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Intégration sur une sphère - Exemple 2 partie 1

Paramétrisation d'une surface de manière explicite à l'aide d'une fonction de x et de y. Créé par Sal Khan.

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo on va encore résoudre une intégrale de surface mais tu vois qu'ici j'ai changé de notation au lieu de noter la surface avec un sigma majuscule comme on en avait l'habitude eh bien j'ai ici un s majuscule et puis au lieu d'avoir des sides ma minuscule et bien gds majuscule mais c'est quand même une intégrale de surface c'est l'intégrale de surface ici de la fonction y est la surface en question est définie par x plus y opérer - z est égal à zéro avec x compris entre 0 et 1 et y compris entre 0 et 2 alors j'espère que la résolution de cette intégrale de surface sera un petit peu plus simple que les précédentes puisque tu remarques déjà qu'on peut directement exprimés z en fonction de x et y d'ailleurs on peut aussi exprimé x en fonction d'eux y et z mais je vais plutôt exprimer z en fonction de xy ans et plus facile à visualiser alors on commence on part dit si on ajoute ed de chaque côté on obtient x plus y au carré est égal à z ou encore aide égale x plus y au carré 1 c'est la même chose et cette surface est assez facile à visualiser alors je vais je vais dessiner ça tout de suite je vais commencer par dessiner mais axe qui si l'axé 17 ensuite lax dx ici on à l'axé des x et puis enfin l'accès y voilà à peu près comme ça ici c'est l'accès y est on sait que x est compris entre 0 et 1 x va jusqu'à 1 alors ici c'est 0-1 c'est l'origine x-mas jusqu'à 1 et y est compris entre 0 et 2 donc ici on a 2 puis ici c'est à peu près 1 donc notre surface est au dessus de ce domaine dans le plan au xy un sas et le domaine de définition de x et règles d'accord mais à quoi est-ce que nos surfaces ressemble parce que ce n'est pas la surface 1 c'est seulement le domaine de définition de c'est y c'est l'ensemble des valeurs de x et y pour lesquelles notre surface est définie alors maintenant la surface d'abord quand x et y veulent 0 et bien êtes vous aussi zéro donc on est ici à l'origine d'accord ensuite quand xv aux héros the vault y au carré et on est dans le plan d'eau y z on est dans ce plan là donc en xv aux héros et bien z vaut y au carré alors ici z4 cède 2 puisse y en a un et puis trois et donc z ressemble à quelque chose comme ça une parabole dans le plan au y z ensuite quand cette fois y vos héros et bien z vos x donc quand x tend vers un et bien s'étend aussi vers 1 alors mes axes ne sont pas comme la façon dont je les ai gratuit 1 mais ac ne sont pas du tout à la même échelle à partir de ce point on ajoute y au carré et là on a le point quand x vos seins et y vos deux donc dans ce cas est de vaud 5 n'est ce pas un plus de haut car est donc un + 4/5 et ensuite entre ces deux points eh bien on a une parabole à peu près comme ça et puis ici je rejoins ces deux points comme ça et voilà la surface sur laquelle on va résoudre notre intégrale de surface de la fonction y est on peut imaginer que y eh bien c'est la masse volumique de cette surface donc quand on multiplie y par chaque ds on à la masse de ce tout petit morceau de notre surface et ensuite on calcule la masse tout notre surface et donc au fur et à mesure que y augmente et bien cette surface est de plus en plus dense donc cette partie là de notre surface est la plus dense et quand y diminue et ben notre surface est de moins en moins denses voilà ce l'aide on va résoudre notre intégrale de surface et comme tu le sais déjà la première étape c'est la paramétrisation alors ça ne devrait pas être trop compliqué parce qu'on peut exprimer ici z en fonction de x et y est d'ailleurs on peut utiliser xy comme paramètre où on peut aussi utiliser d'autres paramètres par exemple on peut dire que x est égal alors pour changer un petit peu je vais utiliser ucv donc y est égale avait est donc dans ce cas z est égal à x plus y au carré xv au eu donc z est égale à une et y vous pouvez donc eu plus v au carré et donc notre surface est définie par la fonction vectorielle de position r qui est une fonction de nos paramètres une et v qui est égale à la composante des x et ben x vos urnes a dit donc une fois le vecteur unitaire associé à laax dx donc y plus la composante des grecs v fois le vecteur unitaire de la kz2 y j plus zz qui vaut eu plus v au carré fois le vecteur unitaire de l'accès est le vecteur cas avec bien sûr une compris entre 0 et 1 puisque hugo ixe et xe est compris entre 0 et 1 et v compris entre 0 et 2 puisque vd galles à y est y compris entre 0 et 2 on va s'arrêter là et dans la prochaine vidéo on établira notre intégrale de surface à partir de cette paramétrisation