If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal

Intégration sur une sphère - partie 1

Imaginer une paramétrisation possible. Créé par Sal Khan.

Vous souhaitez rejoindre la discussion ?

Vous comprenez l'anglais ? Cliquez ici pour participer à d'autres discussions sur Khan Academy en anglais.

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo est d'ailleurs sûrement dans les prochaines notre objectif va être de résoudre l'intégrale de surface l'intégrale de surface de la fonction x au carré sur la surface sigma et cette surface en question cette surface sigma et bien c'est une sphère unités c'est une sphère unité c'est à dire de rayon indéfinie par ixo carré plus y au carré plus z au carré est égal à 1 est l'objectif de cette première vidéo parce qu'on aura sans doute besoin de plusieurs vidéos pour ça c'est de faire la paramétrisation de cette surface ce qui est sans doute le plus difficile parce que ça nécessite de vraiment bien visualiser les choses alors comment est-ce qu'on peut paramétrer cette surface en une fonction de deux paramètres alors on va commencer par regarder notre sphère de côté un vus de face comme si on était en phase de cette sphère donc on va avoir ici lax des aides et puis ici ce n'est pas seulement juste la kz2 x ou juste lax des y mais c'est carrément tout le plan c'est tout le plan au x y alors là on a notre origine haut et donc on a notre sphère on a notre sphère unité que je suis en train de dessiner en pointillés j'essaie de faire quelque chose le plus régulier possible c'est pas très régulière plutôt là un petit peu comme ça voilà mais bon tu sais si l'idée donc c'est pas compliqué à visualiser un on a dit que c'était une sphère unités donc de rien ça veut dire que cette distance là et bien c'est un cette distance là c'est aussi un tous les rayons de cette sphère sont de longueur 1 et c'est une sphère donc ce n'est pas un cercle on est en trois dimensions peut-être que ce que je peux faire c'est être mettre un petit peu de un petit peu d'ombré comme ça injuste pour donner un peu d'eux de volume à cette sphère et maintenant on va essayer de parts à maîtriser ça on va commencer par réfléchir à comment est-ce qu'on parlera maîtriserait cette sphère si on n'avait pas à se demander si on est au dessus ou en dessous du plan au x y mais seulement ou est-ce que la sphère coupe le plan ou xy bien la sphère coupe le plan au x y ici et ici en fait d'ailleurs partout sur cette partie du plan ici c'est l'intersection dhr le plan au x y et notre sphère alors ce qu'on va faire c'est dessiné le plan au x y réfléchir à cette intersection ici et ensuite on s'occupera de ce qu'il se passe quand on est au dessus ou en dessous du plan au x y donc on va dessiner on va tracer le plan au x y alors lax des y et puis l'accès x avec qui sait bien sûr l'origine haut et donc ce qu'on va avoir là c'est plus ou moins une vue du dessus de cette sphère l'acce des aides pointent dans la direction sort de l'écran par ici d'accord et donc ce qu'on regardait de côté ici quand on était enfant fasse de cette de cette sphère et bien ici on va regarder ça d'en haut alors ça nous donne maintenant la vue du dessus de notre sphère ça nous donne quelque chose à peu près comme ça un regard notre sphère du dessus et donc ce que je viens de dessiner en pointillés ici et bien ça correspond à l'intersection entre notre sphère et le plan os x y ce que j'avais tracé hills à partir de là on peut commencer à réfléchir à la paramétrisation au moins de nos coordonnées x et y alors on a dit que l' axe des aides sort de l'écran par ici donc ce qu'il se passe ici c'est qu'on tourne autour de lax des aides qui sort paris alors on peut imaginer un angle on peut imaginer un angle ici et cet angle on va l'appeler s et cet angle nous indique la rotation autour de lax désemplit pas l' axe des aides sort ici sort de l'écran par ici donc cet angle s nous indique la rotation autour de lax dz à partir de lax dx dans le plan au x y ou dans un plan parallèle au plan ou xy quand on est dans une sphère unités ce rayon ici et de longueur 1 avec ces informations et ce paramètre est ce qu'elles sont les coordonnées x et y alors dans un premier temps on considère qu'on est dans le plan au x y est bien là coordonnées x l'accord donné x1 et ça ça vient directement des fonctions du cercle trigonométriques donc là coordonnées x de ce point là où d'un point de de ce cercle qui est l'intersection entre notre sphère et le plan au x y et bien c'est caussinus de s ou plutôt en fois caussinus de s1 le la longueur du rayon x caussinus deux aces mais si le rayon c'est un nom qu'on n'écrit pas hélas coordonnées y est bien ces âmes sinus de s à 1 fois le rayon x sinus tué alors ça c'était assez facile et bien sûr dans ce cas l aide z l'accord donné êtes vos héros puisqu'on est dans le plan y d'ailleurs on peut ajouter ça peut ajouter la coordonnée z qui vaut zéro maintenant que se passe-t-il si on va au dessus et en dessous de du plan au x y rappelle toi cette configuration la con c'est un tous les plans parallèles au plan au x y un ça nous indique la rotation autour de l'axé des aides ou est-ce qu'on se situe autour de