Introduction aux intégrales de surface

dans la vidéo précédente on a obtenu ses deux résultats là on avait commencé en se demandant ce que ça veut dire calculez la dérive et par celle d'une fonction de cette fonction la valeur vectorielles et on a atterri sur ces deux résultats certes je te la corde un petit peu bizarre et puis surtout très abstrait pour l'instant et tu te demandes sans doute à quoi est-ce que ça va nous amener bien le but de tout ça c'est que tu es les outils nécessaires pour comprendre ce que c'est qu'une intégrale de surface alors pour visualiser ça je vais commencer par tracer le plan au st on va voir comment est-ce qu'on transforme ça en cette surface r alors ce que je vais faire c'est que je vais effacer ça comme ça je vais pouvoir faire mes dessins juste en dessous des résultats voilà alors je trace mon plan au st ici j'ai là que tu étais ici on va avoir la kz ds et disons que notre fonction à valeur vectorielle de position est définie pour s compris entre eux a et b alors je choisis ces valeurs au hasard et pour tes compris entre eux c est dès maintenant on peut choisir n'importe quel s était de ce rectangle là que je vais dessiner on peut choisir n'importe quel s était de ce rectangle la de cette région là j'espère que ces droits voilà on peut choisir n'importe quel s était de cette région là et on obtiendra une partie de la surface air et si on trace tous ces points là eh bien on obtiendra toute la surface air et cette surface air et bien sûr dans un espace à trois dimensions alors je vais dessiner ça ici on va avoir la kz dx on al aqsa xxi ensuite comme ça on va avoir l'accès y l'accès y est enfin ici on à laax dz alors à partir de là à quoi est-ce que notre surface air pourrait ressembler cette surface air est définie par la fonction aux valeurs vectorielle de position r et d'une fonction de hesse et de thé d'accord on va commencer par placer ce point là ce point là s vaut à étaient vos c'est d'accord donc on va dire que ça correspond à dison ce point là quand on remplace s et es para et c'est dans cette fonction m et bien on obtient on obtient ce vecteur position dans l'extrémité finale et ce point là d'accord ensuite on va dire que s reste constant à a et qu'on fait variétés entre c et d donc s est constant à et ont fait variétés entre eux c et d donc ce segment là on va dire que ça correspond à je sais pas moi par exemple quelque chose comme ça d'accord alors je dessine le contour de cette surface au hasard maintenant on va garder tes constant à ses gardes tes constant assez et on veut variée s entre a et b et variés s entre a et b et peut-être que ça ça ressemble à quelque chose comme ça encore une fois c'est juste pour te donner un exemple et donc ce point-là du domaine de s était ça correspond à ce point là de notre surface c'est à dire quand on entre ces valeurs de hesse et de thé dans notre fonction r on obtient un vecteur qui part de l'origine et qui arrive à ce point là et puis change de couleur et puis ce point là ici quand on substitue ses valeurs de hesse et de tes dents r ça nous donne un vecteur qui pointe ici on peux continuer encore un petit peu comme ça pour avoir une idée de ce à quoi ressemble notre surface même si j'essaye quand même de rester dans un cas très général donc alors change de couleur on va apprendre du verre donc si si on a été constant qui vaut des et qu'on fait varier s2a b ont fait varier s2a b alors on part dit si on part de ce point là ça c'est le point qui correspond à s et il ya là était égal b et quand on fait varier s quand on fait varier s de a à b eh bien on obtient je sais pas moi quelque chose à peu près comme ça et donc ce point-là correspond à un vecteur position dont l'extrémité finale et ce point is et enfin quand est-ce vos b quand est-ce vos b et qu'on fait varier était entre ses aider quand est ce veau b qu'on fait variétés entre c et d eh bien on va de ce point là à ce point là et ça nous donne ça nous donne quelque chose comme ça par exemple et voilà notre surface on est parti de cette aire rectangulaire dans notre plan ost et à l'aide de cette fonction m eh bien on à transformer ça en une surface un petit peu bizarre et on peut continuer à tracer cette surface par exemple ici si on fixe s à cette valeur là au hasard et qu'on fait varier t entre c et d comme ça eh bien peut-être que ça va nous donner je sais pas moi quelque chose comme ça par exemple alors maintenant qu'on a aidé idée de ce à quoi notre surface peut ressembler on va réfléchir à qu'est ce que c'est que ces deux résultats là une fois qu'on aura visualiser ça on va pouvoir utiliser ces deux résultats pour faire quelque chose qui sera probablement 13,8 et alors on va choisir une paire est et au hasard donc on va choisir ce point là c'est le point s tu