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Intégrale de surface - Exemple 3 partie 1

Diviser une grande surface en éléments plus petits. Créé par Sal Khan.

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo on va résoudre encore une autre intégrale de surface et la surface en question et bien c'est ce qui représentait ici tu vois qu'on peut décomposer cette surface en trois surfaces différentes d'abord la base c'est ce cercle unités plein ici ensuite la deuxième surface en bleu qu'on a tout autour c'est en quelque sorte le côté de notre surface et c'est un peu comme le côté d'un cylindre mais un cylindre qui aurait été coupée en deux par un plan et le plan qui a coupé au cylindre et bien c'est le plan z égal 1 - x bien sûr ce plan va au delà du contour de notre surface mais l'intersection entre ce plan et le cylindre c'est notre troisième surface donc cette surface bleue et bien c'est le contour d'un morceau de cylindres poser sur ce cercle unité est en dessous de ce plan qui coupe le cylindre et ce plan plutôt cette partie du plan cette troisième surface et le dessus de notre surface donc on peut réécrire cette intégrale de surface dz ds comme la somme de 3 intégrale de surface indépendante donc on ad'abord l'intégrale de surface associé à la surface un donc l'intégrale de surface 2 mds sur s1 plus l'intégrale de zts sur la surface de plus l'intégrale zds sur la surface 3 et on peut s'occuper de ses trois intégrale de surface indépendamment on va commencer avec la première surface alors peut-être que tu as envie de te lancer directement dans la paramétrisation de cette surface et de tout ce qui s'en suit mais il y a un moyen plus rapide de résoudre cette intégrale de surface en particulier parce qu'on veut calculer l'intégrale de surface de z quelles sont les valeurs de z sur ce cercle unités réfléchi un petit peu quand on est sur cette surface sur cette première surface combien vous aide et bien cette surface et dans le plan au x y n'est ce pas et dans le plan aux x y et z vaut zéro donc sur s1 z vos héros du coup on intègre 010 fois ds c zéro donc en fait cette intégrale de surface se simplifient elle vaut zéro et je crois que tu ne trouveras pas d'intégrale de surface plus faciles à résoudre et c'est bien d'arriver à repérer ce genre de choses ça permet d'éviter de se lancer tête baissée dans la procédure traditionnelle de résolution quoi qu on en serait arrivé au même résultat un mais on aurait sans doute perdu un peu de temps en faisant une paramétrisation etc etc maintenant on passe aux deux surfaces restantes d'abord la deuxième surface alors sur cette deuxième surface les coordonnées x et y des points de cette surface en bleu qui est le contour d'un morceau de cylindres sont en fait les mêmes que celles du projeté orthogonale de ces points dans le plan au x y autrement dit les coordonnées x et y de chacun de ces points correspondent aux coordonnées x et y de leur projeter orthogonale sur ce cercle unités donc on peut faire la même paramétrisation qu'on ferait pour un cercle unités pour les coordonnées x et y on a déjà vu ça dans une des vidéos précédentes on a x qui est égal à alors c'est un cercle unités donc de rayons un donc un x caussinus et je vais utiliser le paramètre hudon x est égal à caussinus eu et y est égal à sinus une uc est ce que c est bien eu c'est l'angle entre lax dx positif et n'importe où disons qu'on soit ici et bien eu c'est cet angle là et bien sûr eu est compris entre 0 et 2 pi donc on part dit si on part de lax dx positif uveau 0 puis u augmente on tourne tout autour de ce cercle unité tout autour de lax des aides et quand on revient ici et bien eu vos deux pays et avec compris entre 0 et 2 pi et bien on a toutes les valeurs possibles de x et y autour de ce cercle alors maintenant zz c'est ce qui nous indique où est-ce qu'on se situe au dessus de ce cercle de ce cercle unités mais alors attention on est toujours sous ce plan là d'accord donc on va utiliser un deuxième paramètre pose l on va dire que z est égale avait éveillé doit être supérieur à zéro puisque z est éveillé c'est la même chose et on sait que z est toujours au dessus du plan ou xy donc v est toujours positif mais venez pas inférieur ou égal à une constante puisque le dessus de notre surface plan ici est incliné comme ça donc le maximum de z sur cette deuxième surface sur s2 varie n'est jamais constants selon où est-ce qu'on se trouve sur cette surface donc z ou v c'est la même chose va toujours être inférieur ou égal à ça à ce plan ici d'accord donc on sait que z est compris entre 0 et 1 - x d'accord mais nous aussi on veut utiliser nos paramètres donc z et bien cv et 1 - x et bien c'est comme en moins caussinus us donc v est compris entre 0 et 1 - caussinus urgent maintenant qu'on a fait cette paramétrisation eh bien on est prêt pour résoudre notre intégral deux surfaces d'abord tu le sais on cherche ds et on sait ce que c'est dsds c'est égal à la norme du produit vectorielle des dérivées partielles par rapport à nos paramètres de la fonction à valeur vectorielle de position airs issus de notre paramétrisation dérivées partielles de r par rapport à hue et de la dérive et partielle des airs par rapport avec fois les différentiels dehu dv alors je peux peut-être écrire cette fonction air pour qu'on les sous les yeux donc est rare ce que je vais faire c'est que je vais écrire air indice de 1 puisque cela concerne la surface 2 c'est égal alors x et bien c'est caussinus une fois le vecteur unitaire associé à l'accepter x donc y plus y ses sinus une fois le vecteur unitaire j ai enfin plus y z cv fois le vecteur unitaire cas avec ici le domaine de définition de nous paramètres une et v alors maintenant les dérivées partielles de cette fonction d'abord par rapport à eu dérivées partielles de cosinus eu par rapport à hue et bien c'est moins sinus une fois le vecteur unitaire i ensuite la dérivées partielles de sinus eu par rapport à hue et bien c'est plus caussinus une fois j ai enfin la dérivées partielles devait par rapport à hue et bien c'est 0-1 puisque v ne varie pas en fonction du donc on n'a pas de composants associés aux vecteurs cas pour cette dérivées partielles ensuite la dérivées partielles de r par rapport à v c'est égal à la dérive et partielle de cosinus eu par rapport à v c zéro la dérivées partielles de sinus upa rapport avait c-zéro et enfin la dérivées partielles devait par rapport à mai et bien c'est donc on a simplement le vecteur unitaire cas avec ça on peut calculer ce produit vectorielle alors je vais me faire un petit peu de place donc le produit vectorielle de la dérivées partielles de r par rapport à hue et de la dérivées partielles de r par rapport à v c'est égal aux déterminants d'une matrice 3 3 que je veux commencer à remplir donc sur la première ligne on a nos vecteurs unitaire y j et k sur la deuxième ligne on a les composantes associés à ces vecteurs unitaire pour la dérivées partielles par rapport à eu donc moins sinus une caussinus une et puis on n'a pas de composante associés aux vecteurs cas donc 0 et enfin les composantes associés aux vecteurs unitaire pour la dérivées partielles par rapport à mai eh bien on n'a rien par rapport aux vecteurs eu pareil rapport aux vecteurs j et on a 1 devant le vecteur unitaire ou cas maintenant on calcule se déterminant d'abord la composante associés aux vecteurs unitaire y donc on va y cette colonne on raye cette ligne et on calcule le déterminant de cette sous matrice donc caussinus une fois 1 - 0 x 0 c'est donc caussinus une fois le vecteur unitaire et ensuite on a moins j fois le déterminant de cette matrice 7 sous matri son oreille cette ligne on rails cette colonne donc moins sinus une fois 1 - 0 x 0 on a donc plus parce qu'on a moins j fois - ci ne sut donc c'est plus sinueux j ai enfin pour la composante associés aux vecteurs cas on raye cette colonne on rails cette ligne on a moins sinus une fois 0 - caussinus une fois 0 c'est donc +0 fois le vecteur unitaire cas donc on n'a pas de composante associés aux vecteurs unitaire car voilà notre produit vectorielle maintenant on veut la norme de ce produit vectorielle on veut la norme de ce produit vectorielles et on sait que c'est égal à la racine carrée de la somme de ses composantes au carré donc on a caussinus au carré eu plus sinus au carré de u et 5 est ce que c est bien on sait que c'est une identité trigonométriques de base on sait que ce qui a sous la racine ça se simplifient c'est égal à 1 donc on a là une telle simplification la norme de ce produit vectorielle c'est simplement un et donc dsi ci se simplifient cette norme vos ans on a donc ds qui vaut juste d u fois dv on est prêt pour résoudre cette intégrale de surface et on fera ça dans la prochaine vidéo