lax des aides maintenant on va aller au dessus et en dessous du plancher xy donc pour ça on a besoin d'un autre paramètre qui nous indique la position par rapport au plan os x y sélectionner au dessus ou en dessous et ce paramètre la ctt nous indique où est-ce qu'on se situe si on se situe au dessus ou en dessous du plan aux x y c'est en quelque sorte notre altitude par rapport au plan au x y maintenant on a quelque chose d'intéressant si on regarde d'autres sections de cette sphère par exemple si on est sur ce plan là eh bien on va avoir un plus petit rayon quand on est ici sur cette section compte la sphère coupe ce plan cette section est bien le rayon correspond à cette partie là où à cette partie d'un le rayon est plus petit que dans le plan au x y et de quelle longueur et ce rayon eh bien on utilise nos connaissances sont trigonométrie en fait on cherche cette distance à 1 puisque cette distance-là bien c'est la même chose que cette distance là et donc ça c'est caussinus 2t et c'est cohérent avec ce qu'on a là puisque quand et vos héros caen thébaux 0 on est ici on est dans le plan au x y et donc caussinus 2 0 c'est un aidant le plan au x y le rayon vaut bien un ce rayon la serions ici qu'on a dessiné en verre est bien c'est de longueur 1 et c'est autrement dit c'est caussinus 2 0 avec thé qui est égal à zéro donc on est dans le plan au x y maintenant si on est au dessus ou en dessous du plancher xy ce rayon change est d'ailleurs diminue c'est caussinus 2 t alors on peut utiliser ça pour la paramétrisation des coordonnées x et y n'importe où sur la sphère par exemple si on regarde cette section là on est dans un plan parallèle au plan au x y un je vais dessiner ça ici on est dans un plan parallèle au plan aux x y voilà voilà cette section quand on regarde cette section ici au dessus eh bien ça correspond à ce que je viens de dessiner en pointillés ici d'accord et le rayon ici et bien c'est caussinus de thé le rayon c'est caussinus de thé sa chance à quels sont les coordonnées x et y des points de cette section exemple quels sont les coordonnées x et y de ce point là eh bien c'est la même chose que dans le plan au x y sauf que maintenant notre rayon et deux longueurs caussinus de thé au lieu d'être de longueur donc notre coordonnées x notre coordonnées x et bien c'est le rayon c'est-à-dire caussinus de thé caussinus et1 ça c'est le rayon x caussinus deux os x caussinus de s y rappelle toi est ce c'est le paramètre qui nous indique la rotation autour de lax des ailes dans notre cas ici s va presque tout autour comme ça d'accord ensuite notre coordonnées y notre coordonnées y est bien c'est le rayon donc aux sinus de thé x asinus de s fascinus de s est alors là juste pour que ce soit clair ce qu'on est en train de dire ici c'est que peu importe où on se situe sur la sphère on est parallèle au plan au x y on peut tracer un autre plan quand on l'a fait ici qui coupent notre sphère donc ce qui fait que quand on regarde cette section du dessus on voit que notre rayon a changé a maintenant c'est une fonction une fonction de tes qui nous indique la position par rapport au plan au x y alors maintenant la coordonnée z et bien c'est simplement une fonction de tes seins ça ne dépend pas de la rotation autour de l'axé dz donc ça ne dépend pas de s et quand on regarde cette perspective là on voit que l'accord de néo z c'est cette distance là donc ça a c'est notre coordonnées z et ses sinus 2t et donc alors je peux écrire ça ici je fais un petit peu place donc cette coordonnées z et bien c'est sinus 2t et donc n'importe quel point de cette sphère peut être décrit comme une fonction de hesse et de thé alors bien sûr il faut préciser le domaine de hesse et de terreau le domaine de définition de nos paramètres pour est d'abord à n'importe quel niveau de la sphère s c'est un angle qui va tout autour du cercle autour de lax dz donc s est compris entre 0 s est compris entre 0 et depuis on est en radiant ensuite tu es alors tu essaies en quelque sorte l'altitude dans la direction des êtres donc tu es peut descendre jusque là c'est à dire - pis sur deux donc tu es est compris entre - pis sur deux et puis tu es va jusque là c'est à dire pis sur deux ça suffit on n'a pas besoin de faire redescendre t par la dompter compris entre - puis sur deux et puis sur deux et maintenant on a notre paramétrisation alors on va écrire ça sous une forme que tu reconnaîtras peut-être un peu plus sous la forme d'un d'une fonction fait à valeur vectorielle de position donc cette fonction est requis et une fonction de nos deux paramètres s était c'est égal à la composante des x c'est à dire on a dit caussinus de thé x caussinus de s fois le vecteur unitaire des x c'est-à-dire le vecteur plus la composante des y caussinus de tréfois sinus de s fois le vecteur unitaire d y le lecteur j ai enfin plus la composante dz sinus de tréfois le vecteur unitaire dz le vecteur cas et avec ici le domaine de définition de nos paramètres s et es et voilà la première mission accomplie on à la paramétrisation de notre surface et maintenant tu sais qu'on doit résoudre notre intègre intégrale de surface mais on fera ça dans la prochaine vidéo