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Intégrale de surface - Exemple 3 partie 2

Calcul d'une intégrale de surface sur l'extérieur d'une section de cylindre. Créé par Sal Khan.

Transcription de la vidéo

dans la vidéo précédente on s'était arrêté alors qu'on était sur le point de se lancer dans le calcul de cette intégrale de surface sur la surface 2 qui est le contour le côté et de notre surface 1 ce morceau de cylindres cette surface bleue on a fait cet paramétrisation ici et avec ça on a trouvé que ds se simplifie en d une fois dv et maintenant on peut calculer notre intégrale de surface alors je verrai écrire ça en dessous on va calculer l'intégrale de surface sur la surface 2-2 zds et ça c'est égal à l'intégrale double par rapport à huer par rapport avec ce que je fais c'est que je choisis deux couleurs différentes pour eu les termes en u les termes en v comme ça on ne va pas s'embrouiller donc on cherche l'intégrale double de z et dans notre paramétrisation z c'est égal avait ensuite on a ds et ds on a trouvé cd eu faux atv mais ça on peut changer l'ordre c'est la même chose que des vf au début et moi je choisi d'intégrer par rapport avait d'abord donc j'écris dv en premier et ensuite on a des u pourquoi est ce que je fais ça et bien c'est par rapport aux bornes d'intégration la borne inférieure par rapport avait c'est zéro donc la borne inférieure par rapport à v c zéro mais la borne supérieure et bien c'est une fonction de eu donc la borne supérieure devait varient et on voit bien ça sur notre surface 1 contre regarde ici selon où on est sur notre surface eh bien on n'est pas à la même hauteur n'est ce pas donc la borne supérieure ici et bien c'est un moins caussinus une est donc cette intégrale intérieure va être une fonction de u qu'on intègre aura ensuite par rapport à hue et les bornes de cette intégrale extérieur et bien c c zéro et 2 0 et 2 puis maintenant on peut résoudre cette intégrale double alors je vais commencer par réécrire l'intégrale extérieur donc l'intégrale de 0 à 2 pi des u et à l'intérieur qu'est ce qu'on a on à la primitive devait et bien cv au carré sur deux prises entre les bornes 0 et 1 - caussinus une sas est égale à la encore une fois je réécris monde intègre à l'extérieur 0 à 2 pi des eu et ensuite qu'est ce qu'on a eh bien d'abord ceux en demi on peut faire sortir ça puisque c'est une constante on va écrire ça ici 1/2 fois en moins caussinus eu au carré et bien c'est un au carré - deux fois en fois caussinus eu donc deux caussinus une plus caussinus eu au carré donc caussinus carré du moins 0 au quart et donc on s'arrête là et d'ailleurs ce qu'on peut même faire c'est faire sortir ceux en 2000 à de l'intégrale puisque c'est une constante donc on peut écrire ça devant l'intégrale on a donc on a donc je me fais un petit peu de place 1/2 fois la primitive de cette expression là non en fait avant ça je vais essayer de simplifier un petit peu tout ça pour nous faciliter la tâche et pour ça je vais séparer cette intégrale en 3 intégral différente et je vais choisir trois couleurs différentes donc on va commencer par l'intégrale 0 à deux pieds de 1 voie des urnes donc d u ensuite on a moins deux fois l'intégrale de 0 à 2 pi caussinus une des u11 enfin on va faire ça en verre plus l'intégrale de 0 à 2 pi de cosinus au carré de eu alors ce n'est pas si facile de trouver la primitive de cosinus au carré du mais on a de la chance puisque dans notre cour sur la trigonométrie on a appris que caussinus au carré de u eh bien c'est la même chose qu'eux en demie paulus en 2000 fois caussinus 2u et trouver une primitive de ça et bien c'est quand même plus facile que la primitive de cosinus au carré de hudon qu'on va avoir ça ici en demie plus en demie caussinus deux eu des huées je n'oublie pas de fermer mon crochet puisque 1/2 multiplient tout ça maintenant cette première intégrale est facile à calculer la primitive de ça et bien c'est eu prise entre 0 et dépit on a donc deux pays - 0 et bien c'est depuis alors bien sûr on a toujours notre constante devant un 1/2 fois deux pieds ensuite on a ensuite on a moins deux fois la primitive de cosinus eu alors profite primitif de cosinus eu ses sinus une prise entre 0 et 2 puis sinus de dépit c'est zéro sinus de 0 c zéro donc ce terme-là vos héros donc on peut écrire si on veut - 0 et enfin plus telle est la primitive de tout ça donc plus la primitive de en demi c'est un demi fois eu ensuite on connaît la primitive de deux caussinus de des yeux sauf que on n'a pas de 2 devant mais on peut en rajouter un si on veut on peut rajouter en deux devant comme ça à mais bien sûr il faut aussi divisé par deux donc ici ce2 se transforme en quatre alors ce que je vais faire c'est que ce soit un petit peu plus clair je vais faire ça de côté on avait un demi fois caussinus 2u et ça c'est exactement la même chose que 1/4 x 2 caussinus de 2u et si je fais ça c'est parce que co signent deux fois caussinus des zus et la dérive et de sinus de 2u donc la primitive de sa la primitive de tout ça ou de tout ça si tu préfères et bien c'est je vais écrire ça la suite c'est plus un quart fois sinus de jésus est donc bien sûr tout ça a pris entre zéro et deux pays et tu peux vérifier que ça assez bien la primitive de ça en dérivant on a ici une fonction composé donc on a un cas rare fois la dérive et de 2u donc un quart x 2 c'est un demi qu'on a ici fois la daily et de sinus 2,8 par rapport à 2 u et bien c'est caussinus 2 2 maintenant que vaut cette expression quand une vo2 et puis on a un demi fois de pire c'est donc qui donc plus puis +1 4 fois sinus de quatre piscines us de 4 pi c zéro donc plus 0 - cette expression quand une aux héros contenu vos héros ce terme aux héros et ce terme là vos os 6 0 donc on s'arrête là on ferme notre crochet et on a bientôt terminée avec la surface 2 donc je vais revenir à ma couleur bleue de départ donc cette intégrale de surface est égal à en 2000 fois deux pieds - 0 plus speed depuis - 0 plus pisser 3 puis en 2000 x 3 peas et 3 pi sur deux donc on va remonter à notre point de départ on avait trouvé cette intégrale de surface qui valait zéro et maintenant on vient de trouver que cette deuxième intégrale de surface faut 3 pi sur deux et on s'attaquera à cette dernière intégrale de surface dans la prochaine vidéo