es d'accord si on substitue ses valeurs dans r ça nous donne un point ou plutôt ça nous donne un vecteur dont l'extrémité finale et le point correspondant de notre surface alors je vais essayer de placer ça de manière cohérente on va dire que ça nous donne à peu près ce point là donc ce point là c'est le point rst ou plutôt c'est le point à l'extrémité finale du vecteur rst alors attention ce point correspond à des valeurs spécifiques de hesse et de terrain j'aurais pu j'aurais peut-être dû choisir d'autres l'aide comme je sais pas moi hué vais à la place de s était ici un ou mettre des indices mais je veux que ça reste très général donc ce point là et bien c'est ça ou encore ça d'accord maintenant que se passe-t-il si on se déplace uniquement dans la direction des aces à partir de ce point là alors ici ici on as d'accord et on va augmenter est ce un tout petit peu on va augmenter s de ds on augmente est ds ici on a donc ici on a donc s plus dss plus une très petite variation de s ça correspond à ce point là ce point là c est ce plus différentiel de sds je pourrais très bien écrire delta est semée ici je veux vraiment une variations infinitésimales de es d'accord alors à quoi est-ce que ça ça correspond sur notre surface et bien si on substitue ses valeurs temps r on obtiendra peut-être un point on obtiendra peut-être un point par ici d'accord donc ça c'est le vecteur position dont l'extrémité finale et ce point là et ce vecteur position crds plus différentiel bstc le point qu'on obtient quand on part de ce point là et que s subi une très petite variation donc cette distance là et bien c'est une variations infinitésimales es cds est donc ce point-là de la surface c'est ce qu'on obtient quand on rentre ses valeurs dans rc valeur de hesse et de thé dans air alors tiens d'ailleurs ce que je vais faire c'est que je vais copier-coller r comme ça on sait de quoi on parle donc je vais recopier notre fonction à valeur vectorielle air et on va coller ça en bas voilà je vais coller ça en dessous voilà comme ça on a ça sous les yeux maintenant d'accord voilà donc où est ce qu'on en était alors maintenant qu'on a ça a juste ici pour que ce soit bien clair quand on part de ce point là et qu'on rentre ses valeurs de hesse et de thé dans air il s'y est bien on obtient un vecteur position alors je vais tracé ça on obtient un vecteur position comme ça dont l'extrémité finale arrive à ce point là ok même chose si on part de ce point là je reprends mon violée si on part de ce point là qu'on entre ces valeurs dans rc valeur de s était dans l air eh bien cette fois on obtient un vecteur position qui arrive à ce point là alors revenons aux résultats qu'on a obtenus dans la vidéo précédente qu'est ce qu'on a ici air de s plus dst et bien ça c'est ça d'accord c'est le vecteur position dont l'extrémité est finale et ce point là et on a dit que ce vecteur la rts et d'été et bien c'est celui qui arrive à ce point là donc ce qu'on a ici eh bien c'est ce vecteur là qu'arrive à ce point là maintenant quelle est la différence de ces deux vecteurs pour ça c'est juste du calcul vectoriel de base la différence de ces deux vecteurs et bien c'est ce troisième vecteur là ça nous donne ce troisième vecteur l'a1 est donc cette différence là cette différence là c'est bien ce troisième vecteur que je viens de dessiner si on prend le problème un petit peu différemment qu'est ce que ce vecteur orange + vecteur rouge eh bien ça nous donne bien ce vecteur violet maintenant on va faire la même chose mais avec une variation de thé alors on part du même point et on a une très petite variation de thé on arrive à ce point là donc ce point là c'est le point s t + différentiel de thé une très petite variation de thé est donc cette distance là c'est donc différentiel de thé alors si un substitut s&t plus d'été dans notre fonction à valeur vectorielle qu'est ce qu'on obtient on obtient un vecteur position dont l'extrémité final on obtient un vecteur position dont l'extrémité finale et disons ce point là d'accord maintenant ce vecteur position et bien c'est celui là ce vecteur position ses airs de s t + d'été c'est la même chose que ça et on a vu que ce vecteur là et bien c'est celui là même question maintenant qu'est-ce que ce vecteur vert - ce vecteur orange et bien c'est un troisième vecteur c'est ce vecteur là c'est ce troisième vecteur que je dessine en bleu et j'espère que ça c'est juste un rappel pour toi sur l'addition de vecteurs et donc cette différence là eh bien c'est ce troisième vecteur que je viens de dessiner ici ce vecteur orange plus ce vecteur bleus ça nous donne bien ce vecteur vert et donc c'est évident que ce vecteur vert - ce vecteur orange san automne ce vecteur bleus et on commence à avoir quelque chose d'intéressant ici on a un