If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal

Intégration sur une sphère - Exemple 2 partie 2

Calcul d'une intégrale surfacique. Créé par Sal Khan.

Transcription de la vidéo

maintenant qu'on a cette paramétrisation on va résoudre cette intégrale de surface pour commencer on veut exprimer ds en fonction de déu et dv alors on sait que des aces c'est égal à la norme à la norme du produit vectoriel 2d dérivées partielles de notre fonction à valeur vectorielle de position par rapport à nos deux paramètres fois des u dv les différentiels de nos paramètres alors avant tout on va calculer le produit vectorielle ce produit vectorielle ici et on est déjà vu que ça a c'est le déterminant d'une matrice 3 3 composée des dérivées partielles de ses dérivées partielles là et comme elles ne sont pas trop compliqué à calculer eh bien on va faire ça directement dans la maîtrise donc on a notre matrice comme ça alors d'abord sur la première ligne on a nos vecteurs unitaire le vecteur unitaire est le vecteur unitaire j ai le vecteur unitaire car ensuite sur la première ligne on à la dérive et partielle de notre fonction airs par rapport à eux alors d'abord la composante du vegas haussier aux vecteurs unitaire il est bien là dérivées partielles du par rapport à une c1 ensuite la dérivées partielles devait par rapport à hue et bien c'est 0,1 v ne varie pas par rapport à une espace donc ça c'est la composante associés aux vecteurs unitaire j ai enfin la composante associés aux vecteurs unitaire cas c'est la dérive et partielle du plus v au carré par rapport à huer et donc ça c'est simplement un puisque vo carella dérivés par si elle devait au carré par rapport à u c'est zéro mais ensuite sur la troisième ligne eh bien on à la dérive et partielle de r par rapport avait donc là dérivées partielles de eu par rapport à v c zéro la dérivées partielles devait par rapport à vc1 et enfin la dérivées partielles du plus v au carré par rapport à v est bien c'est de v à partir de là ça ne devrait pas poser trop de problèmes de calcul est le déterminant de cette matrice alors d'abord la composante associé au vectory alors oui cette colonne on raye 7 et on calcule le déterminant de cette sous matrix 2 2 donc on a zéro x devait - 1 x 1 donc zéro x 2 wc 0 - 1 x 1 - 1 donc on a moins le vecteur unitaire i ensuite on a la composante associés aux vecteurs j qu'est ce que ça va être eh bien on raye cette colonne on raye cette ligne et on calcule de déterminant de cette sous matrice de 2 donc un poids de v - 1 x 0 donc un fois ceux de wc 2 v de v - 0 2 v et rappelle toi devant le gie on a le signe - n'est-ce pas donc moins devait une fois le vecteur unitaire j ai enfin la composante associés aux vecteurs cas on raye cette ligne ont réussi cette colonne 1 x 1 - 0 x 0 donc 1 donc on n'a plus un fois le vecteur cas donc j'écris directement le vecteur unitaire car voilà pour ce produit vectorielle tu vois c'est est vite fait maintenant on veut la norme de ce vecteur et ça c'est égal alors la norme de ce vecteur ce que je vais faire c'est que je verrai écrire ça la norme du produit vectorielle de la dérivées partielles de r par rapport à hue et de la dérivées partielles de r par rapport à v c'est égal à la racine carrée de la somme de ses composantes au carré donc moins un au carré c'est un plus - devait au carré + 4 v o car est plus un o car est plus un donc notre déesse c'est égal à ds c'est égal à la racine carrée 2 1 + 1 2 2 + 4 v au carré de plus 4 v au carré des u dv alors on peut peut-être factoriser ici par 2 1 sous cette racine peut-être que ça nous aidera un petit peu plus pour la suite donc c'est égal à la racine carrée et de deux facteurs 2 1 + devait au carré d u tv et on peut séparer ces deux racines en à la racine carrée de deux fois la racine carrée 2 1 + devait au carré des eu dès maintenant je crois qu'on a tout ce qu'il nous faut pour calculer notre intégrale de surface lorsque je vais faire c'est que je vais écrire tous les termes en v d'une couleur on veut écrire ça par exemple en bleu donc on à la racine carrée de deux fois la racine carrée alors là j'écris des hells à 2 1 + devait au carré et les termes en u et ben on va écrire ça pourquoi pas en rose donc d u dv et alors ça cds d'accord maintenant nous dans notre intégrale de surface on a aussi y en a ceux y fois ds donc on a dit que y est égale avait donc on doit rajouter on doit rajouter un v devant comme ça ensuite donc on intègre sa part rapport a eu et on a dit que hu va de 0 à 1 donc on intègre 2 0 à 1 et on intègre aussi par rapport à v et on a dit que v va de 0 à 2 donc de 0 à 2 et maintenant on peut calculer ça comme nos variable hué v ne sont pas mélangés on peut séparer cette intégrale double en un produit de deux intégrales alors d'abord on va intégrer par rapport à des u donc ce terme là c'est juste une constante ici donc on peut faire sortir sa de l'intégrale qui concerne des u de l'intégrale intérieur on a on va donc avoir l'intégrale de zéro à 2 de racine carrée de 2 x v fois la racine carrée de en plus devait au carré fois l'intégrale de 0 à 1 des u et enfin des v et si ça ici c'était une intégrale compliqué pourrait dire que ça va juste être une fonction de une est ce pas c'est à dire une constante par rapport avait donc on peut faire sortir cette intégrale de l'intégrale extérieur d'accord mais ce n'est pas la peine ici puisque regarde cette intégrale se simplifient cette intégrale vont donc tout ça se simplifie en une seule intégral que je vais écrire tout de suite c'est l'intégrale 2-0 à 2-2 alors ce racine carrée de 2 c'est une constante on peut faire sortir sa de l'intégrale de v fois la racine carrée de en plus devait au carré dv maintenant pour résoudre ça on fait un petit changement de variables dans notre tête on a une fonction ici un plus devait au carré quelle est sa dérive et ses 4 v et on a presque 4 v ici on avait et on peut multiplier sa part 4 alors bien sûr on doit aussi ici / 4 pour ne pas changer la valeur de l'intégrale et maintenant on a bien la dérive et 2 1 + devait au carré maintenant on connaît une primitive de ce terme on a à la dérive et de cette fonction ici un plus de vue au carré sa dérive et ses 4 v donc on peut considérer ça comme une variable et déterminer une primitif de tout ça par rapport à cette variable alors la racine carrée de en plus devait au carré c'est un plus de vue au carré tous à la puissance 1/2 donc on augmente à cette puissance de 1 donc on a un plus de vo carrés à la puissance en demie plus en tant que ces trois demis et on divise tout ça par trois demis où on multiplie par deux tiers si tu préfères c'est pareil voilà une primitive de cette expression ici et puis on a toujours cette constante devant donc la racine carrée de 2 sur 4 est donc ça c'est notre primitive alors on évalue sa pas la peine de prendre saad dans nos crochets puisque c'est une constante on évalue sa entre 0 et 2 alors on peut simplifier sa part de ea on peut diviser au numérateur et le dénominateur par deux ici ça devait bien un et puis ici ça devient un deux et ça qu'est ce que ça nous donne alors on a ici racine carrée de 2 sur 2 x 3,6 donc racine carrée de deux sur six fois alors cette expression quand v vaut deux alors deux fois 2e au carré eh bien ces deux fois 4 ça fait 8 1 + 8 ça fait 9 9 à la puissance 3 2 me alors 9 à la puissance 1/2 c 3 3 occupe ses 27 donc x 27 - cette expression quand vevo 0 donc ça ça vaut 0 1 + 0 1 1 la puissance 3/2 c'est un donc 27 - 1 on simplifie tout ça roulement de tambour on est sur le point de découvrir la valeur de notre intégrale de surface ça c'est égal à 27 - 1 ça fait 26 26 fois racine carrée de 2 sur 6 on peut simplifier en divisant au numérateur et au dénominateur par deux on a treize racine carrée de deux sur trois et voilà notre intégral deux surfaces on a terminé