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Intégrale de surface - Exemple 3 partie 3

Paramétrisation de la surface supérieure. Créé par Sal Khan.

Transcription de la vidéo

pour résoudre cette intégrale de surface on n'a plus qu'à calculer cette troisième intégrale de surface sur cette surface est roi qui est le dessus de notre morceau de s'y rendre alors on va commencer par réfléchir à une paramétrisation de cette surface est ce que je vais faire ici comme j'ai plus trop de place eh bien je vais copier cette surface là je vais copier notre surface et je vais la coller plus bas là où j'ai plus de place je vais la coller tout en bas ici voilà notre surface maintenant on l'a sous les yeux pour faire notre paramétrisation et donc je disais que maintenant on veut résoudre l'intégrale de surface sur cette surface est roi de zdf et on sait que est roi cette surface là et bien c'est un sous-ensemble du plan z égal en - xc cette partie du plan du plan en moins x qui coupent notre cylindres comme ça et on voit bien que les coordonnées x et y des points de cette surface sont les mêmes que celles des points de la base de notre surface de ce cercle unités ici ou plutôt ce sont les mêmes coordonnées x et y que celle du projet théorique bonal de chacun de ces points dans le cercle une était ici qui est dans le plan au x y alors pour nous aider à réfléchir à ça ce que je vais faire c'est que je vais dessiner notre surface mais vu du dessus comme ça on va pouvoir visualiser les choses un petit peu différemment donc ici on malaxe des y ici on à laax dx avec ici l'origine évidemment donc dans cette surface 3 ici xy peuvent prendre n'importe quelle valeur tant qu'on ne dépasse pas ce cercle unités 1 ce cercle à base de notre de notre surface c'est à dire si on projette est roi dans le plan au x y et bien on obtient s on obtient ce cercle unités c'est à dire le cercle unités vue du dessus ça donne quelque chose à peu près comme ça voilà et on peut avoir un paramètre qui nous indique où est-ce qu'on se situe autour du cercle unités et ce paramètre est bien ce paramètre ça va être cet angle qu'on va appeler teta je crois qu'on n'a pas encore utilisé teta comme paramètre mais si on se contente de parts à maîtriser x et y seulement avec des tas sans nous occuper du rayon eh bien ça va nous donner tous les points du contour de ce cercle unités ça nous donnera seulement les points du contour de ce cercle unités sauf que nous on a besoin de tous les points du cercle unités 1 les points du contour est ce qu'il ya à l'intérieur aussi donc on a besoin de deux paramètres on veut faire varier cet angle tout autour de lax des aides n'est ce pas et on veut aussi faire varier le rayon on veut certes tracer le contour de ce cercle unités et puis ensuite on veut raccourcir ce rayon on va ensuite raccourcir ce rayon est tracée à nouveau ce cercle tout autour comme ça etc etc donc on peut faire varier ce rayon et on va appeler on va appeler sa r par exemple quand on fixe est ici et qu'on fait variété tas eh bien on obtient tous les points de ce cercle là et on fait ça pour tout est rentré 0 et 1 donc on va utiliser ces deux paramètres pour notre paramétrisation d'abord le paramètre air qui va être compris je vais le dire entre 0 et 1 et puis on a le paramètre d'état notre angle qui est évidemment compris entre 0 et 2 pi est donc maintenant on a notre paramétrisation on ad'abord x qui est une fonction de nos paramètres air et état c'est égal à la longueur du rayon c'est-à-dire ère fois caussinus d'état ensuite on a y fonctions de maire et de teta c'est égal à air sinus d'état et enfin on à zz c'est une fonction de x d'accord donc z qui est une fonction de air et de détail comme x est une fonction de leurs dettes et acr caussinus l'état est bien êtes c'est égal à 1 - r caussinus d'état et voilà la paramétrisation toute la surface 3 on a les coordonnées x et y qui sont les mêmes que celles des points du cercle unités et z est une fonction de x et avec ça on a tous les points possibles de s3 donc on peut écrire ça sous la forme d'une fonction à valeur vectorielle de position mais plutôt que de l'appeler r comme on fait d'habitude comme on utilise r comme paramètre ici et bien ce que je te propose c'est d'appeler cette fonction je sais pas par exemple bon on va l'appeler est roi dans la fonction à valeur vectorielle de position est roi qui est une fonction de nos paramètres air et état c'est égal à air caussinus teta fois le vecteur unitaire e-plus air sinus d'état à foix le vecteur unitaire j + 1 - r caussinus d'état voit le vecteur unitaire cas si c'est un état c'est pas un zéro et maintenant on peut se lancer dans le calcul de cette intégrale deux surfaces est d'abord on calcule le produit vectorielle des dérivées partielles de cette fonction par rapport à nos deux paramètres