vecteur qui représente ce qu'il se passe quand on a une très petite variation du paramètre s et puis on a ce vecteur là le vecteur bleus qui correspond à une très petite variation du paramètre t maintenant je ne sais pas si tu t'en rappelles et si tu ne t'en rappelles pas eh bien il ya des vidéos là dessus si j'ai deux vecteurs et que je cherche leurs produits vectorielle rappelle toi le produit vectorielle de deux vecteurs a et b eh bien ça nous donne un troisième vecteur maintenant si je veux la longueur de ce troisième vecteur ou plutôt la norme de ce troisième vecteur si je veux la norme de ce troisième vecteur et bien ça c'est égal à l'ère du parallélogramme c'est égal à l'ère du parallélogramme construit sur à et b et qu'est ce que ça veut dire et bien si on a deux vecteurs si on a ici le vecteur à est ici le vecteur b si on fait le produit vectorielle de ces deux vecteurs et bien on obtient un troisième vecteur qui est orthogonale à ces deux vecteurs et donc qui sort de la page comme ça ça a c'est le produit vectorielle 2a et 2b donc un produit vectorielle nous donne un vecteur mais si on cherche la norme de ce vecteur là et bien c'est l'ère du parallélogramme défini par a et ça ça a déjà été prouvé dans d'autres vidéos donc je ne vais pas faire ça ici donc ce parallélogramme ce qui m'intéresse est ce pareil au g c'est simple on dessine une copie et de ce vecteur à je dessine une copie de ce vecteur à près comme ça je dessine une copie et de ce vecteur b comme ça un parallèle à ce lecteur b parallèle aux vecteurs à et voilà le parallélogramme défini par a et b alors on en revient à notre surface le produit vectorielle de ces deux vecteurs ou plutôt la norme du produit vectorielle de ces deux vecteurs et bien c'est l'ère du parallélogramme construit sur ces deux vecteurs c'est à dire ceux parallélogramme la voilà ce parallélogramme l'a donc la norme du produit vectorielle de ce vecteur par ce vecteur de ce vecteur rouge par ce vecteur bleus et bien c'est l'ère de ce parallèle au g là alors tu te dis peut-être mais attend on a une surface ici et toi tu construis un parallélogramme mais rappelle toi on a là des variations infinitésimales de nos paramètres s était donc tu peux imaginer qu'une surface peut être en effet décomposé en un très grand nombre de parallélogramme un film en petit et plus on a de parallélogramme meilleur et l'approximation de la surface c'est la même idée que quand on calcule ehlers une courbe à l'aide d'une multitude de rectangle rappelle-toi plus en avait deux rectangles meilleur et l approximation de l'air alors ici on va appeler cette très petite surface on va appeler cette très petite variation de notre surface des sigma et donc on peut dire que l'ère de notre surface c'est la somme de ces très petit des sigma alors on a une notation pour ça je vais écrire ça je suis descendre un petit peu je commence à manquer de place donc l'air d'une surface l'air d'une surface c'est égal à l'intégrale double et on intègre sur la surface et l'annotation d'habitude eh ben c'est un sigma majuscule comme ça pour dire qu'on est sur une surface non pas sur une région donc on intègre sur la surface et on a une intégrale double parce que on va dans deux directions à une surface est une structure qui se déploie en deux dimensions et donc on fait la somme de tous les très petits dés sigma et donc ça a c'est l'ère de notre surface paramétrer maintenant on a dit que des sigma c'est l'ère de cette toute petite portion de notre surface 1-2 ce parallélogramme là c'est le produit vectorielle de ces deux vecteurs la de ce vecteur rouge et ce vecteur bleus donc on peut écrire je laisse un petit peu on peut écrire que des sigma c'est égal à la norme du produit vectorielle du vecteur rouge et du vecteur bleus la norme du produit etc tauriel du vecteur rouge et du vecteur bleus et alors on a dit que ces vecteurs été respectivement définis par cette expression là et cette expression là on a donc le vecteur rouge le vecteur rouge c'est cette différence là mais c'est aussi là dérivées partielles de r par rapport à s fois différentiel de s donc on va écrire ça on a le vecteur rouge je vais écrire sans rouge la dérive est partielle de r par rapport à rs x différentiel s et on fait le produit vectorielle de ce vecteur la part le vecteur bleus est le vecteur bleus on a dit que ça correspond cette différence là et c'est aussi et gallas a donc là dérivées partielles de r la dérive est partielle de r par rapport à tes fois très petites variations de thé et bien sûr on prend la norme de ce produit vectorielle puisque on a dit que le produit vectorielle nous donne un vecteur et nous on veut la norme de ce vecteur donc la norme de ce produit vectorielle seiler de ce tout petit parallélogramme donc si tu préfères c'est un très petit changement de l'air de notre surface alors juste pour que ce soit clair ses dérivées partielles là ce sont des vecteurs la dérive et partielle d'une fonction à valeur vectorielle c'est un vecteur et ds et d'été ce sont des scalaires ce sont des nombres et peut-être que tu auras tu te rappelles de ça à propos du produit vectorielle quand on calcule le produit vectorielle de vecteurs comme ici qui sont multipliées par des scanners et bien on peut faire sortir c'est ce qu'à l'ère du produit vectorielle on peut donc écrire que ça c'est égal à la norme du produit vectorielle deux dérivées partielles de r par rapport à s et de la dérivées partielles de r par rapport à tes fois nos deux cales rds d'été alors j'ai commencé par écrire que l'air de notre surface paramétrer c'est la somme de tous ces petits dés sigma mai dit comme ça ça ne paraît pas évident évalué sauf que on sait que tous les décideurs c'est la même chose que tous les déesses et les d'été de cette région là si on prend tous les déesses et les dt alors je vais dessiner ça c'est assez salaces et ds fouad été si on multiplie sa part la norme du produit vectorielle des dérivées partielles donc sa foi ça eh bien ça nous donne cette très petite r&d sigma donc si on fait la somme de tous les sa foi ce produit vectorielle là sur cette surface eh bien on obtient l'air de tous les petits parallélogramme de c surface autrement dit on obtient l'air de cette surface alors c'est vrai que c'est un peu tordu et c'est sûr que les intégrales de surface c'est pas évident à visualiser mais j'espère que tu saisis quand même l'idée donc on peut écrire on peut écrire alors je vais changer de couleur ce que je vais faire c'est que ici je recopiais ça pour que ce soit plus dividendes et sigma ici c'est se dessine moi ici d'accord donc on va faire ça en verre par exemple alors on peut écrire que ça ici donc l'intégrale double sur notre surface donc la somme de tous ces traits petits dés sigma donc tous et très petit parallélogramme sur notre surface et alors là au lieu d'intégrer sur notre surface on va intégrer nos ds d'été sur cette région là ont intégré noté sdt sur cette région là bien sûr on doit aussi intégrer ce produit vectorielle ici d'accord donc on sait comment faire ça c'est une intégrale double donc c'est égal à l'intégrale double sur cette région un sur cet air là sur cette région là et donc l'intégrale double de cette expression ici un produit vectorielle de aux dérivées partielles d'arrivée peint ses airs par rapport à tes 3ds d'été alors oui ça a l'air tordu et on ne sait pas encore comment est-ce qu'on va calculer ça mais au moins on a pu exprimer cette intégrale de surface en quelque chose qu'on va en effet pouvoir calculer et dans les prochaines vidéos on verra avec des exemples comment calculer ça donc ça ça nous donne l'air de cette surface paramétrer tout ce qu'on a fait tout ce qu'on a fait c'était calculé l'air de chacun de ces petits pareil logram et offert la somme maintenant si on avait une valeur associée à chacun de ces parallélogramme cette valeur serait définie par une fonction cette valeur serait définie par une fonction je changeais couleurs on va prendre du orange donc cette valeur sûre définie par une fonction f 2 x y z donc dans chaque parallélogramme on aurait un point ça pourrait être le milieu mais pas nécessairement et cette fonction f 2 x y z nous permettrait d'associer une valeur à ce point est ce qu'on veut maintenant savoir ce qu'il se passe si on multiplie l'air de chacun de ces parallélogramme par la valeur de cette fonction à ce point alors ici ici on peut imaginer que cette fonction voit donc on multiplie l'air de chacun de nos parallélogramme parent mais dans un cas plus générale on multiplie l'air de chacun de ses pareils logram paref donc ça nous donne l'intégrale double sur notre surface de f x y et z fois des sigma et ensuite ça c'est la même chose un la norme de ce produit vectorielle fois ds dtc l'air de chacun de ses parades logram et on multiplie sa part f donc on intègre sur la région assure lair donc f 2 x y z fois notre des sikhs m'a donc des figues ma c'est la norme du produit vectorielle de la dérivées partielles de r par rapport à s par la dérivées partielles de r par rapport à tds d'été et comme on intègre par rapport à un s et es on s'attend bien sûr à pouvoir exprimer cette fonction f en fonction de s était ce qui d'ailleurs devrait être possible grâce à notre paramétrisation on sait que x est une fonction de 1 ct y est une fonction de hesse et de thé et z est aussi une fonction de s est doté alors je te la corde ça paraît compliqué ce n'est pas facile à visualiser mais dans les prochaines vidéos on va voir que certes les calculs sont tirées par les cheveux mais sont largement faisable