus du est-ce bien ses sinus du est-ce donc on n'a plus à au carré sinus deux aces et donc on calcule ça on évalue sa entre 0 et 2 pi alors ça c'est égal à je vais écrire ça à la suite encore une fois je vais crier galles j'écris l'intégrale de 0 à 2 pi par rapport à tes donc d'été maintenant qu'est ce qu'on obtient si on remplace ici ls par deux pays parce que tu sais que pour calculer cette intégrale ici c'était intégral intérieur on doit calculer la différence de cette expression on compte s vos dépit - cette expression quand est-ce vos héros donc on a d'abord à b x 2 pi ou deux pie x ab 1 c'est la même chose plus à au carré fois sinus de dépit donc sinus de d'épicés 0 à au carré fois sinus de dépit c'est zéro - cette expression quand est-ce vaut zéro donc à b x 0 c zéro à au carré il faut aux sinus 2 0 c'est aussi zéro donc voilà tout ce qu'il nous reste et c'est encore une belle simplification je trouve maintenant on a plus qu'à déterminer la primitive ou une primitive de saha par rapport à t1 pour évaluer cette intégrale ici donc on va faire ça alors ce qu'on a ici c'est une constante donc ça c'est égal à 2 pi x ab fouetter et bien sûr ça a évalué entre 0 et 2 bis alors pour calculer ça d'abord on remplace je vais faire ça la suite je vais descendre un petit peu donc on remplace t et par depuis on a deux pieds x 2 piffaut ab donc on a deux filles au carré fois à b - cette expression quand evo10 et bien ça fait zéro et donc on a terminé sa à cette égal à 4 pi au carré fois à x b et voilà l'ère de notre tort ce qui est une formule clair et net 1 parce que là on a deux pays depuis c'est le diamètre d'un cercle et on a deux pays au carré donc c'est plutôt cohérent parce qu'on fait le produit des deux cercles qui définissent notre tort peu abstrait un ce que je te raconte mais j'espère que ça fait quand même tilt pour toi et puis là on a à x b c'est le produit des rayons de ces deux cercles alors rappelle toi donc ce que je vais faire c'est que je vais copier je vais copier ce résultat et je vais le copier un petit peu plus haut près de notre tort près de notre notre dessin puis de notre notre formule de départ dans leur mosquée c'est donc on le monde voilà je vais coller ça ici voilà ce résultat qu'on attendait tant cette intégrale de surface c'est égal à ce résultat je vais l'encadrer nouvelle fond rouge pour le mettre bien en évidence parce que on attendait ça avec impatience tous travaillent tout ce qu'on a fait pendant trois vidéos ça se simplifient comme ça quatre pieds carrés foire x b et donc je disais ah c'est le rayon de chacune de ces sections du terrain c'est ce rayon à ce qu'on a écrit et b eh bien c'est la distance entre le centre du tort et le centre de chacune de ces sections c'est cette distance but en blanc et donc l'air de se tord cette intégrale de surface et bien c'est 4 pi au carré fois à x b je te donne rendez-vous dans la prochaine vidéo pour découvrir cette fois un autre type de surface