alors ce que je vais faire c'est que je vais changer un petit peu de couleurs on va avoir le produit vectorielle de la dérivées partielles de s3 par rapport à air et de la dérivées partielles de s3 par rapport à tes tas et ça on sait que c'est égal aux déterminants d'une matrice 3 3 que je vais remplir tout de suite donc tant sur la première ligne on a nos vecteurs unitaire yves j&k ensuite sur la deuxième ligne on a les composants associés à ces vecteurs de la dérivées partielles de s3 par rapport à air donc là dérivées partielles de r caussinus d'état par rapport à air et bien c'est caussinus et a ensuite la dérivées partielles de hertz iniesta par rapport à air ces signes steta est enfin là dérivées partielles deux ans - r caussinus d'état par rapport à air et bien c'est moins caussinus d'état et ensuite sur la troisième ligne on a les composants associés aux vecteurs unitaire de la dérivées partielles de s3 par rapport à août et a donc là dérivées partielles de r caussinus teta par rapport à l'état et bien c'est moins cher sinusite à la dérive et partielle de r sinus d'état par rapport à l'état ses airs caussinus d'état et la dérivées partielles deux ans - r caussinus d'état par rapport à l'état et bien c est bien c + r sinus ttr sinus d'étape ce qui l'a dérivées partielles de cosinus teta par rapport à l'état c'est moins sinueux et appelons à ceux - air devant donc c'est plus air sinus d'état maintenant on calcule se déterminant c'est égal à d'abord la composante d'aei donc on a six nuls c'est à foix air signe cet état alors j'écris ça à la suite puisqu'on va avoir besoin de pas mal de places dont care sinus au carré deux états - - caussinus d'état fois air caussinus teta donc plus air caussinus carré d'état et là j'espère que tu remarques déjà une possibilité de simplification fois le vecteur unitaire i - la composante associés aux vecteurs j qu'est ce que c'est caussinus teta fois à signer cet état caussinus d'état fois air sinus d'état - - caussinus d'état à foix - rc news d'état moins par mois c'est positif donc moins caussinus d'état air sinus d'état et là j'espère que tu remarques quelque chose ici ces deux termes ça nul ça fait zéro + la composante associés aux vecteurs cas caussinus d'état fois air caussinus teta doncker caussinus carré d'état - sinus teta fois - rc must est à + r sinus car et état et là encore une fois on va aussi pouvoir simplifier çà et là on a une belle simplification affaire alors d'abord cette expression entre parenthèses on peut factoriser par air on aère fois sinus occar et et a+ caussinus au carré d'état et on sait que ça ça se simplifient ça fait un même chose ici on factories par air et il nous reste simplement r donc on peut écrire que notre produit vectorielle c'est égal à air voit le vecteur unitaire i + r donc ce terme-là ac 0-1 plus ère fois le vecteur unitaire cas ensuite nous on veut la norme de ce produit victorienne on veut la norme de ce produit vectorielle que je réécris rapidement ici par rapport à des tas voilà donc la norme de ce produit vectorielles et bien c'est la racine carrée de ses composantes la somme de ses composantes au carré doncker au carré plus air au carré c'est donc égale à la racine carrée de deux aires au carré la racine carrée de 2,0 carré et bien ses racines carrées de deux fois m racine carrée de deux fois r alors si on n'avait pas de restriction pour r ce serait la valeur absolue de r ici mais dans notre problème on sait que air est toujours positif puisque air compris entre 0 et 1 c'est pour ça qu'on peut écrire la racine carrée de deux fois r maintenant on connaît ds1 dsc saha fois des rdt tas et ensuite on a tout ce qu'il faut pour résoudre note un tegra 2 surface et c'est ce qu'on va faire ici donc on veut l'intégrale de surface sur s3 deux z ds c'est égal à alors ce que je vais faire c'est que je vais utiliser deux couleurs différentes pour nous deux variables d'intégration donc d'abord une première de cette couleur là et puis une autre je sais pas par exemple en blanc donc c'est l'intégrale de z et z qu est ce que c est bien un z on a dit ça dans notre paramétrisation c1 - r caussinus d'état lorsque je vais faire c'est que je vais utiliser une autre couleur puisque nos deux variables sont mélangés donc on a 10 aces et un - r caussinus d'état fois ds et ds ses racines carrées de deux fois ère fois des rtt tas et on peut écrire le racine carrée de 2 à l'extérieur puisque c'est une constante donc ça nous simplifiera un petit peu la tâche donc on va écrire racine carrée de deux ici ensuite on aère on aère fois des rdt tàu dette et à des r1 c'est pareil ça nous changera pas grand chose dans ce cas donc nous ce qu'on va faire c'est qu'on va écrire des rdt tas d r d état et je te propose de nous arrêter ici est de résoudre cette intégrale double dans la prochaine